C ?C DC

A [rlx -f- slt/] -f B (fhx -f /8y) — 7' ^ *" — T~ 5.V — — Si

si on y remplace Sar. 8y, o;: par ks qiiantifés proportionnelle!^ A, B, C, on relrùuvo pr*"ciscmenl l'utpialion {!). On a Honc les trois relations

— Srt -4- — o6 -f -r- 6c = o, ?rt 1^// ic

pour déterminer ^n^ S6. oc.

Sii|.p(»sons d'abord que le déterminant fonclionnel

ne soit pas mil ; on tire alors les équations ftf) :

î,a = ô/i = Zc = o.

I,a (rourl)c du c.ompk'xe, tangente à la surface i-ntégrale, reste la mémo tout le long de la ligne d'osculation, et. par cons*»quent, se confond ivec la lij^ne d'osculation elle-même. La surface intégrale est tJonc (Liigendrée par les courbes du complexe; nous retrouvons la sointioi connue a jtrinn. Le raisonnrnient est en défaut, si le déterminant prêt «dent est nul. Kn éliminant o, b. c entre les équations (3), (6) et IVqiiation

lui ~-r- ~ f = O,

on est conduit à une équation aux dérivées partielles du premier ordre (il) Fit, y, ;î. p. 7)t=o.

et les Jnlégralc» de l'équation (H), qui ne sont pas formées de surfaces du complexe, appartiennent npcessairem^ni « léquation du premier ordre (llj.

ETUDE d'i.'NR (ÎLASSK PARTICULIÈRE: DtgUATIONS 7

lnversem«;nt, les intégrales de l'éciualion (11) satisfont-elles à l'équation (8) y Voyons pour cela la signiiicHMon geonietriqvie de l'équation M IV Les relations /'= o. ^ =-- o. A =: o donnent a,^, <■. en fonction de a;, y, z. p, q\ en d'autres termes, elles déterminent les courbes du complexe, qui sont tangentes au point \x, y. z) au plan fie co<!fricients anpilaires p, q. Or, pour trouver ces courbes, on peut procéder comme il suit : iinaffinons le cAne (T) ayant pour sommet le point de coordonnâmes ^07. y, z) et pour génératrices les tangentes aux courbes du complexe qui passent par ce point. Le plan de coefficients angulaires p. q, passant par le sommet, coupe, en général, ce cône (T) suivant un certain nombre d(; génératrices distinctes, dont chacune est tangente à une courbe du complexe réj»ondant à la question. Pour que le déterminant fonotii)nnel

soit nul, il faut que deux solutions soient confondues, ou que le plan de coefffcients angulaires p, q soit tangent au cône (T). Telle est la signitication géométri(}ue de Tcquation iW).

T,a réponse à la question proposée est maintenant bien facile. Fin effet, les courbes du complexe sont, pour l'equatiou (11), des ccmr-Ms Vtîtéffrnlei, et on sait qu'elles ont un conctact du second ordre avec les surlaces intégrales de cette équation, qui leur sont tangentes f). Par conséquent, les intégrales de l'équation (11) appartiennent aussi à l'équation (8), une exception pouvant seulement se produire pour l'intégrale singulière, s'il y en a- une, de Téqualion du premier ordre. Comme les surfaces intégrab^s de l'équation (11) ne frml pas, en général, partie des surfaces du complexe, on dit que l'équaiioii (llj est une intégrale singtili'&re J/v. premier ordre de l'équation (8).

11 peut arriver, d'ailleurs, que ce soit cette intégrale singutiêrc qui donne la véritable solution du prolilème. Hln effet, si l'on se propose directement de trouver les aurraccs qui sont osculatrices en xhalMm de leurs points à unft des courbes du complexe ('!), on est conduit à l'éqtiation '8), dont 1 intégrale générale se compose des surfaces du cemplexe. C'est là une solution bnnule, évidente à prio7'i: mais la véritable solution du problème est fou rràe précisément par les intégrales de l'équation du premier ordre

P (ic, y, er. p, q) =z o,

('*) Voir mon oavruge Leçons mvr l'mlèfjroli<>n des équations aux dérivées partielles du premier ordre, p. 19i. g 'TT. (Paris, Heruiaïui. 1891.)

fjiii uc sont, au point «le viie annlyti(|ue, que df^s solufions sinpfulières. Supposons, paî cxcuiplc, qu'on demande les ?uifaoes dont les lignes asvmptotiqups, de Tun dos systèmes, ont pour tangentes des droites appartenant à un complexe de droites donne. Comme les tangentes asYtnpIotiqncsont un contact du second ordre avec la surface, en mettant le problènu^ en équation, on est conduit à une équation de la forme (8), dont l'intégrale générale se compose des surfaces réglées (Kuit les génératrices appartiennent an complexe. Celle étpiation admet, en outre, tout» s les intégrales «le l'èrpi ition du premier ordre dont le cône (T), roh'.tif a un point quelconque de l'espace, est précisément le cône du complexe ; c'est donc cette équation du premier ordre qui donne la vraie solution du proldéme. Remarquons que les caractéristiques sont précisément les lignes asymplotiques.

4. Considérons, par exemple, les surfaces engendrées par des droites parallèles au plan des .ry

^ = a, y = bx -{- c;

en prenant x pour variable indépendante, on a

oz =^ o'z =^ o, ly ■-■ fnx, Z^y = bl'X = o.

Les équations (4) deviennent

l'élimination se fait imniédiatemiut, et on est conduit à réquation du second ordre

Il n y a pas d'intégrale singulière du premier ordre, car le cône (T) se réduit à un plan

Prenons encore les surfaces engendrées par un cercle de rayon constant, dont le plan reste parallèle an plan dés ry. Les équations de la ligne génératrice sont in

z = a, ix — ô)» -f (y — c\^ — R* = 0;

on en déduit, en prenant x pour variable indépendante,

Iz = S'i = 0, (x — b) Ix -{- [y — c) ly = o, Ix^ -f oy' -i- (y — c) l'^y = o.

ÉTUDE d'uNK classe HAJn'HIJI.IÈRE d'ÉOI'ATIONS 9

Les ôquations (4) deviennent

p [y — o) — 9 fa: — h) = o,

et réliminalioii Je a, f>, c, conduil à IN^quation

qni se réduit à l'équation précédente quand on suppose le rayon R infini. Si R n'est pas infini, il y a une solution singulière du premier ordre:

p2 | ry3 :=r o.

Avant d'étudier les enveloppes de surfaces à trois paramètres, nous présenterons d'abord quelques remarques essentielles sur la théorie du contact.

5. Étant données deux multiplicités d'éléments (') Mj et M'2, ayant un élément commun {x\ y, z, p, q). on dit que ces multiplicités sont oscula- <r/cefs, lorsqu'elles ont un élément commun infiniment voisin du premier {x -f- div^ y -\- c/y, z -\- dz, }> •]- dp^ q -f ^7)- Supposons que la première multiplicité se con^pose dune surface S et de ses plans tangents, la seconde d une courbe C et de ses plans tangents. Pour que ces deux multiplicités aient un élément commun, il faut, d'abord, que la courbe C soit tangente à la surface S. Si on prend le point de contact pour origine des coordonnées et le plan tangpnt à la surface pour plan des xy, cette surface est représentée par une équation de la forme

-r = F (.r, y)=ç, {rx^ + 2«a;j/ + ty"^] -^ ^^ (x, y) 4- ...

tandis que la courbe C est représentée par trois équations

où

/■ (o) = ^ (o) = 1^ (o) = o, <li' (o) = o. Si les deux multiplicités ont un élément commun infiniment voisin du (•) Équations itu prctnifr ordre, cliapitro x.

10 Chapitre i

premier <dx, dy, dx, dp, dq), on aura a la fois

dz =z pdx -f qdy, d^s = pd'x -f qd^'y -f- dpdx -j- dqdni, dp :=: rdx -f xdy,

dq -=:. xdœ -f- tdy,

et, par suit€,

U^s — piPco — qd'y = rdx^ -f" 2<ûtr% -|~ '^*'

rfa^tA^.r/^a", fl^.V, «^- «l^si^naiit lesdiiïérenliclles /"(o) rf/, ({.'(o) <//, A^fo) </«-, ^'(n) rf/', vî/'^o'i û?/*. Cette relalioii exjn'im'e (jue lacourhe C el lasurruceoiit à l'origine un cmluf-l du Sc'cmd ordre,- au sens habituel du mot. Si, par exempi»;, lo courbe C est une droite, on peut supposer que œ, y, z sor»l des fonctions linéaires de l\ on a alors d*x = d-y = d^z = o, el la relation précédente devient

rdx"^ -f- Isda^dflf -\- tdt/^ = 0,

ce qui montre que la droite doit èlr*' iuive des asymptotes do l'indica- Irioe. Parrhaque point dune surface, il passe donc deux lig-nes droites osculatrices à la surface, qui .sont les lung-enfes aux deujc lignes asymptotiques de la surface passant par ce point.

Supposons, en second lieu, (|ue les deux mulliplicités qui ont un élément commun soient deuxiiurfaces. Si on prend pour origine le point de contact, et pour plan des xy le plan tancent commun, les deux surfaces sont représenlées par doux équations de la forme

X = F (r, y) = I [ra^ {- 2*a;y 4. ^t) + .^^ (x, y) -f ... ;r= F, 'x,y] = ^- '^x^ + 2*,,Ty -f /,y») -f -^ (a-, y)...

Pour que les deux surfaces soient osculatrices en qe point, il faut que, pour une certaine valeur du rapport -p* les valeurs de dp et dedq soient les mêmes pour les deux surfaces, c'est-à-dire que l'on ait

rdx -f- sdy = r^dx -\- s^dy, sdT -|- fdy = s^dx •\- l^dy, et, par sui^e.

ÉTIJDK d'UNK classe FARTICL'LIF.IIF: I> EQUATIONS H

*l es* facile «l'avoir une interprétation géométrique de cette con(l*»ion ; «ITel. les (tmix" surfaces se coupent snivnfil une courbe, dont ,jrf>-

ou sur le plan des ry a pour équation

- r,) a-» -f ^ (.«f - s^) ayy^U-t,) y' + 2^, (.r. y) - ^b;, fr, y) + . . . r= o.

CeUe courbe a un point doubla à l'orij^ine, et l'ensemble des langenles au point double est dontié par l'équation

(y __ r^) .1-2 -{--lis -.<^^) xy + (/ — t,) y' — o ;

les deux tangentes sont confondues si la condition (12) est sofisfaite. et le point double est un point de rebroussement. Donc, pour qtie deux RurTaj-es s(»ient osrnlatrices en un p<»îni de conlaol. il faut et il suffît que la courbe <I inter<(;ctiori de ces deux surfaces ait un poàKit de rehronsftomenL eu ce point.

Prenons, en particulier, le cas où l'une des surfaces est une spbére tangente au plan des a:»/

on peut toujours prendre pour axes des x et des y les deux axes de rindicatrice de la seconde surface qui a, dans ce système de coordonnées, urje équation de la forme :

s- = ^ (ro-' -f ^^f) -{- ,,(.tr, y) -}-...

Si on porte celle valeur de i^ dans l'équation de la sphère, on a l'équation de la projection sur le plan des a// de la courbe d'intersection des deux surfaces. C'^ttc équation est, tti n'écrivant que les termes du second degie ;

a?» {{ - hr) -\- y- (I — fti) 4 . . =: 0.

pour que l'origine soit un point de rebrous.sement, il faut que I on ail

/( =--ou A =r > c'est-à-dire que la sphère doit avoir |)Our centre un des

oenties de courbure principaux de la surface, f/a tangente de relîrnussemonl est alor.^ Taxe des x un l'axe des y, c'cst-à-dirf l'un dps axes de l'indicatrice.

(^) Sopuu.s Lie, hfuthtmitoUche Antmlen, \. V. p t^i D*nuoux.>'t>//<#»orj Kimçuftrres, p. ilv

6 On pont déduire do co qui précède une gonf^ralisation de l;i tliôn des lignes nsymplotiqucs et des lignes de courbure (M. Etant don» une purfaoe lixe S, et une fiimille (\e surfaces S' dt-pendant de qui paramètres : 1

1' (r, V, ^. o^, a^, a.j, fl^; = o,

on peut disposer de ces <juatre paraniolres do façon que la surface S' soit osculatrioe à la surface S en un point donné de ciMle surface. Il y aura, en gcnéral, un cortain nouihre de surfaces de c^tlc famille n'pondaiit à la question. A chacune de ces surfaces correspond une direction dans le plan tancent à la surface S, celle de la taugenlo de rebroussemenl do la courbe commune à ces deux surfaces. On ap[>el!e lignes d'osculntion sur la surface S, les courbes qui sont tangentes en chacun do leurs points à l'une dos directions que nous venons de définir. Si la tamille de surfaces S' se compose de sphères, l^>s lignes d'osculation coïncidoni avec les liy-aes do courbure.

De niOme. si on a une famille de courbes (> dépendant de quatre paramètres, on peut disposer de ces paramètres, de façon que la courbe C suit o«5culatrice à la surface S en un point donné. On appelle encore lignes dosculation, les courl>es qui sont langenfos en chacun de leurs points à une courbe C osculatrice à la surface. Si los courbes C sont des lignes droites, les lignes dosculation coïncident avec les lignes asymptoliques.

Il est clair que toute transformation de contact change deux multiplicités osculatrices en deux multiplicités osculalrices Si donc on applique à une surface la Iransfttrmation de M. Lie, qui remplace les lign<-s droites par des sphères, les tangentes asymptotiques deviennent les sphères osculalrices, et les lignes a.symptotiques de la première surface deviennent les lignes de courbure fie la notivelle surface.

7. Etant données dans l'espace deux familles de multiplicités \fj, compo.sé('s de surfaces ou de courbes, chacune d'elles dépendant de trois paramètres, on peut toujours trouver une transformation de contact, qui change une de ces familles de mullijjlicités en la seconde famille. Nous allons montrer, en effet, qu'on peut toujours trouver une transformation de contact qui change les multiplicités M.^ d une famille u trois paramètres, en de nouvelles multiplicités, dont chacune se compose dun point de l'espace et de tous les plans (|ui y passent.

Supposons d'abord que l'on ail une famille de surfaces S, définies par 1 équation

KTLDK d'I'.NK «I.ASSE I'AK liri IMIiHE d'K'JI ATFo.Ns ''^

de lu lelalion fondanienl.ile.

on déduit une transformation de contact définie par celle relation et les suivantes (')

dV , c^F DF , M^ i^F , „i>F dF , ,^ d¥

.v^-^^5^ =-^°' ^ + ^^^'^- .^\+' ^,^"' DV + ^^V.^'^-

( loonie'(ri<juomonl, on sait (|ut'. lorsque le point './•. y, :} ilt'crit une certaino surlaco i], la suifaoe représentée par rofpiatiofj ; !.'{;, où l'un regarde X, Y, / (.■(»inine dos c<>oi-donrR'es courantes, (Mivel<»ppe uiuau(re surface ï', qui est la transformée de la surface ï. Ov. si l.j point (j?, ^, ^) décrit une surface S delà famille, corrospundant ;iii.\ v.ilfurs a. h. c des paramètres, la surface (13) passo constannnent |»yr le j.oini X =-a, \ :=.b,'L =':. A la surface S correspond donc r<; (loinl.

De même, si l'on a une famille de courbes

!a transformation de contact déduite des deux lelations :

fait roncspondre un poinl a une rourbe de celle famille. Si on a deux l'atuillob de courbes ou de surfares, dcpt-ndant chacune de trois paramètres, on peut donc ramener cliacuni; »le ces familles à l'ensemble des points d^! IV'space par une transformation de tH>nlaot convenable, et, en combinant les deux transformations, on obtienL ur\e nouvelle transformation, conduisant de lime des familles à l'autre.

8. llonsi<lerons miiiiilen;i!il une famille de surfaces S, dépendant de trois paramètres, ou ^:unq\k\C''. de surfaces :

^\^\ Ff.x, xi. z ; -v b, r, - (. :

(•) Ê''itiit(ionf l'it jji-en.tt'r ordre, i> -01

U (IHAPITRB I

si on ttahlit entre les trois paranièires a, b, c deux relations de forme «rbilraire, do façon a Pf laisser qu'un seul paramètre arbitraire, les surfaces auront une sinfare enveloppe (\i), chacune d'elles clanl tangente h leuveloppe tout le luug dune courbe caractéristique.. Si, par exemple, OD u pris

i — o(a). Cf= 'f (rt),

les caractéristiques sont représentées par le système des deux équations

/ F[r,7/, z]a,o{à], fl(a)] = o,

(16) ôF , :>y ,, . , ^F .., ,

et on obtiendrait l'équation d<t la surface enveloppe en éliminant a entre ces dt-ux équations. Toutes ces surfaces enveloppes, qui dépendent des deux fonctions arbitraires o e\ 6, sont des intégrales dune même équation aux dérivées partielles du second ordre, que l'on obtient très simplement comme il suit

Par chaque point d'une surface enveloppe, il passe une surface du Complexe qui lui est osculatrice, puisque les deux surfaces ont une infinité d'éléments communs tout le lon^ de la courbe de eonluct. Exprimons cette propriété. Les valeurs de p et de q sont les mêmes pour la surface enveloppe et pour la snrface du complexe ; on a donc, pour les deux surfaces :

De plus, pour une certaine valeur du rapport r^i les valeurs de Zp et

de ofj sont les mêmes pour les deux surfaces; pour la surface enveloppée, a, i, c restant constants, on a

ÉTUDE D UNE CLASSE PARTICUfJfcKE d'ÉQUATIONS 15

011, ^n développant:

{il)

, fy^F . ^ D^F , , y'F\ . , îiF .

+ [ji^ + -'^ :^ + ^ ô"iïj '^ + î:^ "^ ^ ''•

Pour la surface enveloppe, on a

V, s, t désignant les valeurs dfis dérivées secondes relatives à la surface enveloppo. Kn. écrivant que ces valeurs de op et de Zq sotiI les

mêmes, et en éliminant le rapport :r'' on parvient à l'équulion suivante:

/?F\' DF <)¥ iF

(18) (^) ,,,-.') + c2i-,..BJ;. + A^^r+AC-.B> = o.

en posant, pour abréger

^2F , ^2p ^ap' ;^2p

On parviendra à l'équation demandée en éliminant a, 6, c entre les relations (14), (16) et (18). Pour effectuer cette élimination, on peut imae^iner qu'on ait tiré des trois premières les expressions de a, b, c en fonction de x, y, z, ;), q, et qu'on porte ensuite ces expression» dans, la dernière. On obtiendra ainsi une équation de la forme

(19^ \\r -\- 2Ki- -f- \J -f M -f N {>-l — j») = o.

H, K. L, M, N ne renfermant que x, y, z, p, q, ou, plus p^énéral»»ment, une équation décomposable en plusieurs équations de la forme

16 C.HAPIÏRK I

pn'c»><!ontr', si les relations [ïi\ oi IHj fournissent plusieurs systèmes de valeurs j)Our a. *, c.

9. InverscuitMit, prtiposons-nous de trouver toutes les surfaces qui satisfont à l't'iiuation ,!'.»; ; d'a()i«'s lu l'avon dont elle a ét«? obtenue, cell-e »M|uulion exprime uniijucnieiil lu pi\i[)rielo suivante des suiiïices intégrales: par tout point dune surface intefrraK.. il passe une surface vin complexe ^li;, ipii est osculatri«e à la première. I.c !onn d'une li^ne d'o>oulation, les paramètres a, 0, c de la surface osoulalrice sont des fonctions dune seule variable indépendante, dont nous allons calculer les différentielles. Les valeui's de a, b, c sont déiinies par les trois relations :

quand on se déplace le Ion;,'- d une lii^ne d osculalion on a : -- ce -r Ç- '^y -•■ T~ ^' = ^.

.>F„ . , W. . , Mv, . , OF ,

— ôxt- y;^vH--5j^^-^-4-^-6.y--o,

puisque les valeurs de ô.r, Zy, 5î, S/), 07 sont les mômes, par Uypi»tlièse, pour la surface intégrale, et pour la surlace Ju complexe. On a donc aussi

aF . , DF ,, , aF ,

— oa -h — 60 -4- r - 5c ^^ o, «>rt ^ù oc

>>a db ' àc

oa ûh ' de

ce qui exige que l'on ait :

ÉTUDI-: DUNE CLASSE PARTICLLIfiRE d'ÉQUATIOiNS 17

à moins (|ue le déterminant ne soit nu) :

V D (F, F., F,) D rt, h, c)

Dans le premier cas, la surface du complexe, tanijfento à la surface intégrale, reste la niéuie tout le long d'une ligne d'osculation ; les surfaces du complexe, tangentes à la surface intégrale, ne dépendent donc que d'un paramètre variable. Nous retrouvons ainsi la solution connue a priori.

f.e raisonnement ne s'applique plus, si les valeurs de a, 6, c, tirées des équations F = o, F^ = o, F^ = o, salisfo.it ^ussi à la relation A = o; l'élimination de a, 6, c entre ces quatre équations

F =0, F, = o Fj = o, A = o

conduit à une relation entre x. y. z, p, q,

et nous voyons déjà que toutes les intégrales de Icquation (19), qui ne hont [>as comprises parmi les surfaces enveloppes représentées par les formules (15), sont des intégrales de léquation aux dérivées partielles du premier ordre (20).

10. Réciproquement, proposons-nous d'examiner si toute intégrale de l'équation (20) est aussi une mtégrale de I équation du second ordre. Celte relation (20; exprii:iH une propriété de l'élément {x, y, z, p, q;., dont nous allons d'abord chercher la signillcalion geométri(jue. Etant donné un élément (.r. y, z, p, q), absolument quelconque, on peut toujours disposer des trois paramètres a, 0, c, de façon que la surface S, représentée par l'équation

admette cet élément ; les valeurs convenables de a, b. c, sont déterminées précisément par les trois équations

cF ?F ^V JF

En général, ces trois équations admettent un certatti nombre de systèmes de solutions, distincts les uns des autres. Mais, si on a en

ISTÉf.HATIOX DES ÉQUATIONS. 2

[H CMAMTRE I

même temps

~ D iû, h.c) ~ "

deux (Je ces systènipsdo solutions sont venus se confondre ('). 1, 'équation 20) exprime donc que deux des .surfaces S du complexe considéré, qui advu'tlenl f éfément {x, y, •, p, 7). sont confondues. II est facile do déduire de là que toutes les mulliplioitfs M^, composf«'S d'éléments possédant cette propriété, sont, en chacun de leurs éléments, oscuiatrices à la surface correspondante du complexe, en d'aalres termes, que toute intégral'» de Ifqualiou du pren»ier ordre (20) vérifie aussi l'équati<»n du second ordre (ll'i. Kn effet, imaginons qu'on efTecluc une transformation de contact, de fa^on que les surfaces S du complexe devipnnent l<>s courbes C d'un complexe de courbes. I.» relation (20) se chancre en une nouvelle relation

(il) 'l»i {r. .y, -p. p, q) ^ o

qui exprime «pie deux dos coût bes (". du complexe;, qui sont tangentes à l't'lément [x, y, 2^ f, 71, sont, confondues. I.a prof>osition qu'il s'agit d'étaldir se tronsfoimc donc en un théorème démontré antérieurement (n* :{;, à savoir, que les eouibes C onl un »:»)ntact du second tudre avec les surfaces inlt'j^rales de réfjuation (21 j Kn faisant maintenant la transformation de contact inverse de la précédente, ou en conclut que toutes les intégrales de réfjuation du premier ordre <1» = o vérifient aussi ré(p;ation du second ordre (19;, exception faite des intégrales singulières, s'il en existe. En général, les surfaces intégrales de 'I» = o ne font pas partie des surfaces enveloppes reprt'sentées par les formules (15) ; la relation «^ = u constitue donc une intégrale singidière du pre-mter ordre de l'équation du second ordre 1 19j,

11. ExFMPi E I. — Supposons que le complexede surfaces soft formé par l'ensemble des plans

F (x, y, z ; a, b, c) = z -{- ax -\- by -{- c z= (}\

(') Si dans !♦•& (^quaUons 1" :=r o, Fi — o. Fj rr n, an ref,Mi<i*' c. y, z, p, ij .omrrK» doMi's ef tf. '■'. c i.omme (les rfi^rdoniiées «vniraiitHs. r es Irrijs pqualiotis iepre5»-fi(«Mit trois surface"-, dont il faut i-hercticr Ifs points communs. Si. «rn un de c»-- ^^l)inls (a, b, C. on a A ^=0. 1*3 plans l.'ingciits iiiix trois surfaces se coupent suiVHnt une aiè:iie >.!r(iite: lt> suifnces '>iit Jour «iiux points coniiniias conf<jn<l».s l'n Ui, />. c;.

ÉTUPE d'uNK CLASSK PARTICULIÈRE UÉQUATIONS llj

les équations (i6) et (17) deviennent ici

Sp =r O, 07 = 0,

I es deux dernières équations ne renferment pas o, A. c, et, en éliminant le rapport —■ entre ces deux équations, on estconduit à l'équation connue qui caractérise les surfaces développables

ri — ■ s^ = 0 ;

Dans le cas actuel, le déterminant A se réduit à l'unité; il n'y a donc pas de solution singulière.

12. Exemple II. — Considérons l'ensemble des sphères de rayon constant H :

F = {x — oY -f (y — i)' -f U — c)2 R^ =0;

on a ici

F, = (îr — a) -f- (z — C-) /) = o. F, = (v — 6) -f- ir — c) 7 = o,

et léquation (18) devient

On tire des premières relations

y/TTp' -h 7'^

et. en portant cette valeur de ^ — e dans la dernière, l'on est conduite l'équation

(22) R»rr/-.sVHVl-^;/'+V't(I4-7"^)r-|-!l4->)^V-2p7i(-l-(l47)^ + 7-;-=:o. On a ici

'iO r.iiM'inîK I

r«'.liiiiiMiitioM t\e a. b. •■, t.nti-o Ifs qualrc cqualitms

conduit ù l'éqUiTlinn du prtMiiirr ordre

<|ui coMsUdie hic'ii luie iiitL-ijr.ile première de réquation 52}, car un lire aussi delà nlation précédante :

rt — A-2 =r o.

On voit donc t)ue rinlci;f;de jj^énéralc de ré(|iiati<)n (22) se composa de surfaces enveloppes d'une sphère de rayon U, dont le centre décrit une courbe ^'•anclie arbitraire; 1 inlégralc sinoiilière du premier ordre déliait les surfaces développables qui |)assent par le cti'cle à l'infini.

Iteinarque. — I/érjuation ''22i, étant mise sous forme entière, se compose, en réalité, de deux é({uatiojis Jin<'uucs en r, s, /, H — a-, (|ue l'on obtient en prenant successivement les deux signes devant le radical rh \ t -\- p- -h 7". Une intégrale doit annuler un de ces facteurs ; mais, bi ou a l -\- jr -f" 7' = ^i c'est-à-dire si on coasidèn; une solution siniiulièie, ces deux facteurs linéaires sont idt'iiliijues. (rest là un fait géiiffial. ilepoilons-nous. en efi'et. a lu l'orinalion de l'équation du second ordre ; on tire les valeurs de a, h, <■. des équations

pour porter ces valeurs dans l'équation (18 ''n" S;. Sujjp(»sous, jtour fixer les idées, cpui les équations (2-4i admr>ltent un nombre tini de systèmes de solutions, p, par exemple. Rn portant ces videuis du a. h. c dans la dernière oquali(ui (IS), on obtient une équation du second ordre (K), qui est, en réalité, le }»i-oduit de p facleui-s linéaires en >•/ — ir, )\ X, t: Pour une intégrale quelconque, un seul de ces facteurs est nul, en ^'énéral ; mais, pour une intégrale singulière, on a vu (jue deux des systèmes de solutions des équations [tW sont venus se Confondre. I*ar conséquent, deux des facteurs linéaires de ré<|uation(E) doivent être identiques, et s'annuler en même temps.

13. Exi Mj'i.E III. — l'renons, dune manière plus générale, un complexe de surfaces, se déduisant d'une surface donnée par une translation, d'ailleurs quelconque (') ; ces surfaces sont représentées par une

(*} Muxot. ApplicaltoH de L' analyse à la 'jcomi-l-iitf. i XII i.

i^:tijue d'lnf classe PAUTir.in.ikRE d'équations 21

tiquai ion «le la forme

Les surfaces envelo[»p(;s de celle famille de surfaces, quand on ntablit enlre^t, h. c deux relations de l'orme arbitraire, satisfont à une équalion aux dérivées partielles du seeond ordre, que l'on obtiendra par la méthode générale exposée plus haut. On remar<]nera que les quatre é(|uations, entre lesquelles on doit éliminer «, i, o, ne renferment (pie .t; — /r, y — h, z — c, <le sorte que r«''quation, à la(pielle on parvient ainsi, ne contient que les dérivées 7), </, '*, -", ^- Celte équation du serund ordre admet une intégrale sinp;idière du premier lu-dre, qui s'obtiendra comme il suit : les trois équations

\ ~ o, t-,\Vt^ ~ ^»' r- -f 7 r; — o

o.t c^ ùy oz

permettent d'exprimer a: — a, y — h, z - c au moyen de p et q. Imag'inons, pareNemple, que Ion liie .'>■ - (X i'\ y — b de deux de ces équations, et qu «»n porte ces valeurs daiis la troisième; on a une équation entre p, '/, z — e, el, pour obtenir l'intcjxrale sing-ulière du premier ordre, il faudra écriry que celte équation en -z — eu une racine double. La condition à laquelle on arrive :

définit des surfaces développables qui coupent le plan de Tinlini suivant une laome courbe, qui est piecisé-ment la courbe d*ruter?ection des STirfaces du complexe avec le plan de l'inlini.

14. RxKMi'LE IV. — Appliquons encore la mclliode générale à la solution du problème suivant : T)ét';rrninei' wne surface, cmntuiitsavt une relation entre les quatre pa^'amèfn's d'une '(es deux sphères osculatrices en chaque point (').

Soit

l'équation d'une sphère osculatrice. et

la relation qui lie les quatre parauièlr«!.s a, [i, ■[, U. (') l>AKi;oiix, SiilnUotis sùifjulirnx. de. \>. 21'^.

L<»s sphères de celle espèce forment un c(»mplexe de sphères, c«r on peut imaginer que de l'équation /"= o, on ait tiré un des quatre paramèlros «, P, Yi l^- <?» fonction des trois auti-es. Le problème proposé n'est donc qu'un cas particulier de la question générale qui vient d'être traitée. En écrivant que les quatre paramètres d'une des sphères osculairicps à une surface satisfont à la relation /*=: o, on est conduit à une équation aux dérivées partielles du second ordre, dont l'intégrale générale se compose de l'enveloppe des sphères :

{x - .)« + cv - py- -f f.^ - y)> - r* = o.

quand on établit entre a, p, Yi ^^ deux autres relations arbitraires

Celte solution était évidente a priori, mais l'équation du second ordio admet une intégrale singulière du premier ordre, qui donne la véritable solution du problème proposé. Pour obtenir cette intégrale singulière, considérons les équations

F = (x - a)' + ly - p)> 4- (x - y)=» - R2 = o,

Fj = (y - P) -h 7 (^ - ï) = o,

qui déterminent a, p, Y' ^ ^" fonction de x, y, z, p, q. Imaginons, par exemple, qu'on tire |î, y. R cle trois de ces relations, et qu on porte les valeurs obtenues dans la quatrième, on a une équation entre x,y, z, p, ç et a ; on aura la solution singulière du premier ordre, en écrivant que celte équation en « a une racine double.

Si la relation /" = o ne contient pas R, cette équation

représente une surface (T), elle problème proposé peut s'énoncer ainsi : Déterminer les surfaces dont les centres de courbure de l'un des systèmes àont situés sur fa surface (£). L'intégrale générale est formée de sur laces enveloppes de sphères, dont les centres décriveal une courbe quelconque de la surface (T).

Pour avoir la signification de l'intégrale singulière du premier

ÉTUDE d'une classe PAUTICULIÈRE U ÊQUAriONS 23

ordre, remarquons que les équations :

qui déternïinent a, p, y en fonclion de x, y, ^, p, 7, sont aussi celles qui donnent les coordonnées des points de rencontre de la surface (Ij avec la normale à l'élément {x, y, g, p, y), menée par le point [x, y, z). On obtiendra donc l'intégrale singulière du premi.er ordre, qui donne la véritable solution du problème, en cherchant les svrfaces dont les normales sont tangentes à la surface (II). On sait que ce problème est équivalent à celui-c» : Déterminer les lignes géodéiiques de (2).

15. Toute équation aux dérivées partielles du second ordre, appartenant à lune des classes que nous venons de considérer, peut se ramener, par une transformation de contact convenable, à l'équation aux dérivées partielles des surfaces déveioppables s^ — rt = o. On a vu, en etîel (n" 7), que toute famille dp multiplicités M^ (courbes ou surfaces), dépendant de trois paramètres, se change, f)ar une tran^iformation de contact convenal>f»^ment choisie, en une nouvelle famille de multiplicités M j, composée da Tenseiuble des plans. Par cette transformation, toute surface osculalrice, en chacun de ses éléments, à une multiplicité M j, se change en une surface osculatrice. en chacun de ses éléments, à un plan, c'est-à-dire en une surface developpable. L'équation aux dérivées partielles du second ordre, correspondant k la famille de multiplicités M^, devient donc, après la. transformation, s^ — rt = 0.

Remarque. — Il peut paraître paradoxal, au premier abord, qu'une équation du second ordre, qui admet une intégrale singulière du p.. mier ordre, se change, par une transformation de conlaet, en une nouvelle équation s- — rt = o, qui n'admet plus d'intégrale singulit^re du premier ordre. Cela tient à ce que les formules, qui définissent la transformation, deviennent illusoires dans le voisinage des éléments qui satisfont à l'équation du premier grdre 4> =: o, qui représente l'intégrale singulière. Un faitde même nature se présente déjà pour les équations de premier ordre, puisqu'on u vu, qu'étant données deux équations quelconques du premier ordre, à un même nombre de variables indépendantes, on peut toujours passer de 1 une à l'autre, par une tranifor-

mation de contact ('

(') Equations du premier ordre, p. 2%.

24 r.HAPITHF. I

16. ].fs équations que nous venons il'ctuJicr n<* forment (ju'une catégorie tuni à fait particulière, parmi les équations linéaires on >•, .v, /, ri — vV- : ou verra, au chapitre suivant, oomnn'nt on peut reconnaître si une rquatiou donnée «le cette forme appartient ù lu classe précédente.

On a reconnu directement, pour ces équaiions, qu'il existe un ou plusieurs systèmes de formules, représentant toutes les intei>rales de l'équalion proposée. Mais c'est là un fait tout exceptionnel.

Etant donnée une équation quelconque du second ordre, rien ne prouve, /ïpr/or/, qu'il existe un système île formules pouvant représenter toutes les intégrales de celle équation, quand on attribue aux fonctions arbitraires, qui figurent dans ces formules, toutes les formes possibles. Il est donc nécessaire de donner un sens précis à cette expression que l'on emploie à chaque instant dans cette théorie: Que faut-il entendre par intégrale générale d'une équation du second ordre

nous adopterons la détinition que M. Darboux a déduite des travaux de Cauchy.

Proposons-nous d'abord le problèn^f suivant, r|ue nous appellerons, pour abréger, le problème de Cauchy, parce qu'il est intimement lié, comme on va le voir, aux travaux de l'illustre géométro sur l'existence des fonctions intégrales. Étant donnée une équatio'i du second ordre de la forme (28), cherchons à déterminer une surface intégrale passant par une courbe donnéo C et tangente, tout le long- de cette courbe, à une développable donnée D. En un point de C, x, y, z, p, q sont des fonctioDS connues d'une variable auxiliaire (i ; les valeurs do r^s, t. en un point de cette courbe, doivr'nt satisfaire à l'équation (28) et aux deux équations

' ) dq =z sdx -j- idy,

la lettre d indiquant des différentielles prises par rapport à la variable auxiliaire 0. Ces trois équations admettent, en général, un certain nonibre de solutions communes en »% i-, t\ supposons que, pour le système choisi, le déterminant fonctionnel des trois premiers membres par r&pporl à r, jr, /, c'est-à dire

dx dy o 0 dx dy K S T

= Tc/ic' — ^dx dy + Rc/y-,

ÉTIDE d'une (LASSK PAI'.TIC.I^lJfeKE d'ÉQUATIONS

iô

où on a posé

ne soit pas nul. On peiil alors {l«''terriiiiK r sans difficulté les valeurs de toutes les dérivées successives de - par rnpporl l\x et à y, en un point quelconque de la courlie C Ainsi, supposons qu'on c^iit obtenu les valeurs de toutes les dérivées jusqu'à celles de l'oidre n inclusiveinHnt. Pour calculer les dérivées d'ordr*' n -f- t, nous aurons In -\~ 2; («qualitins linéaires, à savoir les n équations qu'on obtient en différentiant n — 1 fois l'équation proposée par rapport à a: et a ,v, et les deux équations qui donnent c/"p fld''q. Le déterminant de cts (//-}"-) «iquations linéaires est

dx"

ndx" -

^dy~

dx '

r)dx"-*dii

.... nd..:dy"

on peut vérifier, comme il suit, que l'on a

^^ - t T</.k2 —^dxdy^ Wdy'- " ; désignons par a et ft le^; racines de l'équation

Ty.2 -f- Sx + R

et multiplions les éléments de la deuxième colonne du détermitiaiît A, par a, ceux de la troisième par a', etc., puis ajoutons à ceux de la première colonne. On voit ainsi que A, est divisible par (dx-\- idyY, et on verrait de ménie qu'il est divisible par ^dx 4- 'idif)". D'ailleurs, le coeflicicnt de {dx)-" est le même dans i^, et dans {'ïdx- — Sdxdy -\- ï\d)/^)" ; donc les deux polynômes sont identiques. Par conséquent, si Tdx^ — Sdxdij -|- Wdi/' n'est pa.-» nul. on déterminera de pioche en proclie, sans ambiguïté possible, les vab-urs de toutes les dérivées successives de z par rapport kx et à y pour un point de la courbe donnée, ïl ne peut donc exister qu'une seule ititég-rale satisfaisant aux conditions précédentes, et développable en série entière dans le voisinage d'un point de la courbe donnée (nous ne considérons d'ailleurs ici que de pareilles njtég-rales).

26 CHAPrTRK 1

17. Pour démontrer que la série entière que l'on forme ainsi est converg-'^nte, au moins dans un certain domaine, il surfit d'employer la transformation suivante. Supposons que, dans le voisinage d'un point (j?j, y„, -Î0)dc la courbe donnée C, les équations de cette courbe soient mises sous la forme

(30) t/ = ri^). ^ = ?(-^'),

f{x) et ^ fx') étant développables en séries entières dans le voisinage do X = Xq. Prenons trois nouvelles variables X, Y, Z, liées aux variables primitives x, y, z par les formules

(31) x=X, y=:/(X)-f-y. x=.p(X) + Z; la relation dz — pdx — qdy — o devient

^'(x) rfx + rfz = /)c/x -h y { rfY +/"'('x.) d\ y

et on f n déduit les valeurs des dérivées premières r^' ry'

(32) ^-|=p4-9ArX)-^'(X). ^ = v,

d'où on tire inversement

/»n\ <^Z, ,,vi »^Z,, /v. 4IZ

Des relations

on lire de môme

dp = rrfx -f- *^!/'

ÉTUDE d'une classe PARTICULIÈRE ^'ftOUATIO^R 27

OU inversement.

•■ = P - 2/- <>^) Àt? + F?; î ^' i^) !' - H /" W + »" "^i-

(dO; ^ * = ^^^^ - / (\) ^.

Par ce changement de variables, l'équation proposée (36) F ix. y, z, p, q, r, 5, f,) = o

se change en une nouvelle équation

et on vérifie aisément, d'après les formules précédentes, que Ion a identiquement

(38) |^rfj,»-f rf,rrfy+^rfar-^

Voyons ce que deviennent les conditions aux limites; l'intégrale cherchée z = ^ (x, y) doit contenir la courbe C., représentée par les équations (30) et, par conséquent, le fonction correspondante Z doit s'annuler puur Y = o. D'autre part, puisque le plan tangent est donné tout le long de la courbe C, q est une fonction connue de x, et, par suite, Q est une fonction connue de X. On est donc ramené au problème suivant :

Déterminer une inlégrate de l'équation (37J, se réduisant à zéro pour

\ = o, e/ dont la dérivée 777 se réduit en même temps a une fonction

connue de X,

Puis(|ue la courbe C correspond, par l?i transformation employée, à l'axe des X, on a. en vertu de l'identité (38), le long de l'axe des X,

28 r.HAlMTHE I

(.'oninie le proniitT nicnibro de ccito c'iralilé est dillôrent Jo zc'to lo lonjr de la courb».' C. par liypctlluse, on m coîiclul que la dérivt-o

n'est pas nulle non j^liis pour les conditi(»iis iiiilinlos. Par conscWpient,

i<n peut supposer l'é^pialion (-JT) résolue par rapport ;'• r^-^, »t lui appli-

ipior le lliéorème g-éncral de Canchy (^\,

il resulle de ce Ihèorônie que l'oiputlion (37) admet une intéi,Tnle développable en série entière, vl satisfalsatit aux roiiditions initiales: 1 équation !'3r>) admet donc aussi une i7ité*;nile liolomorplie, satisfaisant aux premières conditions données.

18. Cela po>é, nous dirons qu''<??« intéfp'nlp est i/èncfah'., si Von peitf cfisposer rft^s nrUitraires qui y figurent, fotictions ouconstantrsev nomhre illitiiité^ de manière à rrlrovvev les xolufions dont les théorèmes de Cauvhy nuu^ démoiHrcvt l'existmce, c'cst-à-t/ire df manière à atlrihufir à la l'onrlloii tvcontiui' et à L'une de ses dèrirees premières des vafrurs se sucfédanf suivant vue loi rumtinve t/uelct»)(jut\ donnée à l'nvavre, pour tous If^s points d'une covrhe ['■').

Kn langage îjéonutrirpic, ilest évident (pic lesconditicms précédentes reviennent à se donner une courb**, située sur la surface intéi^rale cheichee, elle plan tancent à cotte surface tout le loni:^ de la courbe donnée. L'inté<^rab'. jjénérale, l'Ile qu elle vient d'être définie, doinic nécessairenient toutes Ks intégrales de l'équation considcrée, dont le lliéorèm«' de Cauchy nous dénientre l'existenco; mais il i>c««t arriver qu'elle ne n^présenlc pas toutes les intégrales de celte équation.

Pour fixer les id('os. supposons que le |)ieniier nienilMê de Téquatioa proposée

scit un polynôme, ou, plus g-încralcnient, une fonction entière, rationnelle ou transcendante, des variahl^'s x. y, -, }>, <7, r. s, i. Soit

(•) Éqiialions dit pietn'fr «rdre. j». 12.

;«) Dabbo'-x. Leçons sur la théorie (jéncralr des sur/mci, t. Il, p. tf8.

i'T[nK d'iink <;i,.\ssf, i'miticui.ièrk d'i%ol; axions '29

une iii(t''}4:ralt' iJc cetto éj^iinlioii. Appelons S la siirliin' ippri-sciili-c pur l'équaliori -iO . et prenons sur ccJte siiiTaoo une ooiiriji; (1 ahsnluniorif quelconque. I.o plan (angcnl a la siiiracc S le Ion;; île la courbe C enveloppe une surface dcvclopftalilo I). Le théorème de Canirliy nous apprend ([u'il existe une intéjçrale de l'éipialion (39), (pii (umlient la eourUe C. et qui est lari^ente à la développuble D, le long de celte courbe, a moins »pie l'on n ait, tout le long delà courbe C,

(*h II chf' - S ('xrly -f T'/^:"-* = O.

L'intégrale z ^= ']> [x, y\ est donc une de colles dont le théorème de (^auchy nous démontre rcxistence, sauf si lu condition (41) est véridce, quelle que soit la courbe C située sur cette surface, c'est-à-dire si l'intégrale <I» (.r, y) satislait, en même temps, aux trois équations

De telles intégrales, s'il en existe, sont appelées intégrales singulier e>-.

19. Nous allons appli([uer ces géuéraiilés aux équations étudiées au début de ce chapitre. Reprenons, par exemple, les surfaces àtroisparameires iS;, représentées par une équation

Quand on établit deux relations de forme arbitraire entre ces trois paramètres

nou^ avons vu (n* 8) que les surfaces enveloppes, représentées par les formules

vérilient, quelles que soient les fonctions arbitraires f et j/, une môme équation aux dérivées partielles du second ordre (E). Les formules (42) représentent l'intégrale générale de l'équation (E), telle que nous venons de la définir. En elTet, considérons une courbe gauche, tout à fait arbitraire C, et une surface développable D passant par cette courbe. Nous pouvons disposer des trois paramètres a, b, c dont dépend la sur-

30 cif\prrRK I

face (s), de façon (|iie celle surface soit tangente à la développable D en un point donné M de laiourhe C. F.orsqne lo point M pai'i'ourl la courbe C. Ib surfai-e (i!) ainsi déterminée ne dépend que d'un paramétre variable: la surface S qu'elle enveloppe <|ui est, d'après ce (pi'on a vu, une intej^iale do l'équation fK\, satisfait évidemment aux. conditi<»ns de Cauchy, c'fst-à-dire quelle est tangente à la développablo l) lont le lougf de la courbe C.

On a vu aussi que 1 équation (Ej admet en g-énéral, une inliuité, d'inlé- ^rale^, qui ne sont pas comprises parnji les surfaces enveloppes (45), et qui vérifient une équation du premier ordre

il est facile de montrer que ces intéj^'rales satisfont bien a la définition précédpute des intégrales singulières. En effet, on a remarqué que, r<>quationdu second ordre (F.^ étant mise sons forme entière, le premier membre de celte équation est. le produit d'un certain nombre de facteurs linéaires en r, s, t. rt — s- ; pour une iiitég-rale de l'équation du premier ordre * = 0, deux de ces facteurs linéaires sont nuls en même temps (n'-lii) et, par suite, les dérivées partielles

àF ^F àF

ir hs i>l

sont nulles aussi pour cette intégrale.

Kkmauque. — Si le premier membre d'une équation du second ordre n est pas mis sous forme d'une fonction entière de x, y, 2, p, 7, r, s. l, elle peut admettre des intégrales singulières sous d'autres conditions. C est ce quiarriverait par exemple, si dans le voisinage de tout système de valeur (jc^, y„, 2-^, p„, q^, r„, .v„, /„) convenant à une intégrale, le premier membre n'était pas une fonction bidomorphe. Il est clair que le théorème de Cauchy ne peut pas démontrer l'existence d utie pareille intégrale. Ainsi ré<|uation des surfaces canaux formée plus haut (a® ii) admet pour intégrales singulières toutes les intégrales de l'équation du premier ordre

Dans tout le coups de cet ouvrage, nous aurons surtout e/i vue de rechercher les intégrales d'une équatiou du second ordre, dontle Ihéolème de Cauchy nous démontre lexistence, bien plutôt que d'obtenir uu symbole plus ou moins compliqué, propre à représenter toutes les intégrales, symbole dont nous ignorons a ■priori la possibilité. A nu

ÉTUDE DUNE CLASSE PARTICULIÈBE DÉQUATÎONS 31

problème un peu vague, se trouve ainsi substitué un problème beaucoup plus particulier, mais qui a 1 avantage d'être bien défini. Je dois ajouter que la question sera considérée comme résolue, toutes les fois qu'on aura 1*éussi à en ramener la solution ù Tintégration d'un ou de plusieurs systèmes d'équations dilTérenlielles ordinaires.

20. On dit souvent que l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes dépend de deux fonctions arbitraires d'une variable. Cette expression un peu vague ne doit pas étrepi'ise à la lettre. Prenons, par exemple, l'équation

une intégrale de cette équation est complètement déterminée, si elle est as.«ujettie à se réduire, pour x = jp^, à une fonction donnée de

y, /"/y), tandis que la dérivée première r-^ se réduit, pour la même

valeur de r, à une autre fonction donnée de y, 9 iy). On peut donc dire que l'intégrale générale de 1 «quai ion (44) dépend des deux fonctions arbitraires /"et <p. Mais on peut se poser la question autrement: supposons (ju'on veuille obtenir une intégrale de l'équation (14), seré('"'sant, pour y = y„, à une fonction donnée •> (a?), qui est, par exemple, liolomorphe dans le voisinage df la valeur x = oC„. Les coefticieTils du développement en série entière, <lans le domaine du point (.r^,, y^i, de l'intégrale cherchée, sont complètement détermines par la condition initiale. Kn effet, on connaît immédiatement les valeurs de z et de toutes

les dérivées — ;; pour a; := .r^. y =: Vo si on différentie les deux membres

de l'équation (.44), un nombre quelconque de fois par rapport à a*, et qu'on fasse ensuite x = .r„, y t= Voi on a toutes les dérivées

y = vo.

exprimées au moyen des précédentes. En différentiant les deux membres de l'équation (44), une fois par rapport à y, et un nombre quelconque de fois par rapport à j*, on obtient ensuite les valeurs des dérivées

\è.v"ày') ^ = '''0 et ainsi de suite. On voit donc qu'en opérant de la soiit, on peut dire

aussi (|uo liiilégralc <j:tiKraIf de locjuation (44) dépend de la seule fonction arbilraiie ■]/ '.r".

L«^s doux rosullals no sont coulradictoiios qu'en apparence. En effet, se donner une fonction arbitraire d'une variable revient à se donner une suite simplement inlin'o do coeflicients

puisque nous ne considéroi\s quo des l'onclions analyliipuîs, par exemple les coofiicients du dcveloppemon* en série entière de cotte fonction; se donner p fonctions arbitr;>ires, c'est se donner/) séries de cette espèce

/o + ^ + - 4 fn 4-

Or. on sait qu étant donné un tableau tel que (B), on peut toujours disposer les nombres dé ce tableau en une seule série, de façon que chaque nombre de ce tableau arrive à un rang" déterminé, et inversement, étant donné une série tuile (|ue ,A;, on peut toujours disposer les termes de cette série en un tableau tel que (B). Autrement dit, on pont toujours établir une correspomlanee univoque entre tes termes d'une série (A et les termes d'un tableau B' à un noml>re quelconque de lignes. Bar exemple, si p = '^, on pourra former le tableau 'B'I en mettant dans une ligne tous les termes de (A) d'indice pair, et dans une autre ligne tous les termes d'indice impair-. On voit donc que, se donner une fonction arbitraire, ou se donner p fonctions arbitraires, cela revient dans les deux cas à so donner les termes d'une série arbitraire ; le degré de généralité est au Tond le même dans les deux cas.

La seule conclusion ipie nous voulions déduire de là pour le moment, c'est que, pour reconnaître si une intégrale est générale, il ne suftit pas de compter le nombre de fonctions arbitraires qui y figurent. Le critérium qui se déduit des théorèmes deCauchy est toujours le moyen le plus sur de reconnaître le degré de généralilé d'une intégrale donnée a priori. Ainsi, pour l'équation (44j citée plus haut, un connaît depuis longtemps une formule donnant l'intégrale générale

- = / e- "^ <p [x -\- 2?« S y) du,

/ — cr-

ne dépendant que d'une fonction arbitraire i C). (') A^tPKKK, Journal de V École polijlechnique, X Vil' tuilier |j. i.'J.

ÉTUDH: D une classe PARTrCULlÈRK 1) ÉQUATIONS 33

21. 1 -a méthode d intégration des équations considérées au début de ce cîiapilre constilue, en un certain sens, une g'énéralisation de la méthode de la variation des constantes arbitraires. litaiit donnée la facilité avec Idijut'lle la connaissance d'une intégra!*; ctnipiéte d'une écjuation aux dérivées partielles du picinior ordre conduit à linlégrale, générale, il semble qu'on pourrait espérer que la mérue théorie, convenableniont généralisée, permeltiuit aussi doolenir aisément 1 intégrale jçénéralc d'une equalion du second ordre. Nous allons voir qu'il n'en est rien.

Toute fonciion de deux variables, qui dépend de moins de cinq paramètres, satisfait à une infinité d'équations aux dérivées partielles du $eoo!id ordre; par conséquent, une intégrale comp'ète d'une équation du second ordre doit reni'crnier cinq paramètres. Soit donc

^45) «l» [X, y, z ; «,, Oj, ^3, a^, a.,) — 0

une relation déllnissant z en fonction des variables ,r, y, et dépendant de cinq constantes arbitraires a,sn^, a.,, a^, a^. De l'équation (45) on déduit, en dilTérentiant, par rapport à rc et » i/, les cinq relations suivantes entre les dérrvées du pruinier et du second ordre/), «7, ;•, 5, t,

èx'èi^ ' dydz ' 0x0 z iz- ' bz

'i t'y- ' "^ àydz ' ^ ?j^ ' ùz

L'élimination des cinq paramètres a,, a^, «3, <i^, r;,. entre les six équations (45) et (46). conduit en général à une seule relation entre «î y, 2,;), V, »', s. ^

la fonction définie par la relation ('io), d'où on est parti, constitue une intégrale conq)lèle de cette équation. Pour en déduire toutes les autres intégrales, remarquons <jue 1 équation (47), provenant de l'élimination dfris paramètres ai entre les équations (45) et 46). exprime la pro[)riété suivante des surfaces intégrales : en tout point d'une surface intégrale, les équations i4o; et (40; admettent un système de solutions

LNTtOHATKJN DKS ÉfjUATIONS. 3

GHAPITRI-: I

communes en a^, a.^,a.^,a^,a^. En lanp^age géométrique, cela veut dire que, par tout point d'une surface inlégrale, on peut faire passer une intégrale complète, ayant un contact du second ordre avec cette surface intégrale. La question qu'il s'agit de résoudre peut donc s'énoncer ainsi : Qin'//es i-elalions faut-il éinblif entre /en cinq paramètres a^y Aj, «3, a^y ^5, pour que ta surface enveloppe de la famille de surfaces ainsi obtenue ait, en dtaque point, -un contact du second ordre avec la surface eyweloppèc l

"Noiis traiterons auparavant le problème préliminaire suivant : Étant donnée une famille de surfaces à un ou deux paramètres, quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que la surlace enveloppe de cette famille-ait, en chaque {)oint, un contact du second ordre avec Ja surface enveloppée? Prenons d'abord une famille de surfaces à un paramètre

[i8j \ {x,y, z,a)z=zo\

la caractéristique est définie par les deux relations :

art

En un point de la surface enveloppée, les valeurs de p, g, r, s, t, sont données par les relations

^x "^ oz

on- , ^, D^v , ,^'v , , DV

pour la surface enveloppe, r et a doivent être considérées comme des

fonctions de x. Les dérivées partielles du premier ordre r' c-» ;-» t"

"^ '^ ex c'y l'a: Oy

s'obtiennent au moyen des relations

iy + dz ày ~ ^'

3V cW ^

cU- "^ cV :^x ~ °'

M^x "^ :^x .VcV "^ >a^ :>x ~ ^'

KXUDE D -UTiE CLASSE EARTICULIKRE d'eQUATIOKS T6

1 , . hz dz

dont les premières montrent cMie I on a v~ ^ P, t— ^= 7- Quant aux

de ùt/ ^ '^

, O-'z ^2. ^2^ valeurs de --^» r~ï~' r~i' r-elativos a la surfacoenveloppe, on les obtient

en dilTérentiant de nouveau les formules (Bl), ce qui donne :

^a-d,/'^ \chz dy~^ hy^z ùx ' ùj^ ajray'" a* ^j^c^^"" V«'>» ' «)/T.^î.y).'<y~*''

poiir que les valeurs des dérivées secondes soient les mêmes pour la surface enveloppe et la surface enveloppée, il faadra donc que l'on ait, en chaque }>oint de contact,

^^ èa^x "'" >ac>z ;>x ~ ^' èaày ~^ M^z ^y ~ ^'

car on ne peut avoir r— ^ o. — = o en tous les points de la surface

^ ex ùy ^

enveloppe. Les deux conditions précédentes se réduisent, d après les formules (52j, à la relation unique

Pour que les deux surfaces aient un contact du second ordre en tous les points de la caractéristique, on doit donc avoir, en tous les points de celle courbe,

V = O, -:— = O, rr— s=:0;

ôa oa'

l'élimination de z ei de a entre ces trois éi[ualions doit conduire à une identité.

On peut remarquer que les équations ^53) ont une sig;nification géométrique évidente; elles expriment que les deux surfaces

OU l'on regarde a comme une constante, sonl Ungentes tout le long de la caracloristi<|ue.

Si l'on considère uiainlennnl ut«e famille de surfacefi à deux paramètres

la surface enveloppe est déliniu par les trois équations :

où l'on considère z, a ail comme des fonctions de «et de y. En reprenant les mêmes calculs que tout à l'heure, on trouve que les conditions nécessaires et suflisantes, pour que la surfac*^ enveloppe ait, en chacun de ses points, un contact du second ordre avec la surface enveloppée correspondante, sont exprimées par les trois relations suivantes :

^ ^ ) ?fl» ^x ^y ~^ daèb \^x èy ^" èy ?^j ' df>' dx Ôy """ "' in- \èy} "^ }>aib iy ^y "*" ^b^ \èy} '" ^"

Nous pouvons considérer ces relations comme trois équations

.... ^ D»V <viV ^'V ,. , , ^.

uneaires et homogènes en -r-T' T~S7' "^Â^' ^" oeveloppant le déterminant de <e8 équations, on trouve qu'il a pour valeur :

el, par conséquent, il ne peut élre nul dans le cas où nous nous plaçons. Les équations (56j entraînent donc les suivantes \.

^ do* da^b ^b^

pour que la surface enveloppe ait, en cha-^un de !»e8 points, un contact du second ordre avec la surface enveloppée, il faut que ces relations aient lieu en même temps que les relations (55).

étl'dt: d'l.n'f cuassk pARTir.uLiÈnK I) ÉorATio.Ns rt7

Celii pose, soit

l'équalion d'une famille «le purfaccs à cinq paramètres. Si on pf.iblit quatre relafions entre ces cinq paramèlies, il ne veste plut» (ju'un paramètre variable; on peut supposer, par exemple, qu'on ait pris pour aj, rt,, fl^, ffj, des fonctions de «,. Pour que la famille de surfaces ainsi obtenues ail un contact du second ordre avec son enveloppe, il faut, d'après ce qui précède, que l'on ait en tous les points d'une caractéristique

, .. . ^ ô<l> èH' .... , ,

les dérivées r — r-r étant prises en reffaraant <7.>, a., a,, a» comme àa, da^ ' ^ '•••'>

des fonctions de ^/,. Si doiu; on élimine deux des variables x\ y, z, entre ces trois équations, x et ?/, jiar exemple, le résultat de Vcliminalion doit être indépendant de z. Eu exprimant cette condition, un obtient, en général, pour déterminer les fonctions inconnues rt^, «3, «4, «5, un nombre d'é((uations supérieur à celui des fonctions inconnues, équations qui ne sont pas nécessairement compatibles. Ce n'est donc que dans des (as tout particuliers ([ue l'hypotlièse considérée peut conduire à des intéf^rales.

Supposons, en second lieu, que l'on établisse fro*.* relations seulement entre «,, a.^, «3, a^, a^, par exemple, que Ton prenne pour a.^, a^, o.^^ des fonctions de rt, et de a^. l*our que la famille de siirfaces à deux paramètres

ail un contact du second ordre avec son enveloppe, il faut, nous lavons vu, que l'on ail, pour le j>oinf de contact

(60) ft» ~ o, r — = o. r— — o, r — :; — o, .—— - =: O, r — r = 0,

les dérivées étant prises en regardant a^, a^, a^. comme des fonctions de a,, a^. En éliminant .r, y, z entre ces six équations, on est conduit à trois équations simultanées du second ordre pour déîerminer u^, «^.Uj. en fonction de ât, et a.^, c'est-à-dire à un problème plus complique en apparence que le problème lui-même qu'il s'agit de résoudre.

U s»?mblo donc que In méthode précodeTite soit, suivant l'expression de J.agranjj'c \^^) « plus curif^tise qu'utile >>. Il ne faut pourtant pas en conclure que la méthode de la variation des constantes n'est d'aucum? utilité dans la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre. Kn poursuivant lu généralisation dan.^ une autre voie, Ampère (*) a été coaduitàune metliode généiale de transformation, qui est précisémentidentique à celle que l'on déduit de la théorie des transformations de coTilact.

('} * Sur les intéyr aies purliculicrcs des i-qoations différentielles » {NoweaurlAémaires de V^indèmie deUevIiu. 1774. p. 26(i}.

(*j « NTi^moiro contenant lapplicaLioTi de la théorie exposée dans le XVH' cahier du Journal rte V Ecole polytechtùqiw, à l'intégration des é^iualions aux ditiérentielles partielles du premier ot du second ordre y> [Journal de l'Ecole ■polytechniqwe. XVIil" cahier;. Voir, eu particulier, la .'!• et la 4' partie du mémoire.

LES ÉQUATIONS DE IVIONGE ET DAlVrPÈRE (')

Étude du problème de Caucliy pour Ihs équ.'itions linéaires en r, S, C, rt — it^.

— Déftirition dos multiplicités C'irarléristiqur's. ~ GénéTalisation de 1a notion d'inU'graie. — Application à divers cxomplos. — iviéthode d'iuCégralioTi de3Ion£;o. — Solution du problème de Cauchy pour l'équation a ^=: o.

— RecTieTche générale des intégrales intermédiaires. — Examen des dill'érents cas où il exLsted.es intégrales iTitermédiaires. — Méthode de transformation d'/Vmpère. — Hemarque d'Imsc]ienelsl<y. — Intégration de léquation aux dérivées partielles des surlaces mimma, d'après Ampère. — Généralisation de cette méthode. -- Solution dn problème de Cauchy pour les snrfaces de translation.

22. J^ous étudierons, dans ce chapitre, les équations du second ordre linéaires en r, s, c, rt — 6-, qui se pTésentent dans un grand nombre de questions d'analyse et de géométrie, el (|ui jouissent de propriétés pailiculières. Une équation de cette tonne s'écrit, avec les notations d'Ampère,

{i) Ur -f- "liKs + L^+ M + "N (rt — s^) = o.

H, K", L, M, N" étant des Jonctions quelconques de x. y, z, p, g.

{') AutiMus à. consult<>r : \fitN02. «Mémoire sur le Calcul intéjjral des équalions aux tiiir<TL'iices [t;irlielles » (Histoire de VAcadémits den Scirnca:. 17iJ4); .Amhehe. <i Mémoire contenant ra[>[>licatinn rie la ttiémie exposée Hans le X Vjl' rwbif r », etc.... {Journal de l'Kiole pohjtei-hnufup, Xyill-- cahaer. 1820;; Booi.k, «"CcbeT âio paitieilo DiUnrontialgleichunKen 2. Onlnmis:, Rr -f Ss -|- T/ -f L'(/-/ — r^) ^V» iJmirual de Crclle, I.LXI, 1803): Buim. '< Sur Tintegration ries rrqiialions ditrércaliclles p'utielie.s du premier et rlii sr>cnnd ordre >> {Journal de l'École polytechnique, t. XXII'i; an. M.OKGAA' [CambTidge Philosopkicaf transac fions, vol. IX): Imschktnktsky. « Fturle sur les méthodes HinlégratioTi des é'iiiatioTiij ai!x dérivées partielles du second ordre à\m.i- fonction djc deux vairiabies rndopRiidante.s •> 'traduit du russe par Holid): GriAjNOoRr.E, 0 Mémotra sur l'intégration des équaliou.s aux dérivées pajtiellos des deux premiers ordres ■< {Mrnwircs àe 7/3 Société -roj/dle t/e* .^cîenG^.v de Liège, 2" série. C. V, iS'J?') : Somus Lrt, « Neue Tntegralions-inethode dcr Mnnge-AinperescTien Gleiohung ■. 'Arcfnv for Mathema'if; o^ Tiaturvide-nshab. f. I, 1876), « Ucbfr Comple^re, etc. . > {Muthemalv;rh.e AnmiLen. X- "V. -1872) ; D/Rijoux, Mémoire sur tes solutions singulières des équation.^ aux dérivées pajlit^lli's du premirr nnire > (iff^moire.s c/«.v Savants étrangers, X. XXYTI, 1883. j». iOa-i'^iS) <> Théorie dos surfaces \>, t. III, p. 203 et suivantes.

Proposons-nous de déterminer une surf«<« intégrale del'équation (1), passant par une coiirl)e «Jonncf C, et tangente, tout le longdeC, à une développable donnée I). passant par cette c«)urbe. Soient

le* éifualions qui représeutonl la courhe C, > désifrnant tin paramètre variable, p et 7 les coeflicienls angulaires du plan tangent à la surface diveloppable D, qui passe fiar le puint {.v. y, z) de C: p et q sont aussi des fondions de \. et. comme le plan tancent à la surface D doit contenir la tangente à la courbe C, les cinq fonctions cr, y, z, p, q du paramètre / doivent satisfaire ù la relation

di — pdx -f- qdy.

Autrement dit. j'ensenilile de la courTie C H des plans tangents à la développable D forme une multiplicité .M, à une dimension (').

Soit S une surface (Quelconque tangente à la développable D, le long de lu courbe C, et leprésenlée par Téqualion

quand on se déplace le long de cette courbe, les dérivées secondes

relations :

i dp :=n rdx -\- sdy.

} dq = sdx -f f'dy.

f/j-, dy, dp, dq désignant loujctirs les différentielles relatives à un déplacement le long de C Si on suppose, en outre, que la surface S est une intégrale de l'équation proposée, Ibs dérivées /*, «, t doivent aussi vérifier l'équation (l) ; et on a. pour déterminer les valeurs de ces dérivées en un point ([ueiconque de la coujrbe C, les trois éq^iationsH) et (3'.

Une iiilcrprélation ijéométriq-ue facilite beaucoup la discussion. La courbe C etla développable D étant données, nous pouvons considéTer, dans les équations (1) et (3), r, y, *, p, 7 comme des quantités connues,

f) iù'junlionn du premier lyrdrt. cTiapitr*? f .

Lr:s i:0UATroNs df. monge et d'ampètie 41

et '■. 5, / comme les coordonnées «'artésiennes d'un point à déterminer. Or, quand on regarder, s, f, comme des coordonnées courantes, ré<|ualion (1) représente une snrface (Z), les équations i'3) représentent une droite A: le point inconnu (/•. », l] est donc a l'inlersection «le la droite À et «le la surface (iJ). Si N n'est pas nid, la surface 'H) est une surface du second dej^ré, dont les génératrices sont parallèles a celles du cône (T) qui aurait pour équation

si N est nul, la surface (H, se réduit à un plan. Quant à la droite à, elle est toujours parallèle à une ^n}nératric«; du cùne (T). On v(tit d(jnc quels sont les dilTérents cas qui peuvent se présenter :

1" Rn g-ûnéral, la droite A rencontre la surface (2) «mi un seul point a distance finie. Il est facile de le vérifier, car, si on tire deux des inconnues r. s. t des équations (3), et «pion porte ces valeurs dans l'équation [l], on aboutit à une équation du premier degré, en cfénéral, pour déterminer la troisième inconnue. On a démontré plus haiil (n" Ifii, d'une façon beaucoup plus générale, que les valeurs des dérivées suivantes sont aussi déterminées sans ambiguïté, et qu'il existe une surface intégrale, et une seule, satisfaisant aux conditions proposées. Cette surface est représentée par une équation

où V est une fonction développuble en série entière dans le voisinage d'un point de la courbe C (').

2* Il peut arriver que la droite A ne rencontre la surface S en aucun point à distance finie. Dans ce cas, il est impossible de trouver pour r, s. t. ^«^ç vaîeuis liu.'co salisfaisnnf : !c. '"«^«s aux é«|uations (1) et (3). S'il existe une surface intégrale satisfaisant aux conditions de"i\.';;i'>nco, elle admet la courbe C pour ligne .singulière. Ce fait est analogue à celui que nous avons déjà rencontré dans la théorie des équations du premier ordre, avec les courbes appelées courhcs huégrales '(-].

3° Rnfin, il peut arriver que la droite A soit située tout entière sur la surface (il). Les équatioTis (Ij et (3) se réduisent alors à deux équations distinctes, et m\Q des trois dérivées secondes r, .«:, /. peut être prise arbi- Irairenient. Nous dirons, dans ce cas, que la multiplicité M, définie plus

(') Kii elVct. il est ficilc He vcrilitr que. pour les cooidonnccs r, a. t du p.>icit ooniiniin d la surface (fli et i la droite Jk. on ne peut avoir MJ'j- — ^rixdtf -}- Tcbi- =- o. car II, S, T so'il les piiraiiiètrcs dirocleurs du y.lSii tangeut à {ï'] et d!i\ — àrdy, dx^ les paramètres directeurs Je la aroiti- A.

(-) EquaLiotis du premier ordre, p. 19^.

hfinl, of^lwne mullrpHoitii caracténslnqv.r do l'équalion (1). Nous laissons de côlé, pour le momeTit. une queslioTi (jui se pose naturellement ici, et (|iii consisleraità rechercher s'il existe effectivemi'nl une inUrriLéde surfaces ÏTitégralcs, tangnirteâ à la déveioppableD. le long de la courbe G. Remarquons seulement que, s il existe une iulinité de surfaces intégrales de l'équation (4), dependanl d'un ou plusieurs paramètres arbitraires, ayant un contacl du premier irrdre seulemenl lo long d'une courbe C, cette courbe C, et l'ensemble des plans tangents communs à toutes ces surfaces le long de ceile courlDe, forme nécessairement une multiplicité caractéristique de "Péq-uatioii proposée.

Sur chaque surface (S) il ejùste, en général, une double infinité de génératrices parallèles aux génératrices du. cône (T). Toute équation de la forme (1) admet donc, en général, deux systèmes de multiplicités caractéristiques. Nous allons former les équations qui définissent ces deux systèmes.

23. Supposons d'aboid que le coeOicient N ne soit pas nul; l'équation (l) représente une surface du second degré (S), qui admet deux syslèniL's de générajtrices rectilignes, sauf dans le cas particulier où celte surface se réduit à un cône. Vomt obtenir ces deux systèmes de génératrices, nous écrirons l'équation (1) comme il suit, en multipliant tous les coeflicionts p;ir N.

fN"r 4- L) (N^H- H) - IvPs^ -I- 2KNs -f MN - IIL = o,

ou encore :

(4) {Nr + L] {Ni -f H) - (N. -f X,) (N* -i- XJ ^ o ;

X,, X; son» 'e* deu* lacines dt' Téq^iation du .second degré

(») )» + 2KÀ 4- HL — MN =r o ;

(6)X, =:= — K -f- vK^-IlL-l-MT^, X,=— K-v/K' - HL -h MN.

L'é^^uation (4) met en évidence les deux systèmes de génératrices de la surface i^) ; on obtient toutes les génératrices d'un système, en attribuant au paramétre m. toutes les valeurs possibles dans l'un des systèmes d'équations

, . ) Nr -h L = [^ (N« + À,), ,o> .1 N»' -f l^ = 1^ (N* -f À,), ^^f ) N« -f î^î = K (Ni -h H), ^ >* 1 N5 + X, = ,x (N/ -f H).

Pour qu'une multiplicité M , formée d'une courbe, et des plans tangents

LES ÉQUATIONS DE MONOE ET d'aMPÈRE 43

à une surface dôveloppahle passant par celte coiirbo, soit une multiplicité caractéristique, il faut que l'on puisse idenliJior les éqiiations (3) avec l'un des systèmes (A) ou (B). En identifiant, par exemple, les équations (3) et (A), on a les relations

rf.r dy dp dq

et, en éliminant le paramètre p, il reste les équations de coTidilion

:Ndq -f ).jflte -f Hdi/ ^ o,

auxquelles il faut joindre la relation :

dz — pdx — qdi/ = o.

Le second systèniu de multiplicités oaTactéristiques est défini par un système déquations qui se déduit du précédent, en permutant X, et Xj, En résumé, lorsque N nestpas nul, toute multiplicité caractéristique de l'équation (1) doit satisfaire nl\m des deiix systèmes d'équations cidessous :

I(fz — pdx — qdy = o.

Sdp -f Ldx 4- >,</!/ =r o, N</y -f l^d.v -f- Mdy = o.

Îdz — pdsp — f/dt/ =■ 0, ISrfp -f Ldx -f \^dfj = o, Ndq '[ l,dx ^Hdi/—o.

Pour que ces deux familles de caractéristiques soient confondues, il faut et il sulfit que Ton ait X, = X,; la surface (2) se réduit alors à un cône. La condition, pour qu'il en soit ainsi, est exprimée parla relation

(9) K»— llLfMN=o.

Chacun des systèmes de caractéristiques dépend d'une fonction arbitraire d'une variable. Par exemple, dans le système (7), on peut prendre pour y une fonction arbitrairement choisie de x, et il reste trois équatioiib difTeTentielles du premier ordre, pour déterminer^.j) et q en fonction de x.

24. Le rôle capital, que jouent les cnractéristiques dans la théorie de l'équation (i), tient à la propriété suivante : Etant dcmaiêe une. surface

Ai CHAPITHK 11

inléçrali' de fé<jnafio)i (t). par foui point de celte surface passe une caraclcrixfiqiie du c/mf/w st/.<ttrme, située tout en'ière sur celle surface.

PreuiMis, par exemplQ, Je systL-mo (7; ; si on y remplace dp par rrfor -|- sJij et dq par sd-r -J- tdy, ou obtient les deux c<|uations

(10^ (Nr f L) dr ~\- l'Nx -f >,; d,/ — o,

(Hj {N5 -t- >,) dv -f (NV -t 11) f^i/ = o,

ol lelimmalioii ihi ranittirl - eiihe ces «ioux relaliuiis conduit a 1 equa-

tiun

ilVr -f X) 'N^ 4- »n — (Ns -f A,l (Nv + \^) — o,

qui est identique a l'équation (1). Il en réstdte que, si l'on a une surface intégrale S, et si on suppose qu'on ait remplacé z, p, 7, /% s, t par !eui3 valcuis en fon- lion do jr oL de ^, les deux équations ilO) et (11) d<'vionnenI identi(|U08. Fdles déterininent pour chaque point de la surf;ice S un»- direction silin-e dans le plan tangent. Les courbes de îa surface qui sont tanginles en cliaque pomt k la direction correspondante sont définies par une uqualion différentielle du premier ordre; par cKaque point de la -urfaco il passe donc une de ces courbes, et une i^euie en général. S(»it C une de ces courbes, p et </ les coeflicients angjdaires du plan laiigent à la surface .S. Le long de C. .v, y, z, p^ </ sont des foiiction.s d'une seule variable, et comme on a toujours

dp = rdx -\- sidy. dq r= sdx -\~ tdy,

on peut remonter inversement des équations (10) et (11) aux équations (7j, et on en conclut que l' assemhlag>' formé par la courbe C et les plans twiiganla à la surface S le long de *! ronMitue une multiplicité caractéristique de l'équation (!).

Comme la démonstration s'applique aussi au système (8), on voit que. par tout point d'une surface inlt-grale, il passe deux caractéristiques, une de cfiaque système. Les deux valeurs correspondantes de

-.- sont respectivement

dy-

dx ■"

X, et X, étant les deux racines de l'équation (5) ; on en conclut que ces deux valeurs de -^ sont racines de ré<{uation du second degré

Nt + H) dxj' -j- -2 (Xî - K) dxdy -f- (Nr -f L) dx'^ «= o

LES ÉQUATlOiNS DE MON<iE KT DAMI'KRE ^^

(12) Rrft/» — Sdxdi/ -f T (/a;' =^ o,

H, S. T désigimnl los dérivées partielles du premier nicmhre de l'équation (I) par rapport a r, s, t respectivement.

Inversement, totite surlace, qui est un lieu do caractéristiques, est une surface inlégrale de réquation (1). Mais il faut préciser ce qu'on doit entendre par là. (^)nsiderons, dune manière g(''nérale, une famille de multiplicités M, dépendant, en outre, d'un paramètre variable À. Cliacune de ces multiplicités se compose d'une courbe C et de l'ensemble des plans tangents a une développable I), passant par cette courbe. Lorsque le paramètre X varie, la courbe C engendre une certaine surface S; mais, en général, le plan tangent à cette surface, le limg de la courbe variable C, reste tangent à une surface développable dilîérente de la développable D. De sorte que lu midtiplicilt; .Mj, formée par la surface S et l'ensemble de ses plans tangents, n'admet [»as les mêmes éléments que l'ensendjle des multiplicités M, Mais, s'il arrive que la développable, circonscrite a la surface S tout le long de la courbe C, soii précisément la développable D, alors la multiplicité M, est formée par l'ensemble des éléments des multiplicités M,, en nombre infini. C'est ce qu'on exprime en disant (pie lamulliplicité ^X^est le lieu des muliiplicités Mj. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il sullit ([ue l'on ait

la lettre o désignant les dilférenficlles prises par rapport au paramètre À, qui varie quand on passe dune multiplicité M, à une autre de la même famille.

Cela posé, supposons qu'une surface S, représentée par l'équation

soit telle que, par tout point de cette surface, il passe unecourbeC telleque, le long de C, les valeurs de a;, y, z, p, q, dx, dy, dz, dp, dq vérifient ie système (7). Alors les valeurs de r, s, t, en un point quelconque de celte surface, satisfont aux deux équations{10) et (11 j et, par conséquent, à l'équation (i), que l'on obtient en éliminant le rapport — entre ces deux relations.

25. Lorsque le coeflicient N est nul, les calculs précédents ne s'apph({uent plus. La surlace ^— ), représculfc parl'équalion (1), quand on y

CHAriTRE )1

regarde t, y, j, p, q commo des paranièlrcs et ?% s, t comme des coordonnées courantes, est un plan. Le plan parallèle, mené parle sommet du cône (T). coupe on fr^^néral ce cône suivant deux gcnéralrices distinctes ; la surface (î^) admet donc encore deti"x" familles de génératrices reetilignes, parallèle.^ à des ^énérairices «lu cône (X).

I*our former les eq^uations ditTérenlielles des caractéristiques, il suffit d'exprimer que les trois équations

Hr 4- 2K* 4- L< -f M = o, dp — rdx — sdij = o.

(fq — sdx — tda. = o,

qui sont linéaires eu r, .<?, t, se réduisent à deux équations distinctes. (>omme les deux dernières sont évidemment distincles, il faut pour cela que la première soil une combinaison linéaire des deux autres, ou que l'on ait

(13) H»' + 2Ks 4- L< + M = A {dp — rd<K — sdy) -\- B (cA/ — sdx — ldy\

A et B étant indépendants de r, s, /. Cette condition est équivalente aux quatre relations suivantes :

il -j- Kdx = o, L -j- Bdy = o, 2K -f Aaf.v + Bda: = o, "M — Adp — Bdq = o,

qui doivent admettre un système de solutions communes en A et B. Poiir qu'il en soil ainsi, il faut (jue tous lesdélciminants d'ordre 3, obtenus en supprimant ane ligne du tableau

da-

soient nuls. On obtient ainsi les quatre relations

Wdy- — "iKdxdy -f hdx'^ = o,

Hdpdy + Ldqdx -\- Mdxdy = o,

Mdx^ -f- ^Kdqdx -f Ud^fx — Hdqdy = o,

^\dy' -1- 'IKdpdy -j- Ldqdy — Ldpdœ — o,

LES ÉQUATIONS DE MOTST.E F.T d'aMPERE 47

qui se réduisent à deux relations distinctes. Plusieurs cas pouveiil se présenter :

1" Supposons d'abord (ju'aucun des coenicients H. L. ne soit nul;

les deux premières des é«^jaa.tions (14) donnent A = — — ; \i = — -—

et, en portaJit ces valeurs de A et B dans les deux dernières, on a, pour défiTiir les caracbjristiques. les deux équations

^^^^ i Udjxii/ -h Ldqdœ -\- Mdady = o,

qui se décomposent en deux systèmes distincts : dy — l^dj: rrz: o.

'*^^ 1 m,dp -f Ldq -f MÀ.rf.r = o,

dt/ — y^dœ •-— o,

HXjC^/j -4- \.dq H- U\,^dv — o,

X^, Xj désignant les deux racines de l'équation

(iH) Hà' — 2KX-I- L = o;

2" Soit H = o, L ^ o. La première des équations (44) donne A= o,

ou dx — o, et la seconde doiinc B = — —• Si on prend A = o, et

qu'on [iorle la valeur de B dans les deux dernières, on trouve les deux équations

2K.</.v - Ldx — o,

Mc/y -f- -Lciy — o.

qui définissent un premier système de caractéristiques. En prenant dx = o, la troisième équation donne A — - -j~ et, en portant A et B dans la quatrième, il vient :

"Meîj/ + 2Krfp -f Ldq — o.

(In a donc un nouveau système de caractéri;>tiques détini par les deux équations

{ dx := (I,

^ ' j }\dy -\ t\idp -f U^ = o.

Ces deux systèmes se confondent si K --:= u.

48 chapitrf: ii

3" Soit 1. =r o, H ^ o. ('r cas se di'diiil du précédenl en permutant X et y. Oa a deux systèmes de caractéristiques, en général dislincls. qui se confondent si K = o.

» "IKrfx — Wdy -^ 0,

( dy =: u, ^^'^' ) Mrf-u; -f '■iV.dq -f Wdp = L

4" Soit H — li = o. Les deux premières des équations (14) donnent \djc = Bdy =. o. li y a deux combinaisons possibles (A = o, dy = o), (B = o, flte = o) et, par suite, deux systèmes de caractéristiques, qui sont toujours distincts

. ^ ' I 2Krf/) 4- Mrfi/ = 0, ' / "iKdxi -f Mrfa: = o.

N. B. — Pour abréj^er, on a omis d écrire chaque fois la relation dz r=z pdcr -\- qdy. qui doit être ajoutée à chacun des systèmes précédents d'équation».

26. Si, dans l'un quelconque de ces systèmes d'équations, on remplace

dp pai rdj'- -\-sdy,d<f par sdx-\~tdy^ puis qu'on élimine le rapport -p

entre les deux relations ainsi obtenues, on retrouve précisément l'équation. (1). Les conséqui-ncos sont les mêmes que celles qui ont été développées au n" th. Par cIijkjuc point de toulo surface intégrale, il passe deux courbes situées tout entières sur la surface, et jouissant de la propriété suivante: l'assembla^'efarmé par l'une de ces r-ourbes et les plans tangents a la surface le long de cette courbe forme une mulliplicité caractéristique.

Les tangentes aux deux courbes caractéristiques, qui passent par un point donne de cette surface, sont toujours données parles deux racines de l'équation

Wdy- — 2Kdx'dy -{-l^x* ^- o, qui peut encore s'écrire :

K ''y- — ^ Udy -j- '\dx^ = u,

R, S, T ayant la même signilication que plus haut .p. 45) ; ces deux systèmes de caractéristiques sont confondus si l'un a

(24) K^ — IIL r. o.

LFS li'jUATIONS Di: MO.NCr, KT d'aMI'KHI': 4-9

Tnv.TSr-rm-'iil, louto r^iirrat'.t;, «jni f*st un lien lo nuiltiplicitos caractéristiques, est une surlaco intojîrale. Nous avons R.xpliqué précédemment (p i;i) K' sens prPC'S qn il faut alfnclior à colle proposition.

On reinanpifra (pu-, lorsque N n'est pas nul, les équations de l'un quelconque des syslèmes de earactéristiqnes peuvent être résolues par rapport à dp et dq: tandis que, lors(pu' le terme «mi ri — 5- manque <lans léquation (1), il y a, dans cliaque système de earactéristiques.une é(|ualion ne renfermant ni dp, ni dq.

27. Kn suivant la voie ouverte par M. Sophus Lie, pour les équations du preitner ordre, nous allons ninintenanl élargir la dédnitiou ordinaire de l'intégrale, pour donner [;lu.s de m'-énéralité à la tlieorie. (Considérons une équation de la fonr.e fl), et les équations qui définissent un des systèmes de cariietéristique-. que nous écrirons pour embrasser tous les cas,

( dz — pdx — <idy -~ o, (-5) \ V (a?, y, S",- p, q\ dx, dfij, dp, dff) ±: o,

F et F, étant des fonctions linéaires et hamogènes de f/x, dy, dp, dq. Nous appellerons intégrale de léquation (Ij (oïde^tTiiiltipUcilé cf éléments M,, fei/'.' que, par tout élrm&nt -ii: oelte wullt'p'icité. il pasise toie tnxlfiplicilé caraclérislique M,, satisfaisant aux équations (25), et dont toits les éléments appartiennent aussi à Mj.

Si les éléments de la nmlliplicité Mj sont formés pan les ponits d'une surface S, chacun de ces points étant associé avec le plan tangent correspondant, la surlace S constitue une intépralc ail sens ordinaire du mot. Kn elTet, si r, y, / désignent les trois dérivées partielles du second ordre en un poi/it de cette surface, les deux relations obtenues, en reM\pla«;ant dans les étpialions f^.'i^ '//< p.ir rd.r -\- sdj/, ^l dq par

sdx -f- ^rfy, admettent une solution connnnne en -7-' et nous avojis

déjà fait observer qu on éliminant -y- entre ces deux relations on retrouve précisément l'équation (1) d'où l'on est parti.

Mais, si la multiplicité \î^. satisfaisant a la définition précédente, se compose d'une courbe et de l'ensemble de ses plans tangents, ou d'un point et de l'ensemble des plans qui pass'Mjt par ce point, elle ne définit pas une intégrale, au sens ordinaire du mot 11 peut y avoir cependant a-aniage, dans certains cas, à ne pas négliger de pareilles solutions.

1NTK0II*T1')N> ors KOt*lll»\Si. 4

50 CHAPITRK 11

Prenons, par exemple, réipialion

où r est «ine fonction quelconque àe x, ;/, :r, p. ij. Un des systèmes de caractéristiques est défini par les équations

,/x =. o, dp -j- /Xv = •>, ^^ — p'^^ — 'i^y = ** ■»

on satisfait à ces trois équations en prenant :

x^, Vg, z^, Pq désig:na?it des constantes qii«.'lconques. Lorsque q varie, la multiplicité coractOristiquo M, décrite par l'élément {x'^,J/o^ ^cPoi?) se compose d'un point fixe de coordonnées .r^,, y^, z^ et de Tensemble des plans passant par ce point, et par la droite fixe parallèle au plan des o-j. (|ui est représentée par les deux équations

Cela posé, considérons une courbe plane (], située dans un plan quelconque parallèle au plan des .r:r, et la multiplicité M^ form«'e par cette courbe et l'ensemble do ses plans tangents : M, est une intégrale de l'équation .ç -)-/'= o. au sens étendu du mot. En effet, la midtiplicité M, formée par un point quelconque de la courbe ('. et 1 ensend)le des plans passant par la tangente en ce point constitue, d aprè» ce (]ui vient d'être dit, une multiplicité caractéristique. On peut dire encore que ré<piation s -{- f = o admet toutes les intégrales de l'équation du premier ordre .?/ = y^, «pielle que soit la constante //„.

Il suffit de la transformation de l.egendre jiour ramener ces intégrales à des intégrales ordinaires, car l'équation i/ = y^ df'vienl alors q ^=^ j/q, et la nouvelle équation du second ordre doit adfiu^ttre toutes les intégrales de l'équation du premier ordre q r= y^. II est facile de le vérifier. La transformation de Legendre est définie par les formules

on a, pour calculer les dérivées secondes r , s\ t' de la nouvelle fonction *' par rapport aux variables r', y', les relations

dq* =z s'dx -j- t'cly,