DÉTERMINATION DES CONIQUES GAUCHES PAR POINTS ET SÉCANTES

soit coupé par trois quelconques des quatre sécantes données. La droite SS| ne peut pas d^ailleurs être Tune de ces sécantes, car autrement les gerbes S et S| auraient un plan uni.

Quand trois des sécantes données forment un triangle, la conique gauche passe par les sommets (337).

La courbe est donc déterminée et peut être construite quand on donne cinq de ses points et une sécante.

Nous établirons entre les quatre sécantes a, b, a^ , b^ un ordre déterminé de succession, afin que, ces droites étant projetées des points S, S| et d'un troisième point quelconque Sa de la conique gauche, au moyen de trois angles tétraèdres (24), chacun des couples de sécantes a, a^ et &, b^ soit précisément projeté par un couple de faces opposées.

Menons, dans chacun des trois angles tétraèdres projetants, le plan des deux rayons suivant lesquels les faces opposées se coupent deux à deux; nous obtenons ainsi, dans les gerbes collinéaires S, S|, Sa, respectivement, les plans er, gti, gts, qui sont homologues et qui se coupent, par conséquent, suivant une même sécante s.

Lorsque le point Sa se déplacera sur la conique gauche, le plan Ga tournera autour de la sécante s.

Ces considérations servent de base à une construction très-simple de la conique gauche :

Étant donnés deux points S, S| et deux couples de sécantes a, ai et &, &| de la conique gauche, on fait passer par S deux rayons qui soient coupés, le premier par a et ai , le second par & et &| ; on joint ces deux rayons par un plan er. On détermine pareillement le plan gti des deux rayons qui passent par S| et qui coupent respectivement les couples de sécantes a, ai et &, &i ; on détermine enfin Tintersection .v des plans er et gti . Tout plan era passant par s coupe alors les deux couples de sécantes a, ai et &, b% en deux couples de points Â, A| et B, B|, dont les droites de jonction AÂ| , BB| se rencontrent en un point Sa de la conique gauche.

On reconnaîtra l'exactitude de cette construction en observant que les deux surfaces doublement rectilignes qui unissent s k a^ ai et k bj b^y se coupent suivant la sécante s et suivant la conique gauche cherchée.

a8a GEOMÉrais db position. — châpitib xx.

n. — Hexagone et tétraèdre inacrits dana la conique gaoche.

Congmence.

355. De ce qui a été établi au n^ 335 et du théorème de Pascal (68) on déduit que :

Tout hexagone inscrit dans une conique gauche est projeté d'un point quelconque S de la courbe au moyen d'un hexaèdre dont les trois couples de faces opposées se coupent suivant des droites situées dans un même plan er, qui passe par le centre de projection.

Lorsque le point S se meut sur la conique gauche , le plan a tourne autour d'une sécante fixe Sy qui est déterminée par deux couples de côtés opposés a, a^ et b, &| de Thexagone ; cette sécante est d'ailleurs commune aux deux surfaces doublement rectilignes qui rattachent la conique gauche aux deux couples de sécantes a, ai et b, b^.

356. Soit SABC un tétraèdre inscrit dans la conique gauche et soient S|, Ai, B|, C| les points oè les tangentes aux quatre sommets S, A, B, C sont coupées par les faces respectivement opposées du tétraèdre. Les points S|, A|, B|, Ci forment un second tétraèdre qui est en même temps inscrit et circonscrit au premier. Le plan A|B|Co P^^ exemple, contient le point S. Lorsque ce point se meut sur la courbe, le plan A| B| C| tourne autour d'une sécante fixe 5, et les points A, B, C ne changent pas de position. Le triangle ABC est donc projeté de S par un trièdre inscrit dans la surface conique du second ordre SAr, et les tangentes aux points Ay B^ C sont projetées par les plans tangents suivant les trois arêtes SA, SB, SC. Les trois rayons SA|, SB|, SC|, suivant lesquels les faces du trièdre sont coupées par les plans tangents des arêtes opposées, doivent, par conséquent, se trouver sur un même plan A|B|C|. Si l'on remplace le point S par un autre point S' de la courbe, on obtient, au lieu du plan A, B| C| , un autre plan A', B', C, . Ces deux plans se coupent suivant une sécante 5, puisqu'ils se correspondent dans les gerbes collinéaires

HEXAGONE ET TETRAEDRE INSCRITS DANS LA CONIQUE GAUCHE. a83

qui projettent des points S et S' la conique gauche et son système de sécantes.

357. On déduit de cette propriété une importante application relative aux plans osculateurs d'une conique gauche.

Désignons, en effet, par a, b^ c les tangentes AA|, BB^ CC| aux points A, B, C et par P le point où la sécante s rencontre le plan ABC. D'après ce qu'on vient de démontrer, la droite d'intersection des plans SBC et Sa et la sécante s doivent se trouver dans un même plan. Quand le point S, se déplaçant sur la courbe, vient à coïncider avec le point A, le plan Sa devient osculateur au point A, le plan SBC coïncide en même temps avec ABC, et la droite d'intersection de ces deux plans, qui doit toujours couper )a sécante 5, se confond avec la droite AP.

On démontre de la même manière que les plans osculateurs des points B et C doivent passer par le point P. Donc :

Les plans osculateurs en trois points quelconques A, B, C d'une conique gauche se coupent en un quatrième point P du plan ABC.

Il résulte immédiatement de là que :

Par un point quelconque P de l'espace, il ne passe jamais plus de trois plans osculateurs d'une conique gauche, et par une droite quelconque, jamais plus de deux.

En effet, si les plans osculateurs de quatre points A, B, C, D de la courbe passaient par le point P, les points C et D devraient se trouver sur le plan ABP, ce qui est impossible, puisque le plan peut avoir tout au plus trois points communs avec la conique gauche (*).

358. Une seconde conséquence du théorème démontré plus haut (356) est exprimée par la double proposition suivante :

Les deux tétraèdres formés, l'un par quatre points d'une conique

Les deux tétraèdres formés, l'un par quatre plans d^un faisceau de

C) On énonce ordinairement cette proposition sous une autre forme, en exprimant que la courbe du troisième ordre est en même temps de la troisième classe. Rappelons, à ce propos, que la classe d'une courbe gauche est exprimée par le plus grand nombre de plans osculateurs qu'on peut mener à cette courbe par un point.

gauche, l'autre par les quatre plans plans du troisième ordre, F autre par osculateurs en ces points, sont en les quatre points de contact de ces

méine temps inscrits et circonscrits l'un à r autre.

plans, sont en même temps inscrits et circonscrits l'un h Vautre.

Cette propriété permet de construire le plan osculateur en un point quelconque d'une conique gauche quand on connaît les plans osculateurs en trois points.

Xn. — Relation entre la conique gauche et le faisceau de plans

du troisième ordre.

359. On voil, d'après ce qui précède, que la position de quatre points d'une conique gauche par rapport à leurs quatre plans osculateurs est identique à la position de quatre points de contact d'un faisceau de plans du troisième ordre par rapport à leurs quatre plans.

Cette observation conduit aux propositions suivantes :

Tous les plans osculateurs d'une conique gauche forment un faisceau de plans du troisième ordre.

Tous les points de contact d'un faisceau de plans du troisième ordre forment une conique gauche.

Soient a, (3, y les plans respectivement osculateurs aux points A, B, C de la courbe A*, et soit P le point d'intersection de ces plans, situé sur ABC (357).

Quand le point C parcourt la courbe, le plan ABC décrit un faisceau de plans AB, perspectif à A'; ce plan, dans chacune de ses positions, coupe la droite a|3 au point P, par lequel passe aussi le plan osculateur y du point C. Le faisceau de plans AB décrit par ABC est donc perspectif à la ponctuelle «P décrite par le point a(3y ou P pendant le mouvement du plan osculateur y. Si maintenant on remplace les points A et B par deux autres points fixes quelconques A| et B| de la courbe, et si l'on considère que les deux faisceaux de plans AB et A|B|, perspectifs à la courbe, sont projectifs entre eux, on est amené à conclure que :

Toutes les ponctuelles sur les lieux desquelles se coupent deux plans osculateurs d'une conique gauche sont rapportées projeC' tivement entre elles par les plans osculateurs de la courbe.