KF — F|K
En faisant varier la longueur AF, qui a été prise arbitrairement, nous
obtiendrions le double système complet de segments correspondants égaux. Concluons donc que :
Deux ponctuelles projectives contiennent deux systèmes de couples de segments correspondants égaux. Les couples de l'un des systèmes ont leurs deux extrémités sur les mêmes moitiés correspondantes des deux lieux, et ne comprennent pas, par conséquent, les points A et Ci. Les couples de l'autre système ont au contraire leurs deux extrémités sur les moitiés opposées des deux lieux, et comprennent par conséquent les points A et Ci. Tout point de l'une {les ponctuelles représente une extrémité commune à deux couples de segments correspondants égaux, qui appartiennent respectivement à chacun des deux systèmes.
in. ~ Ponctuelles égales et semblables.
55. Deux ponctuelles projectives sont dites égales quand on peut les superposer, de telle sorte que chaque point coïncide avec son correspondant.
De régalité des rapports anbarmoniques on déduit que deux ponc*
PONCTCBLLES ÉfiALES ET SEMBLABLES. 69
iiitlies égales sofit projecth'es (52); vioe versa, deux ponciueltes projectives sont égales lorsque trois couples de points correspondants A, A| ; B^Bi ; €,Ci sont placés de telle mauiéne qm,*on ait AB = AiBi, AC = A^Ci, et BC =*= B] C|.
Supposons, en effet, les deux ponctuelles placées dans une position telle que les trois couples Àt s^ments égaux coïncident par leurs extre'mités correspondantes; les deux formes ont alors trois points unis; elles sont par conséquent identiques ou égales (43).
50. Si une ponctuelle ABCD. . . . est projetée d'un centre situé à V infini, le segment AB est égal à sa projection A|Bi, et la ponctuelle résultante Ai Bi Cl Di . ... est égale à la ponctuelle donnée.
Un faisceau de rayons non paraUcles est coupé par deux transversales parallèles, situées à égale distance de son centre, suivant les deux ponc" tuelles égales,
57. Deux ponctuelles projectives sont dites semblables, si les points correspondants déterminent des segments proportionnels.
Si les points à l'infini de deux ponctuelles projectives sont correspondants, les ponctuelles sofit semblables.
En effet, si l'on projette chacune des deux ponctuelles du point à l'infini de Tautrei on obtient devx faisceaux de rayons parallèles, dans lesquels les rayons correspondants se coupent sur une même droite (46). Les segments de cette droite sont alors proportionnels à ceux des deux ponctuelles, et ceux-ci, par conséquent, sont proportionnels entre eux.
On obtient très-facilement deux ponctuelles semblables, soit en coupant, {Hir deux transversales quelconques^ un faisceau de rayons parallèles, soit en coupant, par deux transversales parallèles, un &isceau de rayons qui a SQB centre à distance finie.
En effet, tout élément du faisceau de rayons parallèles coupe les ponctuelles en des points correspondants. Les points d'intersection des ponctuelies et d'un rayon situé à distance infinie seront dès lors correspondants. Mais ces points sont eux-mêmes à l'infini ; donc les ponctuelles sont semblables.
En ce qui touche le second procédé, les ponctuelles obtenues comme sections du faisceau étant perspectives, tout rayon du faisceau les coupera en deux points correspondants. On aura le même résultat pour le rayon parallèle aux ponctuelles. Or œ rayon ies coupe en leurs points à l'iafini ; donc ces points sont correspondants et par suite les ponctuelles considérées iont scHiblablet.
CfO GÉOMKTIIIB DB POSITION. — APPSia>ICB AU CRAHTAB TI.
Nous observerons d'ailleurs que les ponctuelles sont perspectives dans les deux cas; que le point uni est généralement à distance finie dans le premier, et qu'il est toujours à l'infini dans le second*
