Étant donnée une équation

FIr 4- 2K*' -\- U — o.

on les coefficients H. K, L ne dépendent que de /> et 7, les équations diirércaliclles des caractéristiques sont, en désignant par X, et X.^ les deux racines de l'équation.

HX2 2KX + L = o, dz — pdx — iji/i/ r= o, ch — prfx — qdy = o.

di/ — "y^dx -=■ o, dy — X^r/a? = o,

lIX,c?p -f- Lrf^ = o, HXo^p -f \.dq = o.

Comme H, L, X,. Àj ne dépendent que de p et do 7, les deux équations

HXjrfp -|- V.dij = 0, W./lp 4- \Âq = o.

donneront deux combinaisons intég-rables

|x, [\\\^dp -f- Lf/7) — d/ti ip, 7) =0, 1x3 (HX.rfp -f- Lt/7) = (^^ (/i, 7) ~ o,

|jt, et p.^ désignant deux facteurs intégrants. I.ps formules

X ^ u fp, 7), Y= v{p, 7), 7.= c — pu- - 7//

définissent une transformation de contact qui, appliquée à l'équation

proposée, conduira a une équation ne renfermant que „ 1^ comme

dérivée de second ordre; il est facile d«! voir quelle contiendra linéairemt-nt les dérivées du premier ordre.

Appliquons ceci à l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima

(o6j (1 -}- (f-)}' - ^pqs -h i\ 4- /)•-) / :^ o.

I,ES ÉOUATIO^S DE MONGE KT d' AMPÈRE 101

Leséqiialions diff<'rfi»lielled «Jes caraclérisliques sont res[»ocliven»ent

(dz — pria: — f/dy =. o, ..., (i + q^) dy -f Ip7 - isjY^^-'^~f) e/a- = o, ((14- Y^ r/;. - (/i^ r *■ S''«T?'"+ 7'i du ■-= o:

( a;; — ptuc - - r/ay :- o.

i^) \ C 4- 9'} ^J -^' ^Vn -F 'V > 4 "'4- 7-1 clx'= o, ( (1 -1- q'^) dp -- \pq— isl'i 4- p- + r/-') t^ç - o.

La nernière des équations ''A), résolue pax- rapport à p. dunne

C'est une «équation de (!)lairaut, à^tni l'inle^ralp jj^énérale est donnée par la formule

p -Cq ± i /r+T5

ou, en résolvaril par «apport à ('.

pq -àiisj i -\- p- 4- q^

Jsi on a éj^^ard au signe du radical, nu voit aisément que lintégrale générale de la dernière des équations 'A est

* -f -7d^ même, l'intégrale générale de la dernière des équations (B) est

Léquation aux dérivées partielles df>s surra( es ininima admet donc toutes les intégrales des équalions du premier ordre

K ^P, 7)'=^ C, v fp. q\ - C.

Le leot»"ur vérifiera facilement que les snrrao«>s amsi ol)fenues sont des cônes, ayant leur sommet en un point imaginaire du cercle de linfmi. TT

10'» r.HAPITIJK II

y i» 8u<îsi utit"» intôfrinle inttM'm«''diair<» singulière

qui donne tontes les SJirfares développables. circonscrite» au cercle de l'infini.

Si on effectue la transformation de contact, définie par la formule

on est oMiduil i\ une équation n^ renfermant qu'une dérivée du second ordn" -Cy^y* '^'""' "^' développerons pas le calcul, qui sera effectué

t«>nt ;i riieure d'une fat.on plus générale. Remarquons seulement que, si on eni[)loie la transformation do Legendre, ré<juation (oG; devient

(^'") (' + .'/') >' -f- '^'js + (1 + a;2) / = o