XY
A (X + Vl«
48. Lorsqu'un seul des systèmes de caractérisliques admet deux combinaisons integrables du = o, dv r= o, et que l'autre n'en admet aucune, l'équaticn du second ordre proposée admet l'intégrale iutermé-
('') Moitct, Application de l'anahfse à lu (féometrie. 5' c«îihon. oorrip«e par Liouvili*». Note IV. p. r.91.
(-) On voit de même que l'intégrale générale de l'équatiou — + — = «*" est
donnée par la fornuile
r désignant une intégrale qu'^lconquc «le léquaiion de Ijaplace
INTÉCKATION ors KOL' ATIOÎC9.
98 C.HAPITRK (I
diaire
inuis les fonctions m et i? peuvont être absolunu'iit «juclronques. Tant qj» on ne particularisera pas la fonction a-, on ne pourra pas, en général, achever linlégration. I,a solution du proMènio de Cauchy sera ramenée à l inlétjration d'un système d'é(juations diiTérenlielles ordinaires.
Si aucun des systèmes d"o<|uations dilTérentielles qui définissent les caractéristiques n'offre deux ccunbiiiaisons intégrables, la méthode de Monge ne permet pas d'obtenir l'intégrale générale de l'équation proposée. Elle permet seulem«'Mt d'obtenir des intégrales dépendant d'une fonction arbitraire, lorsque l'un ou l'autre des systèmes admet une combinaison inlégrable.
Nous avons déjà vu que, lorsque les deux systèmes offrent chacun une combinaison intégrable, 1 é((uation est réductible h la forme simple
par une transformation de contact. Si un seul des systèmes de caractéristiques présente une combinaison intégrable, on peut toujours faire une transformation de contact, de façon que celte combinaison intégrable soit dt/ =: o. L'équation n'aura doue pas de terme en rt — s^ (n° 20, p. -49) et sera de la forme
n>'-}-2Ks -f- U -f M = o.
Une des équations différentielles des caractéristiques est Hdi/-^ — 2K dxdy -f X.dx"*- — <. ;
il faudra donc qua l'on ait L = »», et la nouvelle équation aura la forme simple
Hr -f 2K.Ç -|- M = 0.
Nous allons appli<pier ces transformations à quelques exemple.s. 49. Considérons ré(|uation(')
les équations différentielles des deux systèmes de caractéristiques sont (') AiirÉrit, Journal de l'École polytec/imyiir. 18* cahier, p. 174.
LES RQUATIONS DE MON(;r. ET DAMPfcMF, 99
respeclivnment
dz — pdx — (](ly — o, dz — pdx — ({d;i = o.
x'^dy -{- qd-r = o, ^'^f^y + '■iqdx = o,
x^dp — 2qdq -f- ^pxdx = 0, x^dp — qdq -\- ^pxdx = o.
Les dernières équations deces deux systèmes donnern.immédialoiiu'nJ. deux intégrales premières
px^ — ^ =r a, px^ — -^ ~ h,
et il est facile de vérifier, en appliquant la méthode générale, qu'il n'y en a pas d'autre. Pour avoir une troisième fonction en invuliition avec ces deux-là, il suffit d'intégrer le système formé par les deux équations précédentes. On en tire
et par suite
n->fb
Remplaçons rt et b par leurs valeurs, les trois foncti(»Qs
X = px'^ — ^ . V -- px^ — -f-' 'A= s -^px — 7.V
forment un système en involution. Si nous portons «es valeurs de X, Y, Z dans la relation
d'A — PdX - Q'^Y — ç'dz— pdx — '/rf/yj,
nous trouvons
ir 2y " ^7 ^x
Inversement, en résolvant par rapport a x. y, z, p, q, un a jps formules
, ^ ^ ^=J»pL±.Çi' 4. , p ^ ;,(), X - Y)
qui définissent une transformai ion de contact. Appliquons-la à lYqnalion proposée; le second système de caractéristiques devient
rr/-Pf/X-QcfY = o, f/Xr:.o, i(X-Y)./P+.P+3Q)'/Y = o. La nouvelle équation est donc
