PROIBCTIVITÉ DANS LES CONIQUES GAUCHES

perspectifs à une conique gauche sont projeetifs entre eux.

perspectifs à un faisceau de plans du troisième ordre sont projeetifs entre eux.

332. Rapporter projectivement entre elles deux coniques gauches k et k^ de telle sorte qu'aux points A, B, Cde k correspondent respectivement les points A| , B| , C| dek^.

On rapporte projectivement entre eux deux faisceaux de plans, Tun u perspectif à la courbe kj l'autre v^ perspectif à la courbe Ati, de telle sorte qu'aux plans uA, uB, uC du premier correspondent respectivement les plans ^|A|, l'iBi, v^C^ du second.

Deux points des courbes se correspondent quand ils sont projetés par deux plans correspondants des faisceaux u et V{.

Les coniques gauches projectiles sont des /ormes correspondantes de deux espaces collinéaires.

Soient, en effet, D, E, F trois nouveaux points de la courbe k^ auxquels correspondent, dans kt , les points D|, E|, F|. Nous pouvons rapporter collinéairement entre eux deux espaces, Z etZ|, de telle sorte qu'aux cinq points A, B, C, D, E de 2 correspondent respectivement les cinq points A|, B|, C|, D|, E| de £|. Le faisceau de plans AB(CDEF) a dès lors pour correspondant le faisceau de plans A| B| (C|D|E|F| ) qui lui est perspectif, et le plan ABF de S a pour correspondant le plan A| B| F| de £| .

On démontre de la même manière que tout autre plan de S, joignant le point F à deux quelconques des points A, B, C, D, E, a pour correspondant le plan de Z| qui projette de F| les deux points correspondants du groupe A|, B|, C|, D|, E|.

Le point F de S, comme point d'intersection de trois plans ainsi définis, correspond au point Fi de £i, considéré comme point d'intersection des trois plans qui correspondent aux trois premiers. Conséquemment, la courbe /r, sur laquelle se trouvent les six points A, B, C, D, E, F, doit avoir pour correspondante la courbe k^ , à laquelle appartiennent les points homologues A| , B| , Cl, D|, E|, Fi; on ne peut, en effet, faire passer qu'une seule conique gauche par six points de l'espace (338).

a8o GÉOMBTRIB DE P05ITI0K. — GHAPmE XX.