On a enfin pour le triangle

Dans tout triangle inscrit à une courbe du second ordre, les points d'intersection des côtés avec les tangentes aux sommets respectivement opposés sont en ligne droite.

Dans tout triangle formé de rayons d'un faisceau du second ordre y les droites qui joignent tes sommets au,x: points de contact des côtés respectivement opposés concourent en un même point.

82. Les propositions précédentes (79, 80, 81), qu'on peut considérer comme des corollaires des théorèmes de Pascal et de Brianchon^ servent à résoudre les problèmes suivants :

Étant donnés, dans un plan, cinq points d'une courbe du second ordre, ou quatre points et la tangente en l'un de ces points, ou trois points et les tangentes en deux de ces points, construire la courbe.

Étant donnés, dans un plan, cinq rayons d*un faisceau du second ordre, ou quatre rayons et le point de contact sur l'un d'eux, ou trois rayons et les points de contact sur deux d'entre eux, construire le faisceau.

m. — Application des théorèmes à la détermination des éléments correspondants dans les formes projectives simples.

83. On peut encore démontrer les théorèmes des n°* 79, 80 et 81 directement, sans recourir à Thexagone.

Nous donnerons, à titre d'exemple, la démonstration directe pour le quadrangle.

Deux faisceaux projectifs de rayons S et S| {fig- 23) étant donnés, nous avons facilement déterminé le rayon du second, qui correspond à tout rayon du premier, en construisant un troisième faisceau de rayons S|, perspectif à chacun des deux autres.

Nous rappelons qu'à cet effet (66) les faisceaux S et Si ont été respectivement coupés suivant les ponctuelles u et ?£i, au moyen de deux droites qu'on a fait passer par le point d'intersection A de deux rayons correspondants a et ai . Ces ponctuelles étant perspectives, le faisceau S,, dont elles étaient des sections, représentait le faisceau cherché.

84 GÉOHÉTaiE DE POSITION. — CIIAMTKK VIII.

Ces conclusions subsistent encore si u {fig- a8} coïncide avec a , et i/, avec a, de telle sorte que les couples de points in, et i,a (B et Bi), ca, et Cya (C et Ci), etc., où deux rayons correspondant a et «, sont mutuellement coupés par Jeux autres quelconques A, ^.^ ^^ et h ou C( et c, se trouvent en ligne droite

avec un point lixe S^. Si nous faisons alors passer par S^ une droite quelconque DD,, qui coupe les rayons «, et a respectivement en D et D,, SD et S,D, seront des rayons correspondants des faisceaui S et S,, Faisons maintenant coïncider D, avec S ; SD devient le rayon SS, ou y de S, auquel correspond, dans S,, le rayon S,S ou y, qui joint les centres des faisceaux S et S|. La droite SS^ est donc une tangente à ta courbe du second ordre engendrée par S et S,, Il en est de même de S,S| ou pf II suit de là que le point fixe St est le point d'intersection des deux tangentes tj et />, en S et S,, c'est-à-dire des deux rayons qui correspondent, dans chacun des deux faisceaux S et S,, au rayon commun SS,. On parviendra donc toujours au même point Sj, soit que l'on fasse coïncider les droites u, et it respectivement avec les rayons a et «,, soit qu'on mette ces droites en coïncidence avec tout autre couple [b el b, ou c et c,) de rayons correspondants; par conséquent, toute droite joignant deux points {ftc, et i,c) où se coupent mutuellement deux couples quelconques (bbf et CC|) de rayons correspondants passe par le point S,.

Deux ponctuelles projectives u et «j {Jig. 24) étant données, nous avons facilement déterminé, pour chaque point de l'une, le point correspondant de l'autre (66) en construisant une troisième ponctnelle o,, perspective à chacune des deux premières.

Nous avons projeté respectivement u et »,, au moyen des faisceaux S et S,, dont les centres étaient pris sur la droite a de jonction de deux points correspondants quelconques, A et A,, des ponctuelles données. Ces faisceaux étant projectifs, la ponctuelle Ut, dont ils étaient des projections, résolvait le problème.

Faisons maintenant coïncider S avec A, (Jig- ag) et S,

APPLICATION DES THEOREMES A LA DETERVINATlOy DES ELEMENTS, Etc. 85

avec A; i/j vient passer par les points de u et de u^ qui correspondent au point d'intersection uu,- Deux points correspondants quelconques, D et D, , sont projetés, de A, et de A, par deux rayons, AjD et ADi, qui se coupent sons ensuite coïncider D avec uu, ou Qi, de telle sorte que m, vienne passer par l'un (et par conséquent aussi par l'autre) des deux points P, et Q , qui correspondent au point d'intersection PQ, de u et de U|. Il est évident que le point d'intersection D, des rajons A,D et AD, coïncidera alors avec le point iiiUi ou P,. En d'autres termes, u, est la droite de jonction des points de contact, sur u et u,, du faisceau de rayons du second

ordre engendré par ces deux ponctuelles. On parviendra donc toitjours à la même droite u,, soit que l'on fasse coïncider les centres Sj et S respcclivcmenl avec les points A et A,, soit que l'on mette CCS points en coïncidence avec tout autre couple (B et B, ou C et C, ) de points correspondants; par conséquent, tout point d'intersection de deux rayons (BC, et B, C), au moyen desquels deux couples quelconques (B, Bi et C,C, ) de points correspondants sont mutuellement projetés, est situé sur la droite u,.

Les résultats q

d'obtenir

peu'

ni élrc formulés

en deux propositions de la manière suivante :

Les deux points ab, et a, b, où se coupent mutaellement deux couples quelconques, a, a, et b,b,, de rayons rnrrespomlants desfaiscea ux projectifsS «S,, et le points,, où se eou- /lent les deux rayons qui correspondent au rayon commun SS[ des deux faisceaux, sont trois points situés sur une même droite.

Les dcuj- droites ABi et A, B par lesquelles sont mutuellement projetés deuj: couples quelconques, A,A| 1/ B,Bi, de points correspondants des ponctuelles projectives u et h, et la droite u,, qui Joint les deux points correspondant an point commun b«, des deux ponctuelles, sont trois droites qui se coupent au même

86 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITME TIII.

Il est aisé de voir que :

Dans la courbe du second ordre engendrée par les faisceaux S et S|, les points S, aa^, S| et bbi forment un quadrangle inscrit dont a et &j, 4ii et b sont les côtés opposés, S, étant le point de concours des deux tangentes qui touchent la courbe aux sommets opposés S et Si .

Dans le faisceau de rayons du second ordre engendré par les ponctuelles u et «j, les rayons a, AAi, 1^1 et BBi forment un quadrilatère circonscrit dont A et Bi, A| et B sont les sommets opposés, «, étant la droite qui joint les points de contact du faisceau de second ordre situés sur les côtés opposés u et if|.

84. Les précédentes propositions se prélent à la détermination facile de Télément qui, dans Tune des deux formes fondamentales simples projectives, correspond à un élément quelconque de l'autre forme. En effet, si Ton donne, par exemple, trois couples de points correspondants dans deux ponctuelles projectives u et u, {Jig» 29), on peut construire immédiatement la ponctuelle u^ qui permet de trouver très-simplement, pour tout point de i/, le point correspondant de U|.

IV. — Relations entre la conrbe et le faisceau du second ordre.

85. Les propositions précédentes, relatives au quadrangle et au quadrilatère, dans la courbe et dans le faisceau de rayons du second ordre, peuvent être énoncées plus généralement dans la forme suivante :

Quatre points K, L, M, N d'une courbe de second ordre formant un quadrangle complet, et les tangentes Âf l, m, n en ces points formant un quadrilatère complet, les sommets opposés du quadrilatère sont situés deux à deux sur les trois droites qui Joignent deux à deuar les trois points X, Y, Z où se coupent entre eux les côtés opposés du quadrangle.

Quatre rayons k, l, m, n d'un faisceau du second ordre formant un quadrilatère complet j et les points de contact K, L, M, N de ces rayons formant un quadrangle complet, les côtés opposés du quadrangle passent deux à deux par les points X, Y, Z où se coupent deux à deux les trois droites qui joignent entre eux les sommets opposés du quadrilatère.

Nous sommes autorisés à généraliser ainsi les propositions établies plus haut (83), parce que ces propositions s'appliquent