FORMES UNIES DANS LES SYSTÈMES COLLINÉAIRES

le point d'intersection d*un rayon quelconque DD|, passant par S, et de ]a droite «, la droite PD correspond à la droite PDi, c'est-h-dire à ellemême, puisque le point F correspond à lui-même. Tout rayon passant par S coïncide donc avec son correspondant; d*où il suit que deux points correspondants quelconques sont situés sur un rayon passant par le point S.

Si, au contraire, les systèmes se coupent suivant une droite n, deux droites telles que DDi, EE|, joignant deux couples quelconques de points homologues, sont situées dans un même plan et conséquemment se coupent. Mais toutes les droites qui joignent les couples de points homologues ne sont pas dans le même plan ; elles ne peuvent donc se couper deux à deux qu'à la condition de passer par un même point fixe S (17). Les deux systèmes plans sont donc des sections d'une même gerbe S.

jonction d'un rayon quelconque ^^i, situe sur 2, et de l'axe u^ le rayon n9 correspond au rayon tt^,, c'està-dire à lui-même, puisque le plan TT correspond à lui-même. Tout rayon situé sur 2, coïncide donc avec son correspondant; d'où il suit que deux plans correspondants quelconques se coupent suivant un rayon du plan 2.

Si) au contraire, les gerbes ont des centres différents, situés sur l'axe lif deux droites telles que J^i, sEi, intersections de deux couples quelconques de plans homologues, sont situées dans un même plan et conséquemment se coupent. Mais toutes les droites d'intersection des couples de j)lans homologues ne passent pas jiar un même point; elles ne peuvent donc se couper deux à deux qu'à la condition d'être situées dans un même plan 2 (17). Les deux gerbes sont donc des projections d'un même système plan 2.

Quand on se borne à considérer les systèmes plans non superposés et les gerbes non concentriques, ces deux théorèmes remarquables peuvent être énoncés ainsi :

Deux systèmes plans coiiinéalres, mtn superposés, sont perspectifs quand ils ont trois points unis sur la droite commune à leurs plans.

Detix gerbes collinéaii-es, non concentriqucs ^ sont perspectives quand elles ont trois plans unis passant par la droite commune à leurs centres.

Les propositions inverses apparaissent immédiatement :

Deux systèmes plans perspectifs, non superposés, ont comme éléments unis tous les points de la droite commune à leurs plans.

Deux gerbes perspectives, non concentriques, ont comme éléments unis tous les plans qui contiennent la droite commune à leurs centres.

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245. Deux systèmes plans colli^ néaires superposés qui ont une ponctuelie unie { c'est-à-dire tous les |K)ints de celte ponctuelle unis) ont aussi unfaisceau de rayons uni (c'està-dire tous les rayons de ce faisceau unis).

Soient 2 et 2| les deux systèmes proposes, u leur ponctuelle unie, a et «1 deux droites qui se correspondent dans les deux systèmes. Les deux ponctuelles situées respectivement sur a et A| sont projectives, à raison même de la collincation. Elles ont d'ailleurs comme élément uni leur point commun sur la ponctuelle unie u ; donc elles sont perspectives.

Soit b un rayon quelconque du faisceau de rayons T qui projette les ponctuelles a, ^i, et soient B, B|, M les points où ce rayon rencontre respectivement les ponctuelles a, a^^ u.

Le point B de a correspondant au point Bi de «j et le point M correspondant à lui-même, le rayon b est son propre correspondant, et il en est ainsi de tous les autres rayons de T. Les deux systèmes plans 2 et Zi ont donc le faisceau T de rayons uni.

Propositions inverses :

Deux systèmes plans collinéaires superposés qui ont un faisceau de rayons uni ont aussi une ponctuelle unie.

En effet, les deux gerbes concentriques, qui projettent les systèmes plans d'un centre quelconque, ont

Deux gerbes collinéaires concentriques qui ont un faisceau de plans uni ( c'est-à-dire tous les plans de ce faisceau unis) ont aussi unfaisceau de rayons uni (c'est-à-dire tous les rayons de ce faisceau unis).

Soient S et S, les deux gerbes proposées, u leur faisceau de plans uni, a et a^ deux rayons qui se correspondent dans les deux gerbes. Les deux faisceaux de plans qui ont pour axes respectifs a et a^ sont projecûfs, à raison même de la collinéation. Ils ont d'ailleurs comme élément uni leur plan commun dans le faisceau de plans uni u ; donc ils sont perspectifs. Soit b un rayon quelconque du faisceau de rayons T suivant lequel se coupent les faisceaux de plans a, «,, et soient |i, j3,, p, respectivement, les plans des faisceaux ^, a^^ u, qui passent par ce rayon. Le plan p de a correspondant au plan Pi de/7, et le plan p correspondant à lui-même, le rayon b est son propre cori-espondant, et il en est ainsi de tous It^s autres rayons de T. Les deux gerbes S et S| ont donc le faisceau T de rayons uni.

Deux gerbes coUinéaircs concentriques qui ont un faisceau de rayons uni ont aussi un faisceau de plans

uni.

En effet, les deux systèmes plans superposés, suivant lesquels les gerbes sont coupées par un plan quelconque,

RELATION PKBSPBGTIVE DANS LES FORMES DE LA SECONDE ESPÈCE. ao5

un faisceau de plans uni et par conséquent aussi un faisceau de rayons uni. Ce faisceau de rayons est coupe par le plan des deux systèmes suivant une ponctuelle unie.

ont une ponctuelle unie et par conséquent aussi un faisceau de rayons uni. Ce faisceau de rayons est projeté, du centre commun aux deux gerbes, suivant un faisceau de plans uni.

X. — Relation perspective dans les formes de la seconde espèce.

246. Deux systèmes plans, collinéaires et superposés, sont diisperspecii/s quand ils ont une ponctuelle unie, tf, et un faisceau de rayons uni S.

Jje point S, sur lequel sont alignés les couples de points correspondants, D, D| et E, E|, des deux systèmes plans, prend le nom de centre de coU linéation.

La droite i/, lieu des points d'intersection des couples de droites correspondantes, DE, D|E|, est dite axe de collinéation.

Deux systèmes plans perspec ti fs non superposés ont pour axe de collinéation la droite d*intersection de leurs plans et pour centre de collinéation le centre de la gerbe dont les deux systèmes sont des sections.

Deux gerbes collinéaires et concentriques sont dites perspectipes quand elles ont un faisceau de plans uni, u, et un faisceau de rayons uni 0- (S, b].

Le plan o*, sur lequel se coupent les couples de plans correspondants, ^, ^1 et (, (| des deux gerbes, prend le nom de plan de collinéation,

La droite u , lieu des plans de jonction des couples do droites corj*espondantes ^c, ^| C|, est dite axe de collinéation .

Deux gerbes perspectives non concentriques on t pou r axe de collinéation la droite de jonction de leurs centres et pour plan de collinéation le lieu du système plan dont les deux gerbes sont des projections.

Deux droites correspondantes se coupent, dans tous les cas, en un point de Taxe de collinéation.