I. — Relations métriques entre les angles et les segments

50. 11 existe une proportion importante entre les angles et les segments qui sont limités par des éléments correspondants de formes fondamentales projectives.

Considéi^ons un faisceau S de rayons et une ponctuelle u [fig> i^eï i5) persi)ective à ce faisceau. Quatre rayons quelconques, a, b, c, d de S coupent u aux points correspondants A, B, C, D. Les triangles compris entre la ponctuelle et les rayons, et dont le sommet commun est en S, ont même hauteur; leurs aires sont donc entre elles dans les mêmes rapports que les bases situées sur u, et Ton a

AASB AB ACSB CB

aASD "" AD ^^ ACSD~"CD*

Mais Taire d'un triangle est égale au demi-produit de deux côtés par le sinus de Tanglequ'ib comprennent; on a donc

A VSB = i AS.SBsin«/>, ACSB = \ CS.SB sin cb,

A ASD= i AS.SD sm ad, ACSD =^ { CS.SDsinc^i

substituant ces valeurs dans les proportions précédentes, il vient

SB sin /i^ ÀB SBsinc6 CB ci^ ^ AD^ ^^ . /^ CD

et, divisant.

sina^ sinc^ AB CB