IV. — Systèmes plans semblables. Systèmes homothétiqaes
259. Deux systèmes plans collinéaires, 2, 2i, sont dits semblablcSy lorsque chaque angle de Tun est égal à Tangle correspondant de l'autre.
Il résulte immédiatement de cette défininilion que deux faisceaux quelconques de rayons y qui se correspondent dans des systèmes semblables, sont égaux (58).
COURBES PERSPECTIVES, SEMBLABLES ET HOMOTHÉTIQUES. CONGRUENCE. 21 5
Deux systèmes semblables sont aussi alliés.
En effet, à deux droites parallèles de 2 correspondent deux droites paallèles de 2i et, conséquemment, à chaque point à l'infini de 2 un point à 'infini de 2|.
Les côtés des triangles correspondants, dans 2 et 2i, sont proportionnels, :ar les triangles sont ëquiangles ; donc :
/>f segments correspondants de deux systèmes plans semblables sont ntre eux dans un rapport constant.
Deux systèmes semblables sont perspectifs quand les côtés d'un angle lans 2 sont respectivement parallèles aux côtés de l'angle correspondant lans 2i.
En effet, dans ce cas, deux droites correspondantes quelconques sont [>arailèles et les systèmes plans ont la droite à l'infini unie.
260. Deux systèmes semblables perspectifs, qui ne sont pas des sections parallèles d'une même gerbe, sont superposés et ont un faisceau de rayons ani. On dit en ce cas que les deux systèmes sont semblables et semblablement placés ou homothétiques (*), et le centre du faisceau de rayons uni, c'est-àdire le point où concourent les droites qui joignent les couples de points correspondants, est appelé centre de similitude ou à'homothctie.
y. — Courbes perspectives, semblables et homothétiques.
Gongruence.
261 . Pour mettre deux courbes du second ordre semblables en position perspective, il suffit de les disposer de telle façon que deux cordes (ou deux tangentes) non parallèles de l'une deviennent respecti ventent parallèles aux cordes ( ou aux tangentes ) correspondantes de l'autre. Deux cordes (ou deux tangentes) correspondantes quelconques sont alors parallèles.
Si les deux coniques sont dans un même plan, les points correspondants sont alignés sur un point fixe. Si elles ne sont pas dans un même plan, elles sont des sections parallèles d'une même surface conique.
(') Les fifpires semblablement placées ont été étudiées par Ei'CLIDe (VI, p. i8, XI, p. 37). Voir aussi, sur cette relation particulière : les Œuvres mathématiques de SiMO!! Stevir de Bruges. Leyde, i634* — CnASLBS, dans les Annales de Mathématiques de GncoiniB, U XVIII, p. 380.
ai6 GBOMÉTBIE DE POSITION. — CHAPITRE XVf.
Deux paraboles peuvent toujours être consîdérëes comme semblables ; car, si Ton ramène leurs plans et leurs axes au parallélisme, deux cordes ( ou deux tangentes ] correspondantes quelconques seront parallèles.
Deux ellipses ou deux hyperboles ne sont semblables que si leurs aies sont proportionnels.
Les deux courbes sont homothétiques lorsque deux couples de diamètres conjugués de l'une sont respectivement parallèles h deux couples de diamètres conjugués de l'autre.
Deux hyperboles semblables ont des angles asymptotiques ^aux.
262. Deux figures sont dites congrucntes lorsque deux segments correspondants quelconques de ces figures sont ^aux. La co:igtuence est donc un cas particulier de la similitude.
Dans les systèmes plans congruents, deux angles correspondants quelconques sont égaux entre eux.
Il est facile de reconnaître le rapport qui existe entre la relation de congruence et celle de collinéation. Les figures congruentes sont un cas particulier des figures semblables, comme celles-ci sont un cas particulier des figures alliées, qui sont elles-mêmes un cas particulier des figures coUinëaires.
Il est évident que deux systèmes plans congruents quelconques peuireDt être mis en position perspective d'une infinité de manières.
