Suit encore

(:.«) Ar j- '>\h -f C^ -f- Dy. -f- E7 -f Fz -+ (; = o

Mpf ('qiiation linéaire du second ordre, où A, B, C, D, E. F, G, sont des fonctions quelconques do .r, i/.

D une manière générale, supposons que l'on substitue aux variables x,y. deux nouvelles variabl^-s $, t,, liées aux premières par les formules

a: = cp (;, Y,), ^ = vj. (ç. •/!); on a

3£ il ^^ i if ^0

dx ~ a; Âr "^ atj ïx'

^£ ^ ^ dx .Sj

^r2 - a^» \^j:) -^ ' .>: V,. a.r ix "<■ cV/ \ A.7 ' ?; .V» "T" ^r, ^x'^' ^y- à':,^ Vy) "^ ^;^ ^H i»J ^ 3/1^ \:iy) "f" ,^; ^y^ "^ br^ h/

LES KOUATIONS DK MONf.F ET n'AMrf:RE 103

et I équation foB) se «'lianj^e en une ijouv^îlle ét|uat'uMi

ou on a

^' - ^ yr c\r + *^ L>^ .V ^ .V '^-^ ' "^ '\'/ '\V

C, = A-(^y^^2B^-^'^vc (^^)^

\»V/ dx C'y V'///

àv^ àxôy <^if^ dx oy

Les coefficients A, et C, seronJ nuk si l'on 'prend pour $, Y| deux intégrales dislincles de )'e(|uati()n

Si on a B- — AC q^ o. l'équation

AX-' 4- 2B). -f C ^ 0

a ses deux racines distinctes X, et X^ ; il sudira de prendre pour ; (r, y) une intégrale de Vpcjuafion

àx * dy

et pour 7) une nilégrale de lequotion

?z , dû -r-* — /, r-L =7 o.

<3.r - Jy

Ceci fist bien d'accord avec la Ihéone <î-«'nérnle. car cf: (j\ v) =r: o et <it\ (J7, //) = o sont alors deux combinaisons intégrables des étpialions différent ielles des iar.nlérisli(|ucs.

Ce calcul ne s'applique plus, lorstjue W — AC — o. On peut alors

prendre pour t, ,x. V/ une intéprrale de loquation

et pour l (.r, i/) une fonction quelconque distincte de celle-là. On aura alors pour lu nouvelle équation

52. Lorsque les équations diiïérentielles des caractéristiques n'admettent aucune combinaison ififograble, les méthodes précédentes ne uernietlent plus de ramener l'équation proposée à une forme plus simple. M. Imschenetsky a remarqué que, quand on connaît unr^ intégrale d une équation du second ordre, renfermant trois constantes arbitraires, on peut, par une transformation de contact, en déduire une autre équation ne renicrmaiit pus de terme en rt — s*. La proposition est facile à établir a priori.

En effet, si une équation du second ordre ne contient pas de terme enrl — «'.l'équation qu'on en déduit par la transformation de Legendre ne renferme pas de tornie indépendant de r,s, t, et inversement ip. 51). Or, uneécpiation qui ne renferme pas de terme imlépendant est caractérisée par la propriété suivante : elle admet pour intégrale une fonction lint'aire quelconque de x et de y, z = ax -\- by -\- c. Cela posé, supposons qu'une équation de la forme (1) admette une famille d'intégrales dépendant de truis paramètres

(60) (D ix, y. z ; a, 6, çj r= o :

on peut effectuer une transformation de contact, telle que ce complexe de surfaces devienne l'ensemble des plans de l'espace. Si on applique cette transformation à l'équation proposée, la nouvelle équation admettra donc, poar intégrale, une fonction linéaire quelconque, et il suffira de la transformation de Legendre pour être conduit à une équation linéaire en r, s, t.

L'ensemble do ces deux transformations équivaut à une transformalion unique, qui! est facile de définir. Considérons, en effet, la transformation de ccmtact^éduite de la relation fondamentale

(01) 01 (oT, y. î; X, Y, Z) = o.

Lorsque le point x, y, z décrit une surface S du complexe, corres-

LES ftOÎ'ATIONS DE MONGK ET d'aMPÈUE 105

pondante aux valeurs a, b, c des paramètres, la surface X représentée par l'équation (Gl), où on regarde X, Y, Z comme les cooidonnées courantes, passe constamment par le point

Aune surrace du complexe correspond donc un point; si on eflectue maintenant la transformation de Legendre, un point se change un un plan. La transformation de contact cherchée est donc celle qui est déduite de la reintion fondamentale ^61).

53. La détormination des intégrales intermédiaires donne lieu â une observation que nous avojis laissée de côté, pour no pas multiplier les remarques secondaires. Soient

di =r pc/x -j- qdy, H {ce, y> «" p, «/ : 'Jx, dy. dp, dq^ = o. H, [x, y, 2, jt, q: dx, dy, dp, dq) = o,

les équations difTérentielles de lun des systèmes de caractéristiques, qui sont linéaires en dx, dy, dp, dq ; si toutes les intégrales île léquation du premier ordre

satisfont à l'équation du second ordre proposée, la fonction V doit satisfaire à un système d'éqnafious linéaires et homogènes, que l'on obtient en remplavant dx, dy, dp, dq par

?V .>v /A' , .w\ /av . av\ >'^' - U ^^77)' ^ te "^ ^ 37/

respectivement, dans le système précédent, ou dans le système analogue relatif au second système de caractéristiques. Toutes les fois qu une équation du second ordre admet des intégrales i ntermédiair>'S, dépendant d'une constante arbitraire, on les obtiendra certainement de cette façon. Mais, si une équation du second ordre admet une intégrale intermédiaire V = o, ne dépendant pas d'une cojistante arbitraire, il n est pas nécessaire que les relatiout» linéaires obtenues en

av ?y

soient vérifiées identiquement, il sutlira qu'elles le soient en tenant

106 CHAlMTnc II

compte «lo lii rel.ition V = o. ('Jn «vile i*ette diflirultV' on supposant que de l'équalion

on ail lin- iitip ()»'.•« im'onnni":, z par exomf»lo. on fonction «les autres variahlos .r. «/. P. 9.

^ = fl-v. //, p, 7V

Les équations obtenues pour V se cliang*»nt on un systr>me d'équations linéaires, mais nf)n homogènes, qui déterminent la fonction

Reprenons, par exemple, IVquation des surfaces niinima ; les équations auxquelles doit satisfaire une intégrale intermédiaire sont les suivantes

Si on y remplarf- \ par i -}- }r -{- 7', If résultat de la substitution dap^ la première est

ce résultat n est pas identiquement nul, mais il est nul en tenant compte de la relation V = o. 1/équatiou des surfaces niinima admet donc Tintégralc intermédiaire

résultat déjà signalé plus haut m" 5()j.

54. La méthode d'Ampère est, a certains égards, pbis générale que celle de Monge; elle se rall.'içhe aussi a la théorie des caractéristiques. Considérons, d'une manière générale, une équation du second ordre do la forme il), et soient

1 dz — pc/jc — qcfy •= o.

(6^ I Adx -f Ri/y -f CHp -f \)flq =-. o,

( Ar/x + Bdy -}- Cdij-\- Wdq — (.,

les équations différent ielj es d'un des systèmes de caractéristi«iues.

LES KOVATIONS 1)F. MONr.E FT d'aMT^IRE 107

Soit S une surfuco inft^pfrale; rapporlons cdle surface à un sy.^l»^me de coordonnées curvilig^nes (a, p), les courbes p = C" étant précisément les caractéristiques de cette surface qui f^atisfonl aux équatitms (6:2i, et les courbes a rr: C* étant absolument quelconques. Alors les coordonnées^, y. X d'un point de cette surface sont des fonctions des deux variables indtîpendantes a et %

(63) X —. /"(a, f}), ?/ = ;{, (x, fJV z ~ •\> (a, ?),

et ces trois fonctions doivent satisfaire, aux conditions suivantes. Les valeurs de /) et de y étant délerniinées par les relations

lOi'

lorsque le paramètre p reste constant et que a varie seul, l'élément (.r, y, 3-, p. y) dait décrire une multiplicité caractéristique, satisfaisant aux équations (62). On doit donc avoir

si on imaofine qu'on ait remplace jC, y, z, p, q par leurs valeurs tirées des formules (63) et '6ii, on a ainsi deux équations simultanées, renfermant les dérivées partielles du second ordre, entre les trois fonrti«M)H /\ <p, <J/. Inversement, si ces trois fonctions vérifient les deux relations (6o). la surface représentée par les formules (()3) est un lieu de multiplicités caractoristiqueîi et, par suite, une surface intégrale (n''24).

En appliquant ce procédé, on a donc seulement deuor équations pour détei-mincr Irois fonctions mcoimues. Ceci tient à l'indétermination df* la seconde famille do courbes coordonnées t. =^ C" ; on pourra, dans chaque cas particulier, choisir ces courbes coordonnées, de façon a simplifier les équations (<>.*>]. si c'est possible. Par exemple, si les deux systèmes de caractéristiques, de l'équation proposée sont distincts, on peut supposer que les courbes a-=: C"" représentent les caraderisfiques du second système. On est ainsi conduit à ajouter aux équations (6S) deux nouvelles éqnations de même toruic. ce qui l'ait en tout qonlrf équations pour déterminer trois fonctions inconnues/", o. ■}. Nous savons

f08 CHAPITRE ri

a priori que cos quatre éqnntions sont oompatihics, mais le prohlèmo parait sV-Ire compliqué.

Ctomnio on peut changer 3 on n (a), S en / (S), tt et / étant des fonctions arbitraires, les étjualions auxquelles on est conduit doivent conserver la nu'nie forme par ce chnnfçenient. mais on peut quelquefois profiler de l'indoterminalion «les fonctions 7t Ix) et y (p) pour simplifier le problème. Par exemjdo, iorsqpp l'un des systèmes de caractéristiques admet une combinaison inléi^rablc

on peut prendre 8 pour paramètre correspondant de ce système de caractéristiques, et remplacer l'une des équations diflérentielles des caractéristiques pa»- l'équation précédente. On procédera de la môme façon si le second système de caractéristi«|ues admet aussi une combinaison intép^rable.

Considérons enfin le cas où les équations différentielles de l'un des systèmes de caractéristiques admettent deux combinaisons iutégrables ckt = o, et de r= o, de sorte que ré<iuation <iu second ordre admet une intégrale intermédiaire avec une fonction arbitraire

Pour tixer les idées, supposons que l'équation du second ordre renferme un terme en rt — s- : si nous désignons par a, fJ les paramètres des deux systèmes de caractéristiques d'une surface intégrale, les coordonnées X, y, z d'un point de cette surface et les coeflicients p, n du plan tangent doivent satisfaire aux six équations (n" 24)

^z «)cc ?v

LES ÉQUATIONS DE MONr,E ET d'aMPÈRE 109

Si le système 'B) admet les deux combinaison<î intégrables du = u, (h = o, on peut remplacer les équations (B) par les suivante»

le lon^ d'une caractéristique du second système, m et v restent constants. On peut donc supposer que l'on a pris m =: a, et alors on a nécessairement t? = '1 (a). Si des doux équations

on tire deux dos variables a?, y, -r, />, q en fonction des trois autres et de », puis, qu'(jn porte ces expressions dans les équations (A\ on est conduit à un système d'équations difTérentielles ordinaires, où n'entrent que des dérivées par rapport à la variable x. Ces équations étant intégrées, il restera à choisir les constantes arbitraires qui ligurent dans l'intégrale, et qui dépendt?nf de fi, de façon à satisfaire à la dernière relation

iV t'.-r- i^v

Les calculs auxquels on est conduit sont identiques, il est aisé de s'en assurer, ù ceux que l'on aurait à elîectuer pour intégrer l'équation du premier ordr»; o — •]> [u] = o par la inétbode de Cauchy. En elTet, les équations dilTerentielles des caractérisliques de cette équation sont

rix dy ds

dp ' ■ ' d/i cV/ ' ■' ' iff ^ dp ^ dq \ ^P *^h\

— dp — dq ^

de , dv , , idu , du! dv , do , , . idti , dui *

>.r: + " ?; - + '"' fil + " si Jy ■ ^ » 57 - + '■"> iFy + 1 Û

ces équations admeUent l'intégrale première

prenons pour variable indé[H;ndanle » = a. el . par suite, posons O"- b ^a). Si de ces deux relations on tire deux des variables x, y, c, p, q, on peut

IIU ( HAI'ITHK II

remplacer les o([ijalions difrérontielles précédentes par Irois des équatiotis

l'i l'a Jx

mais u et u (n** 31) vérifient les deux équations simultanées

à l'aide desquelles on voit que les équations difi"ér«ntielles des caractéristiques entraînent les suivantes

l'a Jx l'a

Par suite, l'inlfgralion de l'équation du prenii<.'r ordre v — •} (m) = o se ramène, au fond, à l'intégration des équatiims (A^, et la méthode d'Ampère conduit, dans ce cas, aux mêmes calculs que celle de Monge, Mais cette méthode s'applique aussi quelquefois à des équations auxquelles la méthode de Monge est inapplicable. Ampère en a donné un exemple remarquable avec 1 V(]uation aux dérivées partielles des surfaces minimrj. Nous allons ex[)0ser rapidement ce calcul.