I. — Systèmes plans alliés

249. Deux systèmes plans, 2 et 2i, sont dits collinéaires par affinité, ou alliés (* ], quand leurs droites à l'infini se correspondent.

A tout point à l'infini de l'un des systèmes correspond alors un point ù l'infini dans l'autre; à tout parallélogramme, un parallélogramme, h toute ponctuelle, une ponctuelle semblable (57).

250. Pour construire deux systèmes plans alliés, il suffit de prendre arbitrairement un triangle dans l'un comme correspondant à un triangle dans l'autre. Les côtés de ces triangles forment, avec les droites à l'infini des systèmes, les deux quadrilatères complets correspondants qui déterminent, en général, la correspondance projective de deux systèmes plans collinéaires (231).

Soient û, b, c et û|, ^i, c^ les droites respectivement assignées comme

(*) Voir, en particulier : Poncklet, Traité des propriétés projectives, etc. Paris , 1 865-66. — MÔBID8, Der barjcentrische Calcul, etc. Leipzig, 1827, II Abschn. — Chasles, aperçu historique, etc. ; Mémoire de Géométrie^ etc. Bruxelles, 1837, Deuxième Partie, § 23. — Bellavitis, Principii délia Geometria di derivazione {^Annali di Scienze ma" tematiche e fisiche, t. V. Roroa, i85/|, p. 'x\i et suiv.). — Witzschel, Grundlinien der neueren Géométrie, etc. Leipzig, i858, § 172-176. — Weissenbobn, Die Projection in der Ebene. Berlin, 1862, p. 165-196. — Pfaff, Neuere Géométrie, Erlangen, 1867, § 5. — Rete, Die Géométrie der Lage. Hannover, 1868, p. 43 -5 1. — Stacdigl, Lehrbuch der neueren Géométrie. Wicn, 1870, III Abschn. — Hanrbl, Die Elemente der projectivischen Géométrie, Leipzig, 1875, VII Abschn.

(') Voir Baltzer, Die Elemente der Mathematik. Zwciter Band. Dritte Auflagc. Leipzig, 1870, p. 191. Les figures alliées {affini) ont été considérées par Claibault {Mémoires de l'Académie des Sciences, Paris, i73i), par Ecleb {Introductio in ana- Ijrsin infinitesimorum^X, II, cap. XVIII) et par Po?(CKLET {Traité des propriétés projectives, Paris, 1822, n9 326). MObius est le premier qui se soit livré à des recherches générales sur les figures alliées {Der barycentrische Calcul, Leipzig, 1827, p. 91 et sniT., 23o).

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correspondantes dans les systèmes plans 2, 2.% et soient À, B, C, Ai, B^, Ci les sommets des deux triangles qui ont ces droites pour côtés.

Pour construire le point Di de Z| qui correspond à un point quelconque D de 2, on joint le point A au \H}ini D par la droite AD, qui coupe le côté BC du triangle en un point E, on détermine sur B^Ci le \)oini Ei qui satisfait à la proportion

BC l EC = B|Cf I E|Cit

et Ton joint les points Ei, Af Le point cherché Di est évidemment (57, 249) le point de AfE^ qui divise ce segment dans le rapport même suivant lequel le segment A£ est divisé par le point D.