V. — Tangentes harmonicnies

89. Les tangentes en quatre points harmoniques d'une courbe du second ordre sont harmoniques.

Elles sont, en effet, coupées en quatre points harmoniques par une cinquième tangente quelconque, puisque leurs quatre points de contact sont projetés, d'un cinquième point quelconque de la courbe, par quatre rayons harmoniques.

VI. — Section de toutes les tangentes par deux d'entre elles.

90. Nous pouvons maintenant énoncer comme il suit la proposition en vertu de laquelle un faisceau de rayons du second ordre est coupé par deux quelconques de ses rayons suivant deux ponctuelles projeclives :

Toutes les tangentes à une courbe du second ordre sont coU" pées par deux quelconques d'entre elles suiv^ant deux ponctuelles projectiles.

Vn. - Antre énoncé dn théorème de Brianchon.

91. Le théorème de Brianchon peut encore être rapproché de celui de Pascal sous la forme suivante :

Dans tout hexagone circonscrit à une courbe du second ordre [ou dont les côtés touchent la courbe) les trois diagonales principales concourent en un même point.

On pourra énoncer sous une forme analogue les propositions déduites de ce théorème pour le pentagone, pour le quadrangle et pour le triangle.

Vin. — Plan de contact et rayon de contact dans la surface conique et dans le faisceau de plans du second ordre.

92. On a vu (63) que toute courbe et tout faisceau de rayons du second ordre sont respectivement projetés, d'un point situé en

GEOMETRIE DE POSITION. — CIIAnTRE VIII.

dehors de leur plan, au moyen d'une surface conique et d'un faisceau de plans du second ordre. Toute tangente à la courbe est projetée au moyen d'un plan qui a un seul rayon commun avec la surface conique et qui, pour ce motif, est appelé plan de contact. De même, tout point de contact du faisceau de rayons du second ordre est projeté au moyen d'un rayon, dit rayon de contact du faisceau de plans, par lequel ne passe qu'un seul plan de ce faisceau.

Réciproquement, toute surface conique et tout faisceau de plans du second ordre sont coupés, par un plan qui ne contient pas leur centre, suivant une courbe et suivant un faisceau de rayons du second ordre ; il s'ensuit que :

Tous les plans de contact d^unc surface conique du second ordre forment un faisceau de plans du second ordre.

Tous les rayons d'une surface conique du second ordre sont projetés fie deux quelconques d'entre eiLr au moyen de faisceaux projectifs de plans.

Tous les rayons de contact d'un faisceau de plans du second ordre forment une surface conique du second ordre»

Tous les plans de contact d'une su/face conique da second ordre sont coupés par deux quelconques d'entre eux suivant des faisceaux projectifs de rayons.

Vk, — Systèmes harmonicnies dans la surface et dans le faisceau.