FA ; AA, — F6 : BB

A et 6 étant deux points quelconques de la courbe, on a cette proposition :

Les distances d'un point quelconque de la courbe du second ordre à l'un des foyers et à la directrice correspondante sont entre elles dans un rapport constant.

Dans la parabole, le rapport est /gai à l'unité; autrement dit, les deux distances sont égales, car le sommet est harmoniquement séparé du point à l'infini de la parabole par le foyer et par la directrice.

Dans l'ellipse et dans l'hyperbole, le rapport a la même valeur pour diaeun des deux foyers, considéré atee la directrice correspondante. Cette pro]>ricté résulte immédiatement de ce que chacun des axes dii'isela courbe en deux moitiés symétriques (134). Si donc r et r, sont les distances d'un point quelconque A de la courbe aux deux foy^s F et Fi ; rf et d, les dislances du même point aux deux directrices correspondantes /et /,, on a

- est aussi égal à ce rapport constant.

170 OÉOlléTBIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITEBS IX ET XIII.

Et, comme la distance constante des deux directrices est d-^ d^ poor Tellipse et £^ — d^ pour l'hyperbole, on voit que la somme ' + r, poor Fdlipse et la difiërence r — r^ pour l'hyperbole sont aussi constantes. Donc:

La somme des distances d'un point quelconque d'une ellipse à sesfoyen est constante.

La différence des distances d'un point quelconque d'une hyperbole h ses foyers est constante,

11 est d'ailleurs facile de reconnaître que cette somme, ou cette différence, est égale au segment compris entre les points sommets de l'axe principal.

206. Les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole sur les tangentes sont situés sur la circonférence qui a pour diamètre le segment compris entre les points sommets (133) rff l'axe principal.

Fig. 51.

Soient F et Fj [fig' 54) les foyers d'une ellipse, A et Ai les extrémités

d'un diamètre. Le quadrangle FAFjAi est an parullëlogramme, puisque ses diagonales se coupent en leurs milieux au centre de la courbe. Les côlés de ce parallélogramme forment des angles égaux avec la tangente construite en A (203). Cette tangente est coupée par At Fj au point K, et le triangle A F, R est isoscèle. Le pied N de la perpendiculaire abaissée du foyer Fi sur la tangente est donc le point milieu de la base AK. Le point M est,

d'autre part, le milieu de AAi ; MN est donc parallèle à Ai K et égal à 7A1K.

Mais on a

FiK = AF, = FA, ;

d'où

et, par conséquent,

AiKzz:FA,-l-AiF„

MN=i(FAi-4-A,Fi).

Le point N est donc à distance constante du centre M de l'ellipse.

La circonférence décrite du centre M, et passant par N, passe aussi par les points sommets de l'axe principal; ciir ces points sont les pieds des perpendiculaires qu'on peut abaisser des foyers sur les tangentes correspondantes.

La démonstration pour l'hyperbole est tout à fait analogue.

207. Les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées du foyer F d'une parabole sur les tangentes sont situés sur la tangente au sommet de la courbe.

Par le point d'intersection N (y%". 55) de la tangente au sommet NS et d*une autre tangente quelconque NA, menons une parallèle NF, à

l*axe et une droite NF au foyer. Les angles FNA et SNF, sont égaux (203), puisque NFi contient le second foyer à Tinfini de la parabole;

et, comme l'angle SNF| est droit, Tangle FNA doit l'être aussi.

208. Les deux propositions précédentes fournis- S* 55. sent le moyen de construire très-simplement les foyers d'une courbe du second ordre. Mais la méthode suivante est encore plus simple, quand il s'agit de l'ellipse ou de l'hyperbole.

Les tangentes aux sommets de l'axe principal coupent une troisième tangente quelconque en deux points, P et Q, qui sont projetés, de tout point de l'axe principal, par un couple de rayons conjugués (1 1 6). On déterminera donc les foyers, pour lesquels les deux rayons conjugués doivent être rectangulaires, en décrivant, sur PQ comme diamètre, un cercle dont les points d'intersection avec l'axe principal seront les foyers cherchés.

209. Si deux tangentes TA et TB [fig, 56) à une courbe du second ordre sont coupées par une troisième, respectivement aux points A| et Bj, A, B, G étant les pjg, 56 trois points de conlact et F un foyer propre de la courbe, on a (204>) les relations suivantes entre les angles qui projettent de ce foyer les segments des tangentes :

BiFC=: BFBi =iBFC,

CFAt=AiFA=:{CFA,

et, par conséquent,

BiFC -4- CFA, = j (BFC -4- CFA), ou bien BiFA, = BFT = TFA.

Donc :

Le segment variable, limité sur une tangente mobile à la courbe du second ordre par deux tangentes fixes, est projeté d'un même foyer sous an angle de grandeur constante.

Pendant que le point de contact C de la tangente mobile parcourt la courbe, les points Ai et B, décrivent sur les tangentes fixes deux i)onctueIks projectives, et les rayons FAi, FB, décrivent autour du foyer F deux faisceaux égaux de rayons. Donc :

Les ponctuelles projectiles résultant de l'intersection de deux tangentes à la courbe du second ordre par toutes les autres tangentes sont projetées, de chacun des foyers de la courbe, par deux faisceaux de rayons égaux et projectifs concordants.

Cette propriété s'étend à la parabole, qui a pour second foyer son point à rinfini, et au cercle, dont le centre est un foyer.

On pourra donc construire autant de tangentes qu*on voudra à une courbe du second ordre, étant donnés un foyer et trois tangentes.

Lorsque, dans le cas de la parabole, la tangente mobile AiBi passe à Tinfini, on vérifie que Tangle des droites FA| et FBj est égal à I'uq des angles formés par les tangentes fixes TA et TB. L'angle A|FBi ayant d'ailleurs la même ouverture dans toutes les positions de la tangente mobile, on en déduit que :

Toute circonférence circonscrite au triangle formé par trois tangentes à une parabole passe par le foyer de la courbe.

Par suite :

Les circonférences circonscrites aux quatre triangles formés par les côtés d'un quadrilatère, pris trois h trois, ont une intersection commune au foyer tic la parabole inscrite dans le quadrilaière.

Lorsque, dans le cas de l'hyperbole, les deux tangentes fixes TA, TB 80 c(m fondent avec les asymptotes et ont par conséquent pour points de contact, A et B, leurs points à l'infini, les droites TB et FB sont parallèles,

et l'angle B|FA|, égal à BFf, est égal aussi à l'un des angles formés par l'asymptote TB et (>ar l'axe principal TF. De même, le second angle formé par les droites TB et TF est éf^sl à Tangle AtF|B|, suivant lequel le s^-

ment A|B| est projeté du second foyer Fp Les deux angles B|FAt9 ^i^iBi sont donc supplémentaires, et par suite :

Les foyers d'une hyperbole et les points d'intersection d'une tangente quelconque avec les asymptotes sont quatre points situés sur une même circonférence.

On voit d'ailleurs facilement (203) que le centre de cette circonférence et les deux mêmes points d'intersection déterminent une seconde circonférence qui passe par le centre de l'hyperbole.

CKOVBTBIB

E POSmOIt. — CHAMTU StV.