TT

hnaginons que les coordonnées a\ y, z d'un point d'une surface niiiiima soient exprimées au moyen des deux paramètres a et 8 ('

,aa\ P^ 4- i Vl 4- p' 4- 7' ft P' — ' v^t 4- p^ 4- 7^

(bb) a — -^ .— ; — J ' — '■ ' ? = -, — | 5

dont chacun correspond à un syslènie de caractéristiques différent. Les équations différentielles des caractéristiques deviennent respectivement

/)74-jVÏ+p'»+7"'-»(1+7'')=o, f ^.y.VHy+?-8('4-7'l-o, ï restant constant pour une caracléri&tique du premier système, et p,

(') Le» calculs dii texte paraissent plus siuipies tjue ceux d'Atupère, parce qu'où I a pris tout de suite a et fi pour variables iadépcndaiites.

^^•i r.HAiMTRK ii

poar une caractérisliqne dti secmnl syslrnic. I^es trois fonctions J*, t/, s de a. p doivent donc salisf'ure aux (juatr»' «jqnations

/ ^c A'- èi/

I Jj à.r ^1/

3S ^TH-'^tH^''''

les valeurs de p et de 7 étant déduites des» dernières équations (A') et ; B') qui donnent

p -^ «9 4- W»* -f 1, P = h -f ^ Vfi' -i- 1,

ou

En differentianl les deux dernières équationr. (K7) par rapport à a et p respectivement, il vient

el, par suit»',

On voit que a-, par exemple, «st lu somme d'une loncUoTi de * et d'une fonction de p; soit

il vient ensuite

d'où on tire

y ^ 'i (a) — tt;p' ;aj -^ <i (p) — p-i ({i) ;

LES ÉQUATIONS DE MONGK ET d' AMPÈRE W'A

enfin la valeur dp z est donnée par la formule

qui devient, en rcmpla/^aiit .r, y, p. </ pur leurs valeurs et en réduisant.

dz - i vx'^ + 1 :^" fa) (/x -h '■ S'P -f 1 •}" 'P':(l?- On a donc

j ~ i Ç>J\~J^^i -/' U) 4x + i j'yji -f- ?-'•]/" (à, 'h,

et il suffît de poser, avec Legendre,

Y (xi — (1 4- X-)* -I»' (ï), •]/ (fi) — (I -h [l"-»i^ M^' (fil

pour aboutir a des formules débarrasst^es de tout sicrnp d'inlégration ■ ' . 56. Prenons encore Tequalion plus j:^énéraie

(68; ![/■ 4- ':iKj-f- L/::r o.

où H, K et L sont des fondions de }> el q sçuleTn^nl. et soient /,, Xolcs deux racines de l'équation

les équiitions différentielles des deux systèmes de caractéristiques sont respectivement ( II" 25}

( (iz — 'pd-x — qcb^ = o, 'A) \ <Jy — t ^ dx — o.

Idz — p'i.^- — qdtf ~ I», //</ — / ., ijx -= o, '//^ -f- / , 0^7 =: o :

(.•■on»me /., et X.^ uo dépendent (\ni'(\y p cl de 7. «m p(Mit intégrer l<'s df'ux dernières équations de chaque i^roup»* iNunmi^ des «équations dilTerentielles ordinaires à deux variables // et 7. Soient »/ (p. 7) = C"" l'intégrale générale de l'écpiation dp -\- }.., <i'i ^=0. el v (/», q) .=. (> l'intégrale générale de l'équation dp -\- X, dq =. o. l'itaut donnée ime surface inté-

('} l)\uii<)i'.\, ïUéoite di's surfiiLits. I. I. p. 28*.

INTKr.HATIOX DES tyl ATIONS. 8

in CHAP1T«F. Il

grale de I équation (68), itnao:in(>ns. c«)nninp plus haut, qu on ait expiiinê a\ y. s au moyeu des doux paraniëtres x — h (}>, (f) «-1 p — v {p. q) qui conviennon» aux deux systoincs de caracJcnsliques respeclivemertt. (les trois fondions x. y, ^ de x. (i doivent satisfaire aux «juatre rnlalious

èx

dp

3x 'Vr.^""'p et 9 sont supposés rcmphu'os par leurs valeuis déduites des formules

u (p, 7) - a, y fp, î 1 ~ p,

et p., V désignent ce que deviennent X, e» A^ q'^^ind on remplace p et ^ par leurs expressions. Le problème est donc ramené à linlégralion des

équations (69). Y.n égalant les deux valeurs de — ^^ déduites des deux dernières relations (69), on parvient à l'équation

, 1>'-X 2ij. dx à'* dx

connaissant r, les formules (69; permettront ensuile do déterminer y et z par des quadratures. î/intégiation dune équation de la forme (68) est donc ramenée à l'intégralion d une équation de la forme (70); on a vu plus haut [n"* 50) qu'une transformation de contact conduit à un résultat analogue, mais les équations obtenues par les deux méthodes sont dilTérentes, comme on peut le. voir déjà par l'exemple des surfaces minima. Pour que le procédé «jui a réussi pour l'intégration de r«'*quation aux dérivées partielles des surfaces minima s'applicpu- uvec le même succès à l'équation plus générale ('68;, il faut «'l il suflit que I étpialion 70' se réduise à

dix c'est-k-dire ([ue |x soit une fonction de la seule variable ^. et v une fonc-

LES ÉQUATIONS DK MOWGE ET d'aMI'ÈRE lt5

lion de a. S'il en est ainsi, on a d'abord

puis

(72j // =J^f (»> dx + j\^l (fi) rffi,

et s est donnée par l'étjualion

dz = pdx -{- qdy^ ou

dz - (p 4- yv) ©' (a) dx -\- ip -f vjjl) if' (9) dp.

Pour que le second membre soit une différentielle exacte, quelles (|iie soient les fonctions arbitraires ^ et 4", ou doit avoir identiquement

et, par suite;

dp ^ dn 3^ dp

;) -f- 9^ ^st donc une loncLion de x. p, 'xl. et /) -j" 9M ^^^ fonction de p, «t, (pj. Il vient alors

(731 z - /'», (r) 5' (x) dx '\-f'^, [h r (^^ c?p :

les formules (71), (72), (73) représentent l'intégrale générale deléquation proposée.

On peut obtenir pour celte intégrale des formules débarrassées de tout signe de quadrature. Remarquons dabord que les formules pn^cédentes m.ettent en évidence que les surfaces intégrales sont des *?<r/aoe.v de traiis/ation. Les courbes F, P' qui servent k définir la surface sont représentées respectivement par les équations (n" 30)

- ^ 2yV. {x)<f{x)dx- \ z^ ^.j\, (p) 4>' (6) <8 ;

116 CHAlMTliK II

quelles i\nf soionf los fon('li<)ni< arbitraires z. pi i^. les tan^ontos aux oourltos r »'l r' sonl parallèles aux j^nMiéralrices de doux pônf^s fixes. J*r«^n<»ns. par exemple, la courlui V, on a

C'f 1 éliminafioii <!« ïonfro ces doux rolalionscondiiil à un^* équation in«lépendanlo d*^ Ui Conup <lo 1« foncli«)n!;p

On voit «loin.- que les Hny^nlfs à la royrhe 0') sont parallèl<»H aux «,'riit'ralrifes «lu cmik' qui a fjour équation

ou voi-rnil <Jp morue que les lanjr^.-riles a la Courbe (\ ) sf)iit ^)arall••l<^s aux î^i'utTalricos d un second coiu', qui f»eut, du reste, èlre identiqurau pieniit-r, <omme dans le cas di-«s surfaces niiniina. C.omineoapeul o|)l<;tiir pour ces .ourljes T) et T; des forrnufes où \\^^ ligurc aucun sif^no de quadrature ('), il en sera de rnèine pour les formules qui ri^pres»jiil,eni l'intégrale générale de l'équalii>n considérée, qui appartient à lu. ealégnrie du n' 3(1.

Il est facile d'tdjteuir le.-î londitions j)our qu'uu'.' éq-iaiinu dr la i'nrino ((»K) puisse être inti-içrée de celte fa«;on. l'our que ^^ se réduise à une fondion de r fp,'/), il faut que À, = C" repiést.'nlo i intégrale générale de i équation

(Iji -\- l^ifi/ '-~ o.

ou que cette équation s(ut une oqualion de CJairaut. il doit «;n être de mé?ne de la seconde é(|uatioii

f/ft -f- /■.(jI(/ ^^ o,

et. par conséquent, l'équation

[li, H(/p- -f- '■iKdpd.i A- \.dir ~ o.

qui esl équivalente a lenscmble de5 duux équarion^. précédentes, doit

*" f; Èi^iuUiùiit du f)rem:er oi(!re, p. 101.

LES fioUATIONïJ l)F, MONdK ET d'aMI^KIM: 117

se dt'CorTipftser en deux équations do ClHii-anl. Le proniiet- meJTibre doif ddiir, ctn,' uiM' rnnction deti/i. cZy. f/Hp — p'^fj, et cette condiliori néc^'S?ain.' est sullisant*'.

liKMAiiour,. — F)nîis le cas où ikhis nous plaçons, l'intégral»^ gônôrale de r(j<[ualinn (7 4) pful.ètro r<'j)résonlt'<* par une. ou plusieurs formules linéaires on pet 7

C désifjTianl uno conslante aj-bilrairo. La i*>lalion préc»}donle ost un»; intégrale int»'rm«^:d"iaire de l yquaiion du second ordre : cette é'-{nalion linéaire du prcnirer ordre, qui s'intèyrr immédiatement, admet pour inl«''grale géiiérale lej» surfaces (jylindriques dont les gon<;ratric-es som parallt'desà une génératrice dn cône dont il a été question pln^ liant, cette génératrice' étant variable avec la constante C. Il y a aussi nue intégrale «lu premier ordre, qui délinif les surfaces dcveloppabics dont les génératrices sont parallèles à c<;lles du même eônefClf. ti" 1)0).

57. On peut reconnaître d'une autre manière si une tiquation de la forme

où H. K,^.. sont des fonctions de 7), q. senlenient. appartient â la catégorie pTécédente f). Considérons les deux dire»-tions situées dams un f)!an de coefficients angulaires p, //. définies parla lelation

nr/.y2 - 2Kdrdy -j- \.dx' -^ o ;

l'équation du second ordre exprime que les deiix directions précédentes sont conjn^^nées relalivemenl à tontes les siirl'Hces intégrales tauj^entes au plan <le (;oet'fiHer>l s angulaires/), 9. Si Icquationdu sticond ordre appartient à la classe précédente, ces deus directions devront être parallèles aux ijéniM-atrices d un cône. Par conséquent, lorsque le plan de coeflicierits angulaires [p. q) touinera autour d'un point fixe de l'espace, dt^l'ongine, par exemple. il y anraunlieu pourle.s droites prëcédentes ; on pourra donc éliminer p ctq entie le-- deux équations

dz — pdx — qdy =•. o.

y\dij' - ^iKcùrdy 4 l.dx' -- o,

ce qui n"a pas lieu en g-éneral.si les fonctions H. K. 1 sont quelconques.

(') SoPHO? LiK, {JnlcfsuchHwçivn nhor Iroii.tlr^t.i'jn/làcheii . IS'.(2 [Heiifhte lier K-migl. fiâchs. Gesnellarhn^t dtir Wisfcnschaflt'n).

l.ors(|u*» oetto condilion csl rtMuplie, l'eliininaliDn île /* ef do q conduit à une relation homo^nno

F [iKt\ dy, dz\ =: o

qui «lôfinit le cône ou les cônes dont les gonérnlrices sont parallèles aux taii;:entes des coiirLfs V cl V On pourra donc obtenir sous forme expliiite Ip'-' forniulos qui roprésfilenf l'intCjifrale g-éneralo de 1 iJquati4.n (In s0(\'i»ul ordre, sans avoir aucune inli'jfralion à etTe<'luer.

(^n poiil encore raisonner comme il suit. Si l'é^piation du second ordre* deHnil des surfaces de translation, les plans tanjjents le lono- d'une caractéristique de l'un qtielconque des systèmes enveloppent im cylindre et. i»ar conséipu-iit, tout le long d'une caractéristique, il doit y avoir une relation linéaire entre p et 7. Par suite, l'équation différentielle

H'0>* -f -2\\dpdq -f Lrf7' = G,

qui est une conséquence des équations dilTérenticiles des caractéristiques, doit être une équation de Clairaut ; c'est le résultat trouvé an paragraphe précédent.

58. I. Otjuation (70j s'intègre par des quadratures lorsque j* nedépend que «le [i,ou lors(jue v ne dépend (pie de a. Supposons, par exemple, que f* ne dépende que de fc : l'équation (7<)i devient, en posant

et on en tire successivement

ex I hdfi

4» (a; et 'r(i) étant de.s fonctions arbitraires. On a ensuite y et * par deux nouvelles quadratures ('>.

Pour que p ne dépende que de p, il faut et il snfHt que 1 intégrale

(') Nous applir^uons plus loin ceUc méttiorie a un exemple ri Ampère.

LF.S ÉQUATIONS OK MONGE ET DAMP^^Rf: 119

générale de lequulion

dp -{- À , dq -- o

soit >, — C". c'est à-dirc que l'équation (lilTéi-entielle

Hrfp- f 'l\Updq 4- i.dq' = o

se dédouble en une équation de Clairaul et en une équation de forme quelconque. Oéomélriquement, cela signifie que lea démloppahtes circnnscril.es le long des f-aracté risliqv.es de l'un des si/stèmes doivent, et ru des cylindres ayant leurs générn'rices parallèles à celles rfun certain cône.

59. Nous lenninerons ce chapitre en montrant comment on peut résoudre le problème de Cauchy pour les équations du second ordre considérées aux pariigraphes précédents ('). Les données sont les snivanles : on a deux cônes (T), ^T ) qui ne sont pas nécessairement distincts, une courbe gauche (1 dont chaque poinlMest associé à un plan [* passant par la tangente en ce poinL II s'agit de trouver deux courbes gauches (T), r ), dont les tangentes sont respeclivemont parallèles aux génératrices des deuxcônes(T)et ('l")etqui sonltelles que la surface (I) décrite par le indien d'un seg^nient. dont une extrémité est sur la courbe (F) et l'autre extrémité sur {V\, passe par la courbe C et soit tai»jçenfe en chaque point M de celle courbe au plan 1* corespondanl. Supposons le problème résolu : soient m. m' lespointsdea deux courbes (r), (r'\ tels que l^' milien du seg-ment m m' soil le point M de la courbe C ; d'après le mode de génération de la surface (S), le plan tangent en M a cette surface est parallèle à la fois à la tangente en m à la courbe (F) et à la langenfe en w' à la courbe (r ; (n' 30). Il résulte de la que les din'ctions de ces deux tangentes petiveîil être regardées comiur connues. Coupons, en ellét, les deux cônes (T). 'T j par un plan parallèle au plan P passant par leur sommet commun ; ce plan coufie chacun des deux côn^s suivant nn certain nomiiro de generalrices el. en associant les génératrices deux à deux de toutes les manières possibles, on a un certain nombre de combinaisons à considérer. Prenons-en une en pai i.ioulier ; Irs paramètres diroileurs des tangentes en m et on m' aux. deux courbes \V) et iT) sont alors des fonctiou» l'omnue^ du f>nramètre variable X dont dépemlent les coordonnées du point M de la courbe C pt le problème à résoudre est équivalent a celui-ci :

C) SOHIIUS I.IE. toc. i.it , p. i'j'i.

120 r.HMMTRJE II

Kiitnl ffonnée ur*e cuvrbi' C, prendre^ n partir d'uji )>oii)t de citte rourbe, un si'gmcnt felr/tif In fnnprnle à /a courbe d^criJU/ pnr /'p.vfrén>ité de rc srf/wrnt ait pour coefficients annuf/itre.s ii, y, w, tnudts que la tangente à fa courbe décrite par t'crtrémité d'un .segment égal nu ftrentier, pur te m seiif totitroire, ait pour coefficients avgulaires u\ v', in. Soient X. ^ . / K"^ projections du sepment inconnu sur les jixes ; le» « f«|UHtiniis do cundiUoii ^ont les suivantes:

dx-\- d\ dy 4- d\ d2 -f 'f^

dx — d\ dy — d\' d: — dV.

u' V fO

et. en désignant respccUvemenl par de et dt les valeurs de ce» rapports, on peut écrire

dx -f- d\ rn luh. d.r — c/X .-=• ii'dn, dy -)- f/Y =- r//f . dy — /7Y — n'd^j, dz -j- dA r-r loU^ dz — dL — w'd'J.

et. en iliuiinanl d\, <A', (C/., on a, pour déterminer d^ el dt, les trois relations

( •id.r =: udç, -\-it'd's, [l<^) \ tdy = w/s -f- ^d'iy