II. — Surlace conique et faisceau de plans du second ordre
63. En projetant d'un point quelconque, pris en dehors de leur plan, les figures qui expriment les deux propositions précédentes, on est immédiatement conduit à ces deux autres propositions :
Si deux faisceaux de plans ^ dont les axes se coupent^ sont projectifs sans ^tre perspectifs, toutes les droites
Si deux faisceaux de rayons, dont les plans se coupent, sont concen^ triques et projectifs sans être per-
(') Dans la seconde édition de son outrage {Die Géométrie der Loge, Zweite vermehrte Auflage. HannoTer, 1877, p. 55), Rete emploie indifféremment les deux expressions : Curve zweiter Ordnung (courbe du second ordre) et Punktreihe zweiter Ordnung (ponctuelle du second ordre). Cette dernière dénomination a l'avantage de rappeler que la courbe du second ordre doit être considérée comme un système de pointa, et de mettre en évidence la correspondance de dualité qui existe, dans le plan, entre les courbes du second ordre et les faisceaux de rayons du même ordre. Noos aTODs cm, toutefois, devoir nous en tenir à Tancienne dénomination, nonleolement parce que l'usage Ta consacrée, mais encore parce qu'elle fait mieux Misir l'identité des courbes du second ordre et des sections coniques.
(*) Les faisceaux ordinaires de rayons, formes fondamentales simples, sont encore ippelés, pour les dbtinguer des précédents, ya/Vc«a<ijp de rayont du premier ordte. De même pour les faisceaux de plans.
GéOHBTllE INI POUTION. — CHAHTEB TH.
d'inierseciion des plans correspond fiants forment une surface conique du second ordre, qui n'a Jamais plus de deux de ces droites d'intersection communes awec un plan.
Le point d*intersectio:. des axes, par lequel passent tous les rayons de la surface conique, est nommé centre de la surface conique ( ^ ]•
spedifSf tous les pltsns de jtmetioa des rayons correspondants forment un faisceau de plans du second ordre, qui n 'a Jamais plus de deux plant communs avec un faisceau de plû/u du premier ordre.
Le centre des faisceaux de rayons, par lequel passent tous les plans du faisceau du second ordre, est nommé centre du faisceau de plans.
De là cette double conséquence :
I Toute courbe et tout faisceau de rayons du second ordre sont projetés, d'un point non situé dans leur plan, respectivement par une surf aceconique et par un faisceau de plans du second ordre.
Toute surface conique et tout faisceau de plans du second ordre sont coupés, par un plan ne passant pos par leur centre, respectipemcnt sutpnnt une courbe et suivant un faisceau de rayons du second ordre.
On voit par là avec quelle facilité les résultats obtenus pour les formes planes du second ordre peuvent être étendus, au moyen de projections, aux formes correspondantes dans la gerbe.
III. - Lieux des formes génératrices. Tangente. Point de contact
Corollaire.
Gi. La courbe du second ordre le [fig* 1 1 ) qui est engendrée au moyen de deux faisceaux projectifs de rayons, S et Si, passe par les points S et S|, centres clés faisceaux.
En eifet, les faisceaux ne devant pas être perspectifs, au rayon SSi ou pdu. faisceau S, c'est-à-dire à lu droite qui joint les centres, correspond, dans le faisceau Si, un rayon quel-
le faisceau de rayons tlu second ordre K [fig* 22) qui est engendré au moyen de deux ponctuelles prth jcctives, u et 1/,, contient les droites, u et «1, lieux des ponctuelles.
En effet, les ponctuelles ne devant pas être perspectives, au point uu^ ou P de la ponctuelle w, c'est-à-dire au point d'intersection des ponctuelles, correspond, dans la ponctuelle
(*) La dénomination est do Biot. (Voir Steixer, Sjrstematische Entwickelung* Berlin, i83a, p. i3o.)
