BD ^AD^ AB

b7d"i "^ B^ "~ dTcI'

Ce résultit met en évidence une particularité remarquable des couples de points correspondants, à savoir qu'o/i peut déterminer sur une ponctuelle des couples de points B, D, tels que leur distance soit égale à celle tles points correspondants Bj, Ci; ou, plus brièvement, qu'on peut déterminer des segments correspondants égaux sur les lieux des deux ponctuelles. En effet, pour que

BDr - BjD|,

il suffît qu*on ait

AB '^ DiC

et par suite aussi

AD :l^ BiCi;

c'est-à-dire que, si Ton porte du point A sur le premier lieu un segment AB de grandeur arbitraire, du point Ci sur le second lieu un segment Cl Di = AB, et si l'on détermine les points Bi et D qui correspondent à B et à Di, on a

BD •=. BjD,.

La grandeur du segment AB étant arbitraire, aussi bien que sa direction, on peut déterminer ainsi, sur les deux ponctuelles projectives, un double système de segments correspondants égaux*

Sîy par exemple, nous portons de part et d'autre du point A {fig^ 20) sur la ]K>nctuelle u, un segment de longueur quelconque, FA = AG, si nous portons le même segment sur u^^ de part et d'autre de Ci, de telle sorte que

HiCi = CiKi r=i FA "^^^ AG,

et si nous déterminons les quatre points correspondants Fi, Gi, H, K, nous aurons, non-seulement

FHrrrFiH, et GKr- GjKi,

mais encore

GH — HiGj et FK = KiFi.

En effet, Ci étant le milieu de Hi Ki et Ai étant à l'infini, les quatre points

. H,, Cl, Kl, Al sont harmoniques (35) ; dès lors HCKA est aussi un système

harmonique; et comme le point C est à l'infini, le point A est au milieu

58 GBOMÉTRIB Dl ffOSITlON. — kmXÙÎCE AU OHâFITftB VI.

de HK. Pour le même motif, Ci est au milieu de FfGit et nous «Tons

HF = GK = GiKi FA ~ KjCi

AG r^ C,H,

HG ~ GiUi

et de même