rhf:relniiis encore los e<piulions
11/ 4- -iKv ^ 1./ -I- M -f N ,w - V-) "„,
telles (|ue ics «Jeux système^ de caractéristique^ loniierit ^iur chaque surface intégrale, deux familles do courbes C(.uju^uees. j.ts i.in«{:enles aux deux caractéristifpie? issues «1 un point sont do.nnées par les racines de l'équalItMi du second dc^ré
Il 4- 'St) ./^« — 2 fK — N.v! 'L^cfy + (L -|-\/-; dx^ = o;
si m. m Sont les deux racines do cetfo équation, la condition pour <|ue les deux tanj,'-entes soient coiiju},^uér'S est exprimée par la relation
/ -f- 5' ;•/>< -|- l'a) -\- lUlhi J^ o.
i{ui d«/\'ient. en remplaçant m 4- m' it\ yicm' \yav leurs valeurs (11 -I- N/) .• ^ 2v ^K - N^' -f (\. I- .N/-/ / ^ o,
OU
Hr -j- ±\\.i -\~U -\- 2N {rt — .v-j = o.
I^our que cette équation soit idi»nfique à r'''qMation proposof», il faut. et il suffit que l'on ait M = N = o, et on voit que toutes les l'-quations (le Monge et d'Ampère qui satisfont à )a condition s«»nt de la forme
^5) . H»'-f 2K«+Lt :^ o,
H, K, [. étant dos fonctions quelconqiies de .r, ?/, z, p. q. T. os tangentes aux deux caractéristiques, qtii sont nécessairement eonjupnées, «iont déterminées par l'équation du secOud degré
Hrfj/=' — '■IKdx'dy + Ld;c* — o,
et le problème de lintégration de l'êquatiftn (io) peut so formuler ainsi : A tout éléûieiH hr,>/, i, /.. i/) on fnitcorvA!;ponclre. d'une fa<;onnrhilraire^ deux directions issuen du pnmt (r, v, z) ft sifoées dana le p'an 'fe ri/ff^.cierifs anfjulairea p, q y troifver u»e K»r/'<Jioe <^n>. en chncvn de ^fis él^.ine)ii.s\ admet/ f pour direcHoyn conjuguées Ifs 'Irnix dlrecHonfi cri-vospou' dan les.
Nous avons déjà étudie plus haut (n" o6-5S) quelques cas [iatli<idiors. Si Ips cocfllcienls II, K. L uu dépendent que de ;» et de 7, un a vu que lors((ue 1 équation
(46 j [{dp- -H '2\\dpd>/ 4 \.d^-i - o
se dédouble en deux éq.ualion3 de Ci.iiraut. ou peut intégrer r.ipiation 1 45) sans auenne (juadratuie. tandis que. si cette équation (4-'») --.e décompose en une équation »le Clairaut- et une équafion d'un*; aulre forme, l'equatiou '45 s'intègre par d€;s q^uadratiirrts.
Prenons enc(»re le <.;as où 11. K, \j ne dépendent que dos variables x et y ; ré{(uatiuu
(47) Udfr — •l\\d.cdy -r \.d."- = n
délinit deux familles de courbes plHllf^^ (pii sont l'^s projeclioriô des carac'téristi(jues sur le plan des j;y, de sotte (jue le pioblpine revi^^nt h chercher 1-es suri'aves qui admettent denx lamilles dp coijr"bes conjuguëes se projelant. suivant deux famiUcs de courbas données, sm- le plan des J'y. Si ou applique k i'équatiuu {\^] la iTanslormalion de Lpgendie.
160 f.HAPITRF m
elle devieiii
(48; Lr - 2K.^ -f- Uf = o,
X et y otant remplacés dans H. K, L par p el >/ respectivement. L'équalion dilTërentielle des earaclenstiques (47) devient de même
(4») Hdg- - 'iKâpciq + Ldp^ — o.
Par con'ït^qncnt, si l'équalion (47^ se dpcomposc on deux écpiations «le C.lairaul, il en est de même de lequation ^49) el, d"apri'>s la propriéié qu'on vient de rappeler, rerjuation ^48j s'intègre sans quadratures rint<\4ïrale gfcnérale se compose de surlVices de translation. On peut dune Irouv»'!* toutes les surfaces qui admotteal deux l'umilles conjucfuées formées de courbes planes, les plans do ces deux familles de courbes envelopi>ani deux cylindres dont les généralrices sont parallèles ; ces surlaces se dcduisenl des suilaces de ti-auslalion par la transformation de Legendre.
De même, si l'équation ^47), qui définît les projections des deux familles de lijnies conjuguées, se décompose en une éijuation de (!lairaut el une autre équation de forme i|uelconque, l'équation '^481 et. par suite, l'équation l iS) s'intègrent par des quadratures.
75. Le problème de la déformation infiniment pe*ite d'une surface conduit a étudier le problème suivant i'). Soient S,, S. doux surfaces représentées respeclivemenl par les deux équations
-, = A {^. if), z z= f[x, y]\
si on fait correspondre les points des deux surfaces qui sont situes sur une même verticale, la condiiiun, pour (jue les lignes asymploliques de l'une ae ces surfaces projelées verticalement decoupenl sur la seconde un reseau conjugué, est exprimée par la relation
'■|, *i, ^1 étant les dérivées partielles du second ordie de «,. Si la surface S, esl donnée, la reenerche des surfaces S, salislaisaui a la condition preceilente, esl ramenée a l'integraiicn de 1 équation (50), qui est de la forme considérée au" précédent paragraphe. Le réseau coniugue de S
C) D.\UBOOX, Ihéone de^ surfaces tomr- fV p 10
AI'n.ir.ATlONS lJ!VI;:i<Si:S ICI
se projette iiiivanl les inémes courbes que les lignes asymploliques de S|. SI la surface Si f^st du second degré, les projections des lignes asymplolif|ues sont des droites: l'équation
se décompose donc en deux équations de Clairaul et, par jfuitfi. on peut trouver toutes les surfaces S sans aucune quadraluie. Si la surface S< est simplement réglée, une famille de lignes asymptotiques de S, se projette suivant des droites. Donc, on pourra trouver les surfaces S nar des quadratures.
Par exemple, si la surface S, est la sj)hére
l'équation (50) est
(x^ — rt-) r -f- 2.ry7 -f (v3 — a^) / = o : après la transformation de I.egendre. elle devient
(y- — a-y — ^pqs -i- (p* — a^)t — o,
cette équation s'intègre absolument comme l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima: les courbt^s minijua son.l seulement remplacées par les courbes {^anolie'î qui satisfont à la relation
£//-• = rtVx'H- <^y-)
76. Pour terminer ces applications, nous intégrerons encore, pai- la méthode du n" o8. l'équation
(51) (r — pty = q-rt.
qui est le premier exemple traité par Ampère (').
Cette équation peut s'écrire, en la résolvant par rapport à r,
(52) r - f^JL±jL±±}lîjL±S' \ l=o; et comme on a
2p -f 9^ + 9 ^'tp -f <7' 9-f- yJ^P + 9'. 2 "" ' " 2
l') Journal de l'Ecole Pelifterhnfque. XVIJI' cahier; p. 46 fl suivantes.
INTÉOn.iTlON 1)E6 COUATION*;. H
ir.2 CHAPITRE m
les équations différenlielles des deux systèmes de caractéristiques sont reppectivenient :
(BJ
j (fs — pd:c — qcfy = o,
ap ^ — ' — *= — - dq := o
La dernière équation du système (A) est une équation de Clairauf, dont I intégrale générale esl. par conséquent.
ou p -f av = «2 ;
la dernière équation du système (B) devient, en faisant disparaître le
radical,
C'est une équation linéaire en p et q (jue l'on peut intégrer par le
rocédé classique : en prenant ] conduit à l'équation homogène
procédé classique : en prenant pour inconnue auxiliaire n = —• on esl
du du
dq dq
dont l'intégrale générale esl
On obtient donc l'intégrale g»'^nérale de l'équation (Si) en éliminant « euti*e les deux relations
p = u* — 7«, u (2u — [\q)'- ~ ji,
APPLICATIONS DIVERSES ce qui conduit à l'équalion
<i±sft±^^;^rzrq,.^^.^^.
Les équations fliiTérentielles des caractéristiques admettent donc respectivement les intégrales premières (53) et (35). Cela posé, imaginons que les coordonnées .r, y, z d'un point d'une surface intégrale soient exprimées au moyen des deux variables indépendantes x et 8, a restant constante le long d'une caractéristique du système (A),etfJ restant constante le long d'une caractéristique du système (B). Ces trois fonctions x^ 7/, t doivent satisfaire aux quatre équations (n°54)
