RELATIONS ENTRE LA COURBE ET LE FAISCEAU DU SECOND ORDRE
respectivement à chacun des trois quadrangles ou quadrilatères contenus dans le quadrangle ou dans le quadrilatère complet.
86. Les deux propositions précédentes expriment que le triangle dont les côtés joignent deux à deux les sommets opposés du quadrilatère est identique au triangle sur les sommets duquel se coupent deux à deux les côtés opposés du quadrangle. Si Ton se donnait un quadrangle KLMN inscrit dans cette condition à un quadrilatère klmn, on serait en état de construire, tout ensemble, une courbe du second ordre qui toucherait les droites k, /, m, n aux points K, L, M, N, et un faisceau de rayons du second ordre dans lequel K, L, M, N seraient les points de contact sur les. rayons A", /, m, n. En effet, d'après notre proposition, la courbe du second ordre qui passe aux points K, L, M, N et qui touche en K la droite k a aussi pour tangentes les droites /, m, n; et le faisceau du second ordre qui contient les rayons k, l, m, n et qui a sur k le point de contact K a aussi pour points de contact les points L, M, N. Donc :
Quatre tangentes à une courbe du second ordre, avec' leurs quatre points de contact, peu\^ùnt toujours être considérées comme quatre rayons d'un faisceau du second ordre, avec leurs quatre points de contact,
87. Une courbe du second ordre qui passe par trois points de contact K, L, M d'un faisceau du second ordre et qui a pour tangentes en deux de ces points, K et L, les rayons correspondants k et /, passe par conséquent par tout quatrième point N de contact du faisceau et a pour tangente le rayon n correspondant à ce point.
Réciproquement, un faisceau du second ordre contient toutes les tangentes à une courbe du second ordre, pourvu qu'il en contienne trois et que les points de contact de deux d'entre elles soient situés sur la courbe.
On a donc les relations suivantes entre les courbes et les faisceaux du second ordre ;
Toutes les tangentes à une courbe du second ordre forment un faisceau de rayons du second ordre.
Tous les points de contact d'un faisceau de rayons du second ordte forment une courbe du second ordre.
FiB. 3q.
î POSITION. — CHAPITtlE VIII.
88. Cette double proposition peut encore être démontrée de la manière suivante I
Des quatre sommets K, L, M, N [fig. 3o) du quadrangle inscrit
dans la courbe du second ordre nous
supposons que l'un, K, se meut sur la
^ Y U' courbe, pendant que les trois autres, et
\ V^^ 1 ,''/! les tangentes /, m, n qui leur corres-
A ^ ^^'vJ''^ i pondent, restent fixes dans leurs posi-
\f /\l /Îk\?^- tîons. La tangente h du point K. obéit
^;:Jk?.' -— — /■ im/^Î *" mouvement de ce point sur la courbe ;
' V. 7^>M\ I les points d'intersection E, A de /" avec
\"~7'^ \ \1 '"f . l^s tangenles n et l se meuvent aussi el
\ // " 1 \ [ décrivent respectivement sur ces lan-
/\^~ ^ ' gentes deux ponctuelles projectives,
pendant que la tangente k décrit un faisceau de rayons du second ordre. Les deux diagonales El) et AD du quadrilatère klmn se coupent, en effet, constamment en un point variable Y de la droite fixe LN; elles décrivent donc dcu\ faisceaux perspectifs de rayons autour des sommets fixes D,D, et les ponctuelles n, l, décrites par les points E cl A, sont des sections de CCS faisceaux-
On démontrerait la seconde proposition de la mèrae manière.
La droite MK passe aussi par le point Y ; elle décrit donc autour
du point M, pendant le mouvement du point K sur la courbe, un
faisceau de rayons qui est perspectif au faisceau décrit par BE et
par conséquent projectif à la ponctuelle n décrite par E. Donc :
Etant donnés, dans une courbe du second ordre, un point Jîxe quelconque M et une tangente fixe aussi quelconque n, si l'on assigne comme correspondant à tout rayon de M , qui projette un point quelconque K de la courbe, le point de n par lequel passela tangente k du point K, le faisceau M et In ponctuelle n sont projectif s.
Celle dernière proposition est réciproque à elle-même dans lo plan, car, ainsi qu'on l'a vu (87), les tangentes à une courbe du second ordre forment toujours un faisceau du second ordre.
