AD ' CD

sin<7^ s\n cd Chacun des termes de cette proportion, pris isolément, constitue un rap-

52 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AU Cli.iPITRE VI.

CB port; par exemple, r,^c est le rapport des deux segments résultant de la

* sin cô

division du segment BD par le point C, et — — est le rapport des sinus

sin cd

/\ des deux angles résultant de la division de l'angle b€l par le rayon c. Les

deux membres de l'équation (i) représentent donc le rapport de deux rap»

ports, ou un double rapport, ou encore, suivant la dénomination généralement

adoptée, un rapport anharmonique (*). U est facile de reconnaître le mode

de formation des rapports anharmoniques considérés. Par exemple, celui

( * ) Bien qu'un auteur ( Die Elemente der Mathematih^ von D' Richard Baltzer, II Band. Dritte Aufla(;(>. Leipzi{v, 1870, p. 365) ait écrit que les rapports anharmoniques ont été étudiés pour la première fois par Môaics {^Der harycentrische Calcul^ etc. Leipzig, 1827, p. 3/|4 et suiv.), on est fondé à affirmer que les traces en remontent à Euclioe. Chasles, en effet, en étudiant les lemmrs de Pappcs {^Aperçu historique sur Voriginc et Jx développement des méthodes en Géométrie ^ etc. Bruxelles, 1837, p. 34, Boî. — Traité de Géométrie supérieure. Paris, i853, p. xxi. — Les trois livres des porismei d'Euclide rétablis pour la première /ois, d'après la notice et les lemmes de Pappus^ et conformément au sentiment de R, Simpson sur la forme des énoncés de ces propositions, Paris, 1860, p. Il, l'i, 82, 85. — Rapport sur les progrès de la Géométrie. Paris, IIDCCCLXX, p. s^o), a signalé uno proposition qui avait échappé aux investigations antérieures et qui contient la propriété projective du rapport anharmonique cie quatre points. Cette propriété est démontrée en six lemmes diflereiits (III, X, XI, XI\, XVI et XIX), et Pappus en a fait usaje pour la démonstration de plusieurs autres lemmes. Ces circonstances ont autorisé Coasles à penser que les propositions d'EccLi»c étaient de celles auxquelles conduisent naturellement les développements et les ai>plications de la notion du rapport anharmonique. Parmi ces développements se présente en première ligne la théorie des divisions homographiques (ponctuelles projectives) formées sur deux droites ou sur une seule.

Voir à ce propos une Note très-intéressante de Cantor : Ueber die Porismen dts Euclid und deren Divinatoren, dans la Zeitschrift fur Mathematik und PhjsiA, t. U, p. 17-27. Du reste, avant MÔ3ius, Desabuues {OEuvres réunies et publiées par M. Poudra. Paris, i86.'|, t. I, p. 42*») et Brianchon [Mémoire sur les lignes du second ordre. Paris, 1817, p. 7) ont démontré la proposition fondamentale de cette théorie. La dénomination de rapport anharmonique^ introduite par Chasles (op. cit.), d'après la signiGcation du vocable ctva, est en réalité assez impropre, puisque quatre éléments deviennent harmoniques pour une valeur particulière de leur rapport anharmonique; nous la conserverons cependant, parce qu'on peut la considérer comme généralement acceptée désormais par les géomètres modernes. MOdius (op. cit.) avait appliqué à la même relation le nom de Doppelschnittsverhàltniss, auquel il substitua plus tard l'abréviation Doppelverhàliniss Théorie der [Kreisverwandtschaft (Abhandlungen d. k. s. Gesellschaft der fVissenschaften, t. IV, p. 546)]. Voir les Berichte de la Section physico-mathématique de la même Société, i853, p. i5. Steixeb adopta cette seconde dénomination {Systematische Eniwickelung, etc. Berlin, i832, p. 7), que l'on trouve encore dans les écrits de plusieurs géomètres allemands modernes.

llBLATrONS MÉTIIIQVES ENTRE LES ANGLES ET LES SEGItENTS. 53

•le droUe, qui existe entre les segments limités [ur les pointa A, B, C,D, s'obtient en divisant l'un jiar l'autre les rapports suivant lesquels le segment BD, limité par deux de ces points, est divise par chacun des deux autres. I/autre rapport anbarmonique, eiistiut entre les sinus, s'obtiendrait d'une manière analogue. On voit encore, d'apiès la marche suivie pour la déduction de notre équation, qu'il est indifrérent de prendre certains i^ments et certains angles plutât que certiins autres, puisque les rapports anharmoniques sont toujours formes de la même manière. Un autre choix des qjiatre triangles aurait, en effet, conduit à l'équation suivante :

sin «'/ sinArf AD BD

'.'^ ' ~^ "" ÂC ' BC' sinac sin ftc

Il seriiit facile de déduire d'autres équations semblables, |iour les mêmes |>oints et jmur les mêmes rayons (').

SI. II convient d'observer que l'équation [ i ] subsiste quand on transporte L) ponctuelle u dans une autre jKisition oblique quelconque, par rapport au faisceau de rayons. Toute autre droite Ui, cou|>ant en A|, B,, C], D|, respectivement, les.raynns a, b, c,d, fournit des segments qui donnent lieu à une équation analogue >'■(■)

. . Wft . sinc A Aj^B, C^^

(') Quatre poinli ABCD en ligne droite délcrmineol Tin(;t-']ualre rapport! ■ilhar< moDiqoea, parmi leiquela, lonlelbis, lii «euleroenl difllcrent les uni de» aulm. Si l'on en r^prëseme un, par exemple ( ABCD). par x, on a ;

tABCD)=CBADC)=^(CDAB) = (DCBA)=», {ACDB) = (CABD)-(DBAC)^(BDCA)^ '- -.

(ADBO) ={DACB) == (fiCAD) = (CBDA) z:. ^^^li. (ABDC) = (BACD) = (DCAB) = (CDBA) = - ,

(ACBD)^(cadb; = (bdac)=(dbca) = i -«, (adcb) = (dabc) 1^ (cbad) = (bcda) = — ^- -

Il auit de li que, tl l'un an >ii rapport» ■Dbarrooniquei ait donné, lc« cinq antre* «ont déterminé». liBF.MoiA nom nie tp8 trois preniieri rapporla faniiamenlaux t\\et Iroii ■Dtm ricipraiHri. Pour la dédirclion du r}-itème t./ailiarmoniqur, loir Cciau», Tmiodazionc ad una troria gmmrtrica delta curve plant, Bologna, ifi6a, i

54 céoMémi we poanoK. — A fpmM c» ab cHArams vu

Pareilkment, les points A, B, C, D sont prcjetës de toot point Si, difficrciil de S, pu* quatre njoos «i» ^j, Cf, i/f, tek qu'on ah

sinAi</| ftinc|</|

(7/1 rapport anharmonique de la forme précéilente,' entre quatre élémeidi d*une ponctuelle on d* tut faisceau, ne subit aucmme altération dans sa m- Icur quand ces éléments sont remplacés par les éléments correspondais d'une ponctuelle perspective ou d'un faisceau perspectif

n. — Propriété du rapport anharmonique.

52. Nous pouvons considérer deux formes fondamentales simples, prujectives , comme premier et dernier terme [Vî) d'une série de formes, telles que chacune est perspective à la suivante; il s'ensuit que :

Si deux formes fondamentales sont projectives, le rapport anharmonique entre quatie éléments quelconques de l'une est égal au rapport anJiarmo' nique entre les quatre éléments correspondants de l'autre.

Réciproquement :

Pour que deux formes fondamentales simples soient projectifes, il faut et il suffit que quatre éléments de la pteniière, pris à volonté, et les quatre éléments correspondants de la seconde, aient le même rapport anharmonique.

Soient en effet u et u^ deux ponctuelles projectives, et soient A, B, C, D les points de u qui correspondent respectivement aux points Ai, Bj, Ci, D} de e/i. On a, entre les segments limités par ces points, la proportion

AB CB AjBi C^, '^' Âï) ' CD ~" AjDi C^i '

Cette proposition est évidemment vraie pour les faisceaux de plans. Les angles formés par les éléments de ces faisceaux ont, en effet, leurs mesures dans un faisceau de rayons, situé dans un plan perpendiculaire à l'axe du faisceau de plans, pers|)êctif à ce dernier faisceau et par suite projeclif à toute forme fondamentale qui est elle-même projective au faisceau de plans.

En revenant sur ce qui a été précédemment exposé au sujet des relations métriques dans les systèmes harmoniques (37), on reconnaît facilement

PaOPRIBTB DU RAPPORT ANHARMONIQUE. 55

que le rapport harmonique n'est qu*un cas particulier de ranharmonique : Le rapport anharmonique de quatre éléments harmoniques est égal à l'unité négative.

53. C^est ici le cas d'établir les relations métriques entre les angles d'un faisceau harmonique de rayons ou de plans. Soient a, b, c, d [fig, lo) les éléments du faisceau et A, B, C, D les quatre points suivant lesquels ces éléments sont coupés par une droite quelconque. On a (37)