III. — Diamètres conjagués

127. Deux diamètres, tels que le pôle de l'un se trouve sur l'autre, sont dits conjugués ( ^ ). Ces pôles sont à l'infini ; d'où il suit que chacun des deux diamètres est te lieu des milieux des cordes parallèles à l'autre» En effet, ces cordes, passant par un même point à l'infini, ont leurs milieux sur la polaire de ce point, c'est-à-dire sur le diamètre conjugue.

128. La polaire d'un point quelconque A, pris sur un diamètre, est pa^ rallèle au diamètre conjugué.

Car cette polaire passe par le pôle du diamètre sur lequel est le point A (108), c'est-à-dire par le point à l'infini du diamètre conjugue. La polaire est donc parallèle à ce diamètre conjugué. Il suit de là que la corde menée par le point A, parallèlement à la polaire, a son milieu en ce point.

129. Les tangentes menées par les extrémités d'un diamètre sont paraJc lèles au diamètre conjugué*

Leur point de rencontre, situé à Tinfini, est en effet le pôle du premier diamètre (120) ; ce point est donc sur le diamètre conjugué.

1 30. V Dans tout parallélogramme inscrit à une courbe du second ordre, les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués.

^i® Dans tout parallélogramme circon- p. ^g

fcrit à une courbe du second ordre, les q\

diagonales sont deux diamètres conjugués.

1® Les diagonales du parallélogramme inscrit et celles du parallélogramme circonscrit sont des diamètres de la courbe, car leur point d'intersection a pour polaire la droite à l'infini (105, 12i). Si nous menons par ce point d'intersection deux [larallèles /7, q [fig, 38) aux côtés du parallélogramme inscrit, chacune des droites p et q passe par le milieu des

(') Les principales propriétés des diamètres conjugués étaient déjà connues d'ApoL- LOxics. Nous nous bornerons à citer ici les deux beaux théorèmes contenus dans les propositions iî, i'?, 3o, 3i du Livre VIÎ.

Il8 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPSNDICB AUX CHAPITRES IX ET X.

c6tés qui sont parallèles à Tautre : p et q sont donc deux diamètres conjagués (127).

7? Les pôles des quatre côtés du parallélogramme inscrit sont situés sur les diamètres p et q (121). En d'autres termes, p et q sont les diagonales du quadrangle circonscrit dont les côtés touchent la courbe aux sommets du parallélogramme inscrit. Ce quadrangle circonscrit est aussi un parallélogramme, puisque les tangentes aux extrémités d'un diamètre sont parallèles (120).

131. On peut encore énoncer de la manière suivante la proposition (i^j du numéro précédent :

Deux cordes menées d'un point quelconque d'une ellipse ou d'une hypephole au.r extrémités d'un diamètre sont parallèles à deux diamètres confugués de la courbe.

Dès lors, si Ton se donne les directions de deux couples de diamètres conjugués et un point P d'une courbe du second ordre, on peut déterminer facilement cinq autres points de la courbe.

On mène le diamètre qui passe par le point donné P et Ton détermine le second point de rencontre Q de ce diamètre avec la courbe, en se fondant sur ce que le centre est le milieu de PQ. Sur PQ comme diagonale on construit deux parallélogrammes dont les côtés soient parallèles respectivement à chacun des deux systèmes de diamètres conjugués. Les deux couples de nouveaux sommets de ces parallélogrammes sont quatre nouveaux points de la courbe du second ordre.

pj^ 3g On obtient avec la même facilité cinq tangentes à

une courbe du second ordre, quand on connaît déjà deux couples de diamètres conjugués et une tangente.

132. Si la courbe du second ordre proposée est un cercle, c'est-à-dire le lieu du sommet d'un angle droit AMB [fig. Sg), dont les côtés AM, BM pivotent autour de deux points fixes A et B, les côt^ mobiles engendrent deux faisceaux égaux et, par suite, projectifs (59). La tangente en A est donc le rayon du premier f.iisceau qui correspond au rayon BA du second (73). Cette tangente doit, dès lors, faire avec BA un angle droit. La tangente en B sera {pareillement perpendiculaire à AB. Les tangentes en

A et B étant parallèles, AB est un diamètre, et le point 0, milieu de AB,

est le centre de la courbe proposée (123, 124).

AXES ET S0IIIIET8. IIQ

AB étant un diamèlre, les droites AM, BM suront, pour toutes les posilioni de H, les directions de deux diamètres conjugués (130). Donc, deiu: diamètm conjuguas du cercle sont toujours perpendiculaiivs entre eux.

Comme les diagonales de tout parallélogramme circonscrit au cercle sont deux diamètres conjugués, elles se coupent à angle droit. Tout parallélogramme circonscrit au cercle est donc un losange.

Dans le losange, la distance de deux côtés opposés est égale à b distance des deux autres côtés; dès lors, si dans le losange circonscrit nous maintenons deux côtés fixes en faisant varier les deux autres, nous pourrons conclure que la distance de deux tangentes jiarallèies est constante.

La distance de deux tangentes parallèles est mesurée par la droite qui joint leurs points de contact, car cette droite, qui est un diamètre, coupe k angle droit le diamèlre conjugué et les tangentes qui lui sont parallèles; donc tous les diamètres du cercle sont égaux.

Les diagonales de tout parallélogramme inscrit étant des diamètres et tes diamètres étant tous égaux, tous les parallélogrammes inscrits sont des rec-

Axes flt lommets.

133. Quand deux diamètres conjugués d'une courbe du second ordre sont rectangulaires, on leur donne le nom d'axes; on appelle commets les points où la courbe est rencontrée par les axes.

134. Un axe peut encore être défini comme un diamètre de la courbe dn second ordre, perpendiculaire aux cordes qui lui sont conjuguées et qu'il divise en parties égales. Tout axe divise une courbe du second ordre en deux parties symétriques.

Fis. 40.

135. Pour constniire les axes d'une hyperbole ou d'une elfipse, on procède de la manière suivante :

Sur un diamèlre AB de la courbe (Jig. jo) et de son centre, on décrit un cercle qui coupe les tangentes et la courbe elle-même aux extrémités A et B. Cbacun des deux demi-cercles séparés par le dialoitre est en partie à l'intérieur de la courbe, en partie 11 l'extérieur, et coupe dès lors la courbe en un point. Les quatre points d'intersection du cercle avec la courbe sont les sommets d'un rectangle inscrit, aux rôles duquel les axes cherchés sont parallèles.

Il résulte de cette construction que l'ellipse et l'hyperbole ont deux axes.

lao GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES IX ET X.

L'hyperbole est coupce par un seul de ses axes en deux sommets. L'ellipse a quatre sommets, car elle est coupée par ses deux axes. La parabole n'a qu'un sommet propre, car elle est coupée la seconde fois par son axe au p(MOt à l'infini.

1 36. Deux droites conjuguées sont harmoniquement séparées parles deax tangentes qui peuvent être menées de leur point d'intersection à la courbe du second ordre (112). Donc :

Deux diamètres conjugués de l 'hyperbole sont harmoniquement séparés par les asymptotes.

Un seul de ces diamètres coupe la courbe.

Les axes de V hyperbole sont les bissectrices des angles formés par les asymptotes (36).

Les asymptotes limitent, sur toute droite parallèle à l'un des deux diamètres conjugués, un segment dont le milieu est sur l'autre diamètre (36). Si la droite coupe la courbe, ou si elle la touche, le point milieu de la corde, ou le point de contact de la tangente, coïncide avec le milieu du segment (127). Donc :

Les deux segments de toute sécante à une hyperbole, compris entre la courbe et ses deux asymptotes, sont égaux.

Cette propriété permet de construire très-simplement l'hyperbole, quand on donne les asymptotes et un point propre. On peut trouver, en effet, le second point de la courbe, situé sur toute sécante qui passe par le point donné.

Le segment d'une tangente à l'hyperbole compris entre les asymptotes est divisé en deux parties égales par le point de contact,