MB — MC CM -+- MD

ou bien, en remplaçant MB par — BM, MC par — CM et MD par BM,

AM — BM AM-f-BM CM — BM~ CM + BM'

Multipliant et réduisant, il vient

(2) bm'^am.cm,

ce qui revient à dire que BM est moyenne proportionnelle entre AM et CM.

On pourrait encore prendre cette propriété comme définition d'un système harmonique de points.

Faisons passer un cercle quelconque par les points A et C [fig- lo); menons à ce cercle, par le point M, la tangente MT. Nous avons, d'après une propriété connue,

AM . CM = TM'

(*) Les segments négatifs ont été employés dès le commencement du xvii^ siècle, spécialement par Girard et par Descabtes; mais c'est en 18:17 que Mobids a introduit, pour la première fois, dans le Calcul géométrique, la féconde distinction des segments AB et BA ( Der barycentrische Calcul, ein neties HRlfsmittel zur analjrtischen Behandlung der Géométrie. Leipzig, \ 1 ). II conrient de rappeler, toutefois, qu'avant MÔBica, Klsnira a?ait explicitement indiqué cette distinction (Geometrische Abhandlungen. Ente Sammlung. Anwendungen der ebenen Géométrie und Trigonométrie, Der Matbem. Anfangsgr., I Theils, III Abtheil. Gôttingen, 1790, p. 464). Entre Kâstiver et MÔBIU8 il faut citer Fa.-G. Bossb, qui a introduit, en pleine connaissance de cause, la notion de direction en Géonlétrie {Neue Erôrterung ûber dos Plus und Minus, Tadel einiges biskerigen und Darstellung eines genaueren Gebrauches desselben fur die Tri' gonometne, 1. Abth. Kôlhen, 1801). Voir, à ce sujet, Ueber die Vieldentigheit der Quadratur und Rectification algebraischer Curven, etc., von Hebmann Hankbl. Leipzig, i86j, p. 8.

et par suite

Le point de contact de la tangente est donc situé sur le cercle décrit du point M comme centre, avec BM = MD pour rayon. Ce cercle et le précédent se coupent h angle droit au point T. On en déduit que :

Tous les cercles du plan passant par deux points donnés, A et C, sont coupés à angle droit par tout cercle dont un diamètre DB a ses extrémités séparées harmoniquement par A et C.