Prenons encore l'équation

(55) s — ^pz — o,

où k désigne une constante ; elle peut s'écrire

^ :Vz kz'^ \

Vx \6y~ Y / "^ ^

et admet, }>ar conséquent, l'intégrale intermédiaire

hz kz'

ç étant une fonction urbitiaire. L'application de la méthode générale

96 CHAPITUK II

montre, d'ailleurs, qu'il non existe pas d'autre. Pour intégrer cette équation différentielle, remarquons qu on peut poser

tj/ (y) étant aussi une fonction arbitraire de p, et, en faisant le changement de variable

l'équation devient

Yy - ^ {y} " - ô ^'- ^ "•

Keprésentons A-^ {y) par tt-x' et posons en<u)re

M = u6 {y) ; l'équation prend la forme

dont l'intégrale générale est

X étant une fonction arbitraire de a?, et Y une fonction arbitraire de y, égale à / 0 (y) û(?/. On eu déduit successivement

(^)=Y', ^(,y;=:il,,.

de sorte que l'intégrale générale de ré(| nation proposée est donnée par la formule

i r iiY

LES KQUATÏONS DE MONr.F KT î>'A>IPf:RE 97

On ramène à l'éfjuation C55) l'équation suivante

ix^y

ku

intégrée par Lioiiville (*) à l'aide de «'.onsidéralions géométriques. Si on pose eu effet

l'équation préréd*^nle peut s'écrire

Pour éliminer u entre ces deux relations, il suflit de différentier la seconde par rapport à y, ce qui nous donne

on retrouve bien l'équation (35) et ou en conclut que l'intégrale générale de l'équation de Liouville est donnée par la formule '')