COURBES CORRESPONDANTES DANS LES SYSTEMES ALLIES

ai3

conjugués de l'une ont pour correspondants deux diamètres conjugués de Vautre,

£q effet, à une série de cordes parallèles dans Tune correspond une sërie de cordes parallèles dans l'autre, et, par suite de la proportionnalité des segments correspondants, au point milieu d'une corde correspond le point milieu de la corde correspondante. A.ux asymptotes de Tune des hyperboles correspondent les asymptotes de l'autre.

257. Pour allier deux hyperboles données^ il suffit de faire correspondre aux asymptotes de tune les asymptotes de f autre et y en outre y à un point ou à une tangente de Vune^ un point ou une tangente de Vautre,

Cela revient à dire que les hyperboles peuvent être rapportées projectivement entre elles, de telle façon qu*aux deux points à l'infini et à un troisième point quelconque de l'une correspondent respectivement les points a Finfini et un troisième point quelconque deTautre. Les deux systèmes plans

Fig. 71.

dans lesquels se trouvent les deux hyperboles sont alors rapportés col linéairement entre eux; de plus ils sont alliés, car les droites de jonction des points à rinfiui des deux hyperboles, c'est-à-dire les droites à l'infini des systèmes, se correspondent.

258. Pour allier deux ellipses données ^ il suffit de prendre deux points de l'une, situés sur deux diamètres conjugués y et de leur assigner comme correspondants deux points de Vautre^ pareillement situés sur deux diamètres conjugués.

Soient k et A^ [fig, 71) les deux ellipses données, ABCD et AifijCiDi les parallélogrammes, respectivement inscrits à ces courbes, qui ont pour diagonales les couples de diamètres conjugués AC et BD, A, Cf et B, D, , choisis

arbitrairement ; soient, en outre, M, Mf les centres des deux ellipses. On prend comme correspondants, dans les deux systèmes alliés, les points A, B, C et Al, Bi, Cf. Au point milieu M de AC correspondra le point milieu Ml de Al Cl, et k Tellipse A:, qui touche en A et C deux droites parallèles h MB, et qui passe par B, correspondra l'ellipse Ai, qui touche en Al et Cl deux parallèles à MiBi et qui passe en outre par B|.

On peut substituer aux diamètres conjugués MA et MB d^une ellipse k deux autres diamètres conjugués quelconques.

Dans toutes les positions de MA et de MB, Taire du parallélogramme ABCD esta celle de Tellipse A- comme Taire du parallélogramme AiBiC,D| est à celle de l'ellipse A^ Il s'ensuit que :

Tous les parallélogrammes inscrits dans une ellipse, et dont les diagonales sont deux diamètres conjugués^ ont même aire.

I^ parallélogramme circonscrit, dont les cAtés touchent Tellipse aux points A, B, C, D, est double du parallélogramme ABCD. Donc :

Tous les parallélogrammes circonscrits à une ellipse, et dont les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués, ont mi'me aire.

Si 2/7 et 2 6 sont les longueurs des deux axes d*une ellipse, ^ah est Taire de tout parallélogramme circonscrit dont les cotés sont parallèles à deux diamètres conjugués. Si Tellipse est alliée à un cercle de rayon r, l'aire S de Tellipse est à ^ab comme Taire trr* du cercle est à Taire 4^* du carre circonscrit au cercle. Donc

S : ^ab-Tzi^ : 4/-*, S = Ttab,