Par analogie avec ce qui a nous dirons que

Quatre rayons d'une surface conique du second or^re sont harmoniques, quand ils sont projetés d'un rayon quelconque y et par conséquent d'un cinquième rayon quelconque de la surface, au moyen de quatre plans harmoniques.

été précédemment établi (71),

Quatre plans de contact d'une surface conique du second ordre sont harmoniques^ quand ils sont eoupt's par un plan quelconque, et par conséquent par un cinquième plan quelconque du faisceau, suivant quatre rayons harrnoniquesm

X. — Théorèmes de Pascal et de Brianchon étendus aux surfaces coniques

du second ordre.

94. Les théorèmes de Pascal et de Brianchon, pour les surfaces coniques du second ordre, s'énoncent ainsi :

THEOREMES DE PASCAL ET DE BRIANCHON ETENDUS AUX SURFACES, ETC. Qf

Dans tout hexaèdre inscrit à une surface conique du second ordre, les trois couples de plans [faces] opposés se coupent suivant trois droites situées dans un même plan.

Dans tout hexaèdre circonscrit à une surface conique du second ordre, les trois plans diagonaux principaux se coupent suivant une même droite^

On pourra, par voie d^analogie, transporter dans la gerbe toutes les autres propositions que nous avons déduites, pour les formes planes, des théorèmes de Pascal et de Brianchon ( ^ ).

(*) Chasles {Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 2!\S-i!\Q) a signalé l'analogie qui doit exister entre quelques propriétés encore inconnues des surfaces du second ordre et le théorème de Pascal, comme une question d'où dépendent les progrès futurs de la théorie de ces surfaces. Abstraction faite des diverses transformations dont le même théorème est susceptible, Chasles le considère, d'après la forme et l'énoncé qui lui sont propres, sons deux aspects différents. On peut, en effet, le regarder comme exprimant une relation générale et constante entre six points quelconques d'une courbe du second ordre, c'est-à-dire un point de plus qu'il n'en faut pour déterminer la courbe ; ou bien comme exprimant une propriété générale de la courbe^ par rapport à un triangle tracé arbitrairement dans son plan. L'analogue du théorème de Pascal dans l'espace peut dès lors être conçu de deux manières. Dans le premier cas, il constitue une propriété générale de dix points appartenant à une surface du second ordre, soit un point de plus qu'il n'en faut pour déterminer la surface; dans le second cas, il exprime une propriété générale résultant du système d'une surface du second ordre et d'un tétraèdre situé d'une manière quelconque dans l'espace.

Dans la Note XXXII (p. 4oo-4o3) de son ouvrage précité, Chasles s'occupe, avec plus de développements, des théorèmes analogues, dans les surfaces du second degré ^ aux théorèmes de Pascal et de Brianchon dans les coniques.