VI. — Propriétés inhérentes à la génération des surfaces

doublement rectilignes.

150. Un système de droites est coupé par tout plan 2, qui ne con^ tient aucun rayon ^ suivant une courbe du second ordre.

Tous les plans qui touchent la sui^ face rectilignc aux points d'une telle courbe forment un faisceau de plans du second ordre.

Un système de droites est projeté de tout point S, qui n'est situe sur aucun rayon, suivant un faisceau de plans du second ordre.

Tous les points où la surface rectilignc est touchée par les plans d'un tel faisceau sont situés sur une courbe du second ordre.

La surface doublement rectillgne étant considérée comme engendrée par deux faisceaux projectifs de plans, si Ton coupe ces plans par un plan transversal quelconque 2, on obtient sur ce dernier deux faisceaux projectifs de rayons, et chaque point d'intersection de deux rayons correspondants de ces faisceaux est situé sur un rayon du système.

La surface doublement rectiligne étant, d'autre part, considérée comme engendrée par deux ponctuelles projectives, si l'on projette

l3o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRB XI.

ces ponctuelles d^un point quelconque S, on obtient deux faisceaux de rayons projectifs concentriques, et tout plan de jonction de deux rayons correspondants de ces faisceaux passe par un rayon de la surface doublement recliligne.

On a ainsi démontré la première partie (à droite et à gauche) des deux propositions énoncées.

Pour démontrer la seconde partie de la proposition à droite, faisons passer un plan par trois des points de contact. Ce plan coupe le faisceau de plans suivant un faisceau de rayons du second ordre, dont les trois points choisis sont des points de contact, et qui enveloppe une courbe du second ordre. Mais cette courbe est identique à celle suivant laquelle la surface rectiligne est coupée par le plan, car les deux courbes ont en commun les trois points de contact et leurs trois tangentes.

On démontrerait la seconde partie de la proposition à gauche d^une manière tout à fait analogue, en faisant passer par le point d'intersection de trois plans tangents quelconques tous les plans tangents à la surface rectiligne.

VII. — Hyperboloide simple et paraboloide hyperbolique. Cône asymptote et plan asymptote.

151. On donne à la surface doublement rectiligne le nom dVyperboloïde simple ou à^hjperboloïde à une nappe, quand aucune de ses droites nVst située à distance infinie ; la surface est alors coupée par le plan à Tinfini suivant une courbe du second ordre.

Si le plan à l'infini contient une génératrice de l'un des systèmes, et par conséquent aussi une génératrice de l'autre système, c'est-à-dire si le plan à l'infini est tangent à la surface, celle-ci prend le nom Ae paraboloide hyperbolique (* ).

(*) La double génération de l'hyperboloïde à une nappe et du paraboloide hyperbolique par une droite mobile a été exposée pour la première fois par Momge et par Hachette {Journal de l'École Polj-technique^ t. I, p. 5). Cette propriété de Thypcrboloide ne fut démontrée d*abord, et pendant longtemps, que par l'Analyse. Chasles, le premier, en a donné une démonstration géométrique, quand il était encore élève à l'École Polytechnique (voir VallAe, Traité de Géométrie descriptive^ p. 86, et Lebot, Traitéde Géométrie descriptive, p. 367). Quand nous disons que la double génération de l'hyperboloïde aune nappe est due aux géomètres précités, nous n'entendons parler

nTPERBOLOÎDE SIMPLE ET PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE. l3l

152. Chacun des systèmes de droites du paraboloïde hyperbolique ayant une droite à Tinfini, les ponctuelles projectives, suivant lesquelles les droites d'un système rencontrent deux droites quelconques de l'autre, sont semblables (57).

Un paraboloïde hyperbolique est encore décrit par une droite qui se meut en s'appuyant sur deux droites u et M| (non situées dans le même plan) et en restant parallèle à un plan fixe, qui ne contient pas les directions de u et de u^ .

En effet, la droite mobile rencontrera non-seulement u et i/|, mais encore la droite à l'infini du plan donné; elle engendrera donc une surface rectiligne qui contiendra un rayon, et par suite un second rayon à l'infini.

LtC paraboloïde hyperbolique est en général coupé suivant une hjrperbole par tout plan qui ne passe par aucun rayon; il est coupé suivant une parabole dans le cas seulement oit le plan contient une direction parfaitement déterminée.

que de lliyperboloîde à axes inégaux, car la double génération, par une droite, de Thyperboloîde de ré?o1ution à une nappe, est due à Wiie?i. Ce géomètre la fit connaître par une Note très-courte, insérée dans les Philosophical eransactions ( 1669, p. 961) sous le titre: Generatio corporis cilindroidis hjrperbolici^ elaborandis lentibus hjrperboUcù eu:commodati,'W%s% indique dans cette Note l'usage qu'on pourra faire du mode de génération par une droite, pour la construction des lentilles hyperboliques.

Kn 1698, Parent a aussi trouvé cette propriété de l'hyperboloïde de révolution et il l'a démontrée dans deux Mémoires différents, par l'Analyse et par de simples considérations de Géométrie {Essais et recherches de Mathématiques et de Physique, t. II, p. 645, et t. III, p. 47^)* Cette propriété, que n'ont pas les autres surfaces engendrées par la réyolution d'une conique autour d'un de ses axes principaux, fait dire à Pare!<t que l'hyperboloïde à une nappe est la plus complète de ces surfaces, puisqu'on y peut faire six sections différentes qu'il spécifie. Ce géomètre appelle cette surface cylindrdide hyperbolique, de même que Wren, et se sert aussi de sa propriété d'être engendrée par une droite, pour la construction, sur le tour, des moules hyperboliques propres k la dioptrique.

Saovkcr avait aussi démontré cette propriété de l'hyperboloïde de révolution, ainsi que plusieurs autres propositions concernant les volumes et les surfaces des conoïdes, dont Parert avait communiqué les énoncés à ce géomètre {Essais et recherches de Mathématiques et de Physique, t. III, p. 626). Voir Chasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1887, p. ^^i-^l^i.

On irouye encore une remarquable démonstration de la double génération de l'hyperboloïde à une nappe, au moyen d'une droite, dans un Mémoire de Coriolis intitulé : Sur la théorie des moments considérés comme analyse des rencontres des lignes droites (XXIV* Cahier du Journal de V École Polytechnique). Voir aussi, au sujet de la convenance des noms choisis pour désigner ces surfaces : Mûller, Beitràge zur Terminologie der griechischen Mathentatiker, Leiptig, 1860, p. S;.

l32 GEOMÉTRIB DE POSITION. — CHAPITRE XI.

La courbe d^intersection du second ordre passe, en effets par les deux points où les droites à Tinfini de la surface sont rencontrées par tout plan sécant qui ne contient aucun rayon; et ces deux points ne coïncident que si le plan passe par le point commun aux deux droites à TinCni.

153. Uhyperholoïde simple n'est pas touché, comme le paraboloïde hyperbolique, par le plan à t infinit mais il est coupe par ce plan suivant une courbe du second ordre (151 ).

Tous les plans tangents aux points à Tinfini de Thyperboloïde sont, d'après cela, des plans propres qui se coupent en un point S et forment un faisceau de plans du second ordre (150). La surface conique S, enveloppée parce faisceau, peut être considérée comme tangente à Thyperboloïde tout le long de sa section àTinfini. Celle surface est nommée cône asjmptote. Chaque rayon (généralrice) du cône asymptote est parallèle au rayon de chacun des deux systèmes de droites qui contient son point à Tinfini.

Un plan quelconque, ne passant par aucun rayon de l'hjperboloïde simple, le coupe suivant une hyperbole, suivant une parabole ou suivant une ellipse, selon qu'il rencontre la courbe à t infini de l'hyperboloïde en deux points, ou en un point, ou qu'il ne la rencontre pas; ou, ce qui revient au même, selon qu'il est parallèle à deux rayons ou à un rayon du cône asymptote, ou qu'il n'est parallèle à aucun de ces rayons.

154. Si, par un point donné quelconque, on mène des parallèles aux rayons d'un système de droites, ces parallèles forment un plan ou une surface conique du second ordre, selon que le système de droiles appartient à un paraboloïde hyperbolique ou à un hyperboloïde simple. Dans le premier cas, le plan est appelé plan asymptote ( * ) .

(*) Les modes de génération indiqués ne sont pas les seuls qui puissent conduire aux surfaces rectilignes ; pour le paraboloïde en particulier, les modes de génération se multiplient quand on considère cette surface comme engendrée par le mouvement d'hyperboles ou de paraboles. Voir Steimkb, Sjrstematische Entwichelttng, etc. Berlin»

PARABOLOÏOE HYPERBOLIQUE ÉQUILATéRE. l33