IV. — Correspondance entre les courbes

232. La distinction des courbes planes étant faite d'après leur ordre et d'après leur classe, nous dirons que :

Une courbe plane du «*•*" ordre présente en général, et tout au plus, n points communs avec une droite de son plan.

Une courbe plane de la /i'*"* classe présente en général, et tout au plus, n tangentes issues d'un même point de son plan.

Deux systèmes plans collinéaires étant donnés, aux points et aux tangentes d'une courbe dans l'un correspondent les points et les tangentes d'une courbe dans l'autre.

Quand deux courbes correspondantes sont du même ordre et de la même classe, à un point multiple et à une tangente multiple de Tune correspondent un point équimultiple et une tangente équimultîple de l'autre.

233. Deux courbes projectwes du second ordre peux^ent toujoutas être considérées comme courbes correspondantes dans deux systèmes plans collinéaires.

Soient A, B, C trois points quelconques de la première courbe h, et A| , B| , C| les trois points respectivement correspondants de la seconde courbe Ati ; soient, en outre, D le pôle de AB par rapport à Aï et D| le pôle de A| B| par rapport kk^. Si les courbes appartiennent à deux systèmes plans collinéaires correspondants, les tangentes à /: en A et B doivent correspondre aux tangentes à A"4 en A| et B|. Conséquemment, D et D4 sont aussi deux points correspondants des systèmes collinéaires.

On peut maintenant rapporter (231) collinéairement entre eux les systèmes plans dans lesquels se trouvent les courbes, de telle sorte qu'aux quatre points A, B, C, D de l'un coiTcspondent respectivement les points A|, B|, C|, D| de l'autre, et qu'à la courbe A, qui passe par C et qui touche en A et B les droites DA et DB, corresponde la courbe Ai, qui passe par G| et qui touche en A, et B| les droites D|A| etDfBi.

igG GÉOMÉTRIE DE POSITION. — GUAPITEE XV.

234. Deux courbes collinéaires du même ordre et de la même classe peuvent se présenter dans des conditions très-différentes, eu égard à leurs points à Tinfini.

Soient de nouveau S et Sf les systèmes plans collinéaires donl les courbes A* et /tj, de môme ordre et de même classe, sont des formes homologues, et soient A|, B| deux points de Z| qui correspondent respectivement aux points A et B de 2. A deux rayons quelconques a et & de S, parallèles entre eux et passant respectivement par A et par B, correspondent, dans E|, deux rayons ai et &4 qui passent respectivement par A| et B|, mais qui ne sont pas nécessairement parallèles. Au point à Tinfini, où se coupent les rayons a et i, correspond donc généralement un point propre d'intersection des rayons a, et A|, età la droite qui joint deux points à l'infini du système 2, c'est-à-dire à la droite à l'infini de S, correspond en général une droite qui joint deux points propres de2|, c'est-à-dire une droite propre de 2| ; pareillement, à la droite à l'infini de 2| correspond en général une droite propre dans Z.

11 s'ensuit que les points à l'infini de la courbe A' ne correspondent pas nécessairement à des points à l'infini de Af, et que les asymptotes de Ai, c'est-à-dire les tangentes aux points à Tinfini de cette courbe, n'ont pas non plus nécessairement pour correspondantes des asymptotes de Ati .

235. Soient S et S| deux systèmes plans réciproques. A tout point P de 2 correspond alors un rayon p^ de 2|. Si P parcourt dans 2 une courbe quelconque A:, px décrit en même temps dansZi une suite continue de rayons, c'est-à-dire un faisceau K| de rayons, et, si P s'approche d'un point fixe Q de la courbe A*, p^ s'approche d'un rayon fixe q^ du faisceau K| ; au rayon PQ, qui pivote autour du point Q, correspond le point j9,^i, qui se meut sur la droite q\. Lorsque le point P est à une distance infiniment petite du point Q, la droite PQ arrive à coïncider avec une droite fixe, qui est la tangente q du point Q; en même temps le point p^q^ coïncide avec un point fixe, qui est le point de contact Q» du rayon r/i , et qui correspond dès lors à la tangente ^ (78). En un mot : au faisceau K de tangentes, qui enveloppe la courbe A, correspond une courbe A^ qui est env^eloppée par le faisceau Kf