P=:^(X), Q = -HY

et inversement, on obtient ainsi toutes les équations du second ordre, admettant deux intégrales intermédiaires, appartenant à des caractéristiques différentes, et dépendant chacune d'une fonction arbitraire. Comme exercice, on peut vérifier que les deux équations

sont équivalentes.

Remarque. — Étant données quatre fonctions distinctes de x, y, z^ p, q, satisfaisant aux relations

[tt,ti,]=o, [m. wj=:u. [0, 2/,]=o, [y,i7j=o, fu,î;]^o, (U|,o,l^o»

il existe toujours une équation du second ordre admettant les deux intégrales intermédiaires

92 CHAPITBi: II

Considérrms. en effet, l'équation du ?ei:ond ordre

Oi-v.y

qui est l'qiiivalenlo à 1 équation du premier ordre u — 3(0)1=0 avec une fonction arbitraire o. f.es caractéristiques «le celle équation du premier ordre sont données par l'intégration de l'équation linéaire

qui admt't les deux inlégfrales //, et r,, quelle que soit f. Tonte intégrale dp l'équation h — © (y) — o satisfait donc aussi à une équation de la forme /f, — -j, (r,) = o.

46. Considérons maintenant le cas où un seul des systèmes de caractéristiques adme^ deux combinaisons inlég-rables£/M -= 0, </u = o, tandis que le second système de caractéristiques admet \ine seule combinaison intégrable dw = o. Les trois fonctions w, c, to sont distinctes, *^t on a

[a, c\ ^ u, [//., w\ =^ o, [», ro] = o.

L'équation du second ordre admet l'intégrale intermédiaire

H — Tf {«') = o.

dont Vintéyration se rmuènfi, quelle que soii fa fonclioa orhUrairè -f. à Cinféf/ralion cTune équation diffèrerttieUf ordinaire du premier ordre. On a, en eiïet. quelle que soit la fonction 9.

[u — 3 ic), vy\ — o; si des deux équations

w — (p 'v) = o, ir z=i a,

OÙ a est une constante arbitraire, on lire deux des variables .r. y, z^ 7>, 9 en fonction des trois autres et qu'on porte ces valeurs dans l'équation

'âz — (tdjc — qdy = o,

on trouvera une équarion aux dilTéronti»-lles lolalps complètement intégrublf, dont Tinlegralion donnera une intégrale complète de l'équation

Lb:S EOlIATrONt: DK MONGF. KT D AMPKRK 93

ft — -i, ffi'i :^ o. Il sera, commode dinf i-oduire une nouvelle variable xen posnnl :

ol de (irer trois des variables .r, y, z; p. q en fonction des deux dernières et de la nouvelle variable a, puis de porter dans l'équation fJz — pfhv — qdy = o.

I^a solution tlu proi)lème de (^autliy est donc ramenée à l'intégration d'une équation différentielle du premier ordre ; mais il est, en général, impossible d'obtenir, pour l'intégrale générale des formules où les fonc- |i«ms arbitraires ne figurent sous aucun siifne d'intégration, comme cela est possible dans les deux cas déjà examinés.

On peut encore opérer comme il suit. Imaginons qti'on ait effectué une transformation de contact de façon à ramener l'équation a la forme

ce qui est possible, puisque cbacun des systèmes de caractéristiques admet une combinaison intégrable. fi'u'n des deux systèmes de caractéristiques de la uouvell.; équation doit admettre deux combinaisons inicgrables , supposons que ce soit le système

ds — pdx — f/df/ = o, dx ■■= o, dp — Idy = o. Les équations linéaires correspondantes

doivent admettre une autre intégrale commune que V =: j?; la première équation montre que cette inté'grale sera indé[)endante de cf. l^lle sera donc <!e la forme V = f{x, y, z, p), et léqualion (Tj!) aura une intégrale intermédiaire de la forme

f {•■«^. y^ -^1 p) - ÎP {x).

que l'on peut intégrer comme une équation dilTérentielle ordinaire à deux variables x et z.

Si lés éijtatious (52; admettent une intégrale, autre que V — a, ne

dépendant pa? de y, la spconde équation montre que > sera de la formo

A et B étant des fonctions de x, //, -*, p el la seconde équation (52) se dédouble en deux équnti<)ns distinctes:

— -fB;— = 0, r ^Ar— = 0,

ày ^f) os àp

qui doivent former un système jacobien ; ce qui exige que l'on ait

^j A— -~4-B— • ^* ' èp il/ i>p

On voit de même que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équalion

i- = Cp -f D.

où C et D sont des fonctions de jc. y, z, q, admette une intégrale intermédiaire de la forme /", (œ, y, z,q) z= ^ (y), est exprimée par la relation

^j-C— ---4-D— • àz iq i.v 'bq

Considérons, par exemple, une équation linéaire de là forme

(53) H -\- ap -\- hq -\- cz = o

où a, 6, c sont des fonctions de x. y seulement. Écrivons-la

5 = C^ -}- 1) en posant

C = — n, \) z=. — bq — cz:

la condition pour qu'elle admette une intégrale intermédiaire du premier ordre aveo une fonction arbitraire de y est ici

r — y ah — c =. 0.

ex

Si cette condition est lemplie, l'équation peut en effet s'écrire

LES ÉQUATIONS DE MONGE ET d'aMPÈRE 95

elle admet par conséquent l'inl^igralt' intermédiaire

Mx

[54) ^ -i-az = ye J .

Y désignant une fonction arbitraire de y. L'équation (54) peut être intégrée comme une équation linéaire du premier ordre ordinaire, et l'intégrale générale est donnée par la formule

■•'■"'[ X+/Y/"''--^"'rfy|,

X étant une fonction arbitraire de x. On voit que l'une des fonctions arbitraires X figure explicitement dans celte formiile, tandis que la

seconde fonction arbitraire Y est engagée sous le signe /. Tout pareillement, si on a

4 «6-0 = 0, l'équation proposée i53j admet l'intégrale intermédiaire

et l'intégrale générale est

- I'ImIt

Y-fJX.-/'**'-/'^^rfa;j.