SC

àz

èx

^X , Cl,

àz

ion "bu

■^ ' àp ^ •■•''

Oa. àx

quant aux valeurs de p et de q, elles sont fournies par les relations (53) et (55), qui notis donnent

Des deux dernières formules (86), on tire, en égalant les deux valeurs ae 7— rr» I équation

CXC'j

dont l'intégrale générale est

(50) <p et ^ désignant des fonctions arbitraires ; on a ensuite

- V'â<p'(îl),

164 CHAPITHF. ITI

et, par suite,

(60) y = — V» *(f^) +Jav|/' '«)<■/«.

Fnlin, <»n a

^ àr S sVb - r' \X- ,„ .

i"enipla«;on8 ^ et r^ nar leurs valeurs ; il vient enfin

/^j ^ x^il fï^ ^ï-- — ^ — ' r/a rr «P + rr "^.

«■Il

Les formiil»'5 (59), (GO) et (61) représeptent l'intég-rale géiieialH do l'équation proposée (51). Il est facile de se dt*barrasser de tout signe de quadrature; il suffit, pour cela, de remplacer vj/ {%) par V'(a) ^^ 9 ^^) par \J^'V (jj\ et on obtient pour jr;, y, ^ Ihs expres'^ions suivantes :

z =a-'r'(xj-2aV'(a, + i>T(a)— — Tj-" '1'' (fj) -f .- P'i»' (ft) - "y-^' (62^(v= V^^ «h (f,; -f- a'r f-x) - V (.), '.r T=r 1^^4''(à)+ »ir' (ij.

Remaiiqie I. ^ On peut aussi employer la métltude de Monge pour intégrer l'équation ^"1;. Kn effet, les équations (A) admettent deux combinaisons inlégrahles

d(q-{- s 4M^7') --^ o. ^by 4- ^u H- v^i/TT ?) ^'I = o.

et on a. jjai- conséi^uenl, I intégrale inlerniediuire

AIM'I.rr.ATIONS DIVERSES 105

f élant UM«» fonclion arbitraire. Si on emploie la Iranjjformnlion de Lej^piidre, on poiit rpiriplacor cette équation par réquation linéaire

2<? + (y -f- Ai^ i- y'^) 1' =r{y f v^î^MV).

dont l'inlé^ration se ramène à celle du système d'équations diftéren- Melles ordinal reâ

du dx dz

2 y ^ ^itx -}-. y2 f {y -f- S/\X + y')

Si l'on pK^nd pour variables indépendantes y et .

,r' = làdl±±yly

on a

d.T = '^v'd^' — œdf/ — f^dx ;

et If syslènne (03) devient

/x...\ ^ i%v' — y)dx Idz

La première équation

nous donne d'abord

et il reste à intégrer l'équatiOn dinérenlielle

20^;^ = f I <p ix) ~ :> {x') \ dx'

avec unr fonction arbitraire ^p. Si on remplace d'abord (p {r') par if firj, on a

1z = \'h{.f) -^J^^''^^'{a:)dx:

x' '^ f (.'r') c/a-' = X ^ -l {x) -\-iJr ^ ^ {r,') dx ,

166 CHAPITRE m

et il surtit d»î n^inp)ac<'r -j/ <.t') para*' ' F (a'j pour n'avoir plus aucun siguo (le quadrature.

HKMAnn» R 11. — L'équation (ni) admet inie intégrale singulière du premier ftriire

\oh deiLx facteurs liiuairos eu /•, / eu lesquels elle se décompose, devïpuneut alors identiques (Cf. n" 12).

Hb.marqi'k III. — On a trouve plus haut que, le long d'une caiactérislique du sy-'^tèmc (Hl, fin a

dx dt. dx Da

et, par suite,

( ^\ tl .

les caractéristiques du système (B) ont donc leurs tangentes parallèles aux génératrices du cône

On voit, en outre, que, l*^ long d'une caractéristique du système (A), « restant constant, les tangentes aux caractéristiques du système (Bj restent parallèles, de sorte que les plans tangents à la surface intégrale enveloppent un cylindre, dont les génératrices sont parallèles à la droite

les caractéristiques des deux systèmes sont doîic conjuguées, ce qui résulte aussi du n" 74. Enfm les équations (A) et (B) nionlrenl que les projections sur le plan des xt/ des tangentes aux deux caractéristiques issues d'un point onl leurs coefticienlg angulaires égaux el de signes contraires. En réunissant ces différents résultats, on peut donner de l'équation proposée (51) l'interprétation géométrique suivante. Considérons un élément {x, y, z, p, q) ; le plan P qui a pour équation

cuupe le cône

APPLICATIONS DIVEnbKS 167

suivant tJeiix ^♦'•rtérulrices. Soil D ime «le ces géneraliices, 1 la droite «lu plan P, t»;Ile que les projections sur le plan des ry des droit*» 1) et A aient des coellicicnls angulaires égaux et de signes contraires: Jj'er/uation (Fil) txprhne que ces deux (froiles ]) et à sont fleur directions c.oi\ju<jtu'es de la ^itr/ace.

LYH|uation du premier orilre

dcHnil les surfaces développables dont les génératrices sont parallèles à celle» du cône 05;. il esl évident que ces surlacfs satisfont à la condition précédenle, caria droite D est alors confondue avec la génératr--»»,

EXEMPLKS (M

i" Jutégrer les équalions à coelficienls constants

Hr -\- 2Ks -h ÏJ — o,

Ib- -f- 2K.y -f \A -f M -= o,

llr + -2K« -h \X + M + N [ri — s») = o:

2* Intégrer les équalions

\ a;— y/ {L -f- f?7 i-r — '1 b f cq) [a -V- cp) s -\- [a -f- rpf'f = o, • x^r -j- tri/s -f- y^t r=. o, r — u'^t -f- 2«è [p T oq):^ o, tpqyr 4- \'p^y -\- qx)s -\- xpf — xy — p-q rt — s-) = o, 2(1-4- 9« W' -^'-Ifjqss f 3- •'! -1- p-) / -J- 1 -1- p» -f 7* + 2'^ [rt — Vj — o, •joqr -f- yp< — pq — vy [ri — a'^) = O, q^r 4- ^pqs ^ p'^t — a^ -\- p^q^ {ri — s^) = O. . sry -\- z —ftx — qy — o, pqs — z {rt — s', = o, q"' 'z~ px — qy) = {pf — qs) XZ, pif -j ^^pr^s ^ q'ii fx/) 4- yq\ [rt — .»') = o. (1 -I- pqi [r — s\ — ip* — ./-J / -j- p-r — qH, r (I -\- q- 4 pq' -r -f (7'^ — V'^' — ' (• -^- y'' -^ /'Vj = "> .;.r J.. t/)(r 7) + V = o, ^P ~h 7 +■ ''^l ' * -^ '^ — (* — *)' = ^ flnischenelsky'i » (a + 7) /■ -f i'i ',[i -f 7; — * i'« + V)\ •< — P {* -h P,' ' ~ •"*•

(ly J'ui emprunte un grunU aoiuhre d exemples à lexcelleat traité de Fohstth, A Irtaliic en di/jerentiul eqtiatiom.

IG8 r.HÂPîTHF ni

où

7r -1- (.r -f ;)^ 5 -|- /// -f- 7 + y (»■/ — .v*) =: o (Imscheiietsky); J" Ranienor l'^qualion

.r'»r -I- 2jr».-f + ^0;^ — ^\ l — Zz-o

à 1 équation

par une tronsformation de coiilact (Ampère et Irnsclienctsky); ^i° Ramener l'équalion

r 4- ^^ +• ir - ''') I- q^o à la l'orme

par une Itaasforuialion de contact (Ampère): 5° Ramener 1 iéqualion

-rs 4- - -f ^9 ^ «

a l'équalion

par ine transformation do oontacl (Ampère et. Imsohenelsky) ; . •>• Ramener l ('qualion

.cr -\- fp ^ or) s ■]- pt — X = o a 1.1 f'iriric

T-a' unt* Irjinsiormation de contact (Ainpere) ; 7» Ramener leqiidiion

r 4- 2^" 4- (y"'' — A'-) < — o a la forme

p?«r une Iransfortnalion de conluct (Ampèrej;

/PPLir.ATIONS DIVKRSES 169

/- [Ç -f- fl -f- xy) ç] 4. x(,-\~ <x' -{^ xy~ y) q — p - o où

à la lonne

! [r) -f- xr — /> = 0

p;i! 'ine transfonnaliou pnnctuplle (Imschfnelskyj j 9" Ramener l'équalion

à r»'-<juation

par une tiansloi-niation de conlael (Ampère) ; 10" Même question pour réquation

pt -\- \ ziri o (Ampèrr) :

?//* Ramener l'équafion

à une équation linéaire à coefficients constants, par une transformation de contact.

[On s^ seri de l'intégrale z -~ %x -\- ^,y 4- yxy, qui renfernie trois conslanles arbitraires a, (i, y] (Irnsclienetsky).

{^" Ramener l'équalion

à la forme

par une transformation de contact ( Kuchs) ;

13" Résoudre 1p problème de Cauchy pour l'équation de Laplace, en considérant les surfaces intégrales comme des surfaces de translation î

14" Déterminer les équations telles que les deux systèmes de caractéristiques iurmenl, ?ïur chaque surlace intégrale, deux familles de courbes orthogonales.

(70 CUAlMTKi: III

IS" l.» fl^lcrniinalion ilos siiiTacns, Jonl les lignes asymptotiques de l'un des systi^nu's sont situées sur des cylindres de révoluticjn uyanl le même axo, se ramène à rinlep;raiion de l'équalitm r r= ^ /L Biauohi);

16' Inlég^rer par la niétliode d'Ampère l'équation

l"' L'équalion au\ dérivées partielles des surfaces ii courbure lolale constante se ramène à l'équation aux dérivées partielles des surfaces à courburo moyciuir constante par une transformation de contact.

(O. Bonnet.)

THlîORrK GF.NÉUALK DCS CARACTERISTfQUKS (•)

Délinilion des raractérisliques. — Caraclérisliqucs du premier et du second ordre. — Caracl'jt islique? d'ordre supérieur. — Tous les éléiucnts dune earaclérislique du Séfoud ordi*» apparlieniienl, en général, à une inliniLc de surfaces intégrales. — lieUiur sur le prdblème de CaucTiy. — Kqiiafions qui adnielienl dea caracléristiquesdu preinierordr»'. - Hecherche générale des intégrales intei inédiaires. — Klude du cas cù les équations qui déterminent les intégrales intermédiaires forment un système en involulion. — Apereu du ménioiie d'Ampère.

77.ielucle du problème de Cauchy pour les équations de Monge et d'Ampère nous a conduits à une notion fondamentale, celle des caiactérisliques. Nous allons maintcnani, en nous plaçant à un point de vue plus général, étendre celte notion aux équations de forme quelcofujuc.

Soit

(1) V {x, y, z, /», 7, r, s. t) — o une équation du .second ordre de forme arbitraire el

une \niégrn\e von siuffuliére de celle équation. Sur la surface (S) représentée par l'équation (2), considérons les deux familles de courbes qui

(') Auteurs 3 consulter: A.MPi.nK. Considérations générales sur les inlégrales des équo lion!) aux ftiMéronlielles prirtielles ;./ot/r«a/ rie l'Hcolr. Fobjlechniquc, XS'II' cahier); Bàckmjm), (.efmr pur Lie/le (/i/[rrrntial;/len/niii<'feit /inherer ordnung. die inlermfdiare ersle intégral': besiUen .Mnfhrfr.iilis'^fie Av.nai''.n, i. XI et Xlll^ : Zur théorie [1er ihoruklerisLiken i/er pc/rHelirn f/i/lerrn/iali)l<'ichungen twHlrr ordnunq (IbiiL, t. .Mil): E. GoiiKSAT, Sur une classe à éqiialion.s au.\ dérivt-es p.irtiellcs du second ordre et sur la iliéoric des iritcgraleâ iiUennédiiiU-es (Acta Mnthematica, t. XIX}.

sont définies par IVquation différentielle

on on pose

èr às if

si on iniaginc que, dans IV-qnalion (3), on tiil remplacé ^. p. 7, ?% », t par ienrs expressions en fonction de .r, y, déduites de la relation (2j,

àx iij C.r- c^xdy Oy^

on a une équation difTérenti»^lle ordinaire entre les variableb x et y, du

premier ordre et du pecond degré en -f-- Par tout point de la sur-

fac»* \S), il passe donc en général dpux courbes distinctes, satisfaisant à léqualion (3). Soit C une quelconcjue de ces courbas; le long de C ^- y^ ^1 P^ 9' **( -'1 f sont des fonctions d'une seule variable indépendante (]ui satisfont aux relations

^ (^- ^1 2, P. 7. /•' *% 0 = "- R^/.V' — S(/a<y 4- To'//- — 0.

(4) ^ dz =^ pdx -f- 7c/y,

dq = .«rfo- -|- tdy ;

à ces cinq relations on peut en ajouter deux autres indépendantes de l'intégrale considérée 4» (r, y). Posons, pour abréger.

/^/F\ W , c>F . ?F , aF {dV\ W , aF , àF . aF

on a, en tout point de la courbe C, (5)

Uy/

THKOniF (iKNÉHAl.K DKS CAHAf .TKHISTIQIES I T.")

relations que l'on oh(i(inl on dilîérpntianl I équation (i). par rapporta jt et « }/; on a aussi, puisque la coui-be C a[q)ui-lient a la surface (S),

I dr - 'j.da- 4- p<y//, (G) (/v =^ ^iilr -I- Yo'y.

Supposons, afin de fixer les idées, que les dérivées H et T ne sont pas nulles sur la surface intégrale ; ulois le rapport -77 n'est ni mil ni infini, et on lire des relations (6]

"^ "^ d'y~ dy- "' \dy) '

(/t dsd^ drdx- ^ C^V dy " 'hr '^' d,f "■Kdyj

En remplaçant [i, y- ^ p<'^'' ces valeurs dans la premier** des équation? (5), X disparaît du résultat en vertu de la formule (3), et il reste

rd\~\ , c, dr ^ T fds drdcr \

Wd,j-' J{-ld.c' ou, en remplaçant b par — ~7~j

la dernière des relations (oj devient de même /dV\ , „ ds ^ di

Cela posé, appelons élétnenl du second ordre tout système de valeurs des variables [a:, y, =. y), 7, r, 5, /); on appelle muUiplirUé caractéristique ou, plus simplement, oaracférisliffuc de l'équation (J) tout système simplement infini d'éléments du second urdre, satisfaisant aux relations

«74 (HAPITHE IV

qui vieniienl d'être établies,

d: — /i//x -f v'yf/;) tur rrf.i* -|- sJy, (7) ( t/<r .— 5(/:c -|- t(/t/.

L ëqnalii'fi

possède, eu g:enéi*al. doux ladnes dislincles

dy dii

c/jL- d.c

en remplaçant àucccssivemerit <'/</ par m^dx ot par tn^^fx, on obtient deux syslèuies d'équations Unmircn par rapport aux (lifférentiolles des variables a;, //» i^, y), (j, r, sj \ de sotte (pio tonte «équation de la forme (1) possède, en général, deux systèmes distincts de raractérisliques.

Les équations (7) se réduisent, eu réalité, à six équations distinctes. Si, eu effet, ou multiplie ravaul-dernière équation par r/.r, ia dernière par dy et qu'on les ajoute, il vient

ou, en tenant compte de l'équation fli) et eu développant,

'al'' W H' DF ^F

— £ir -j- --dy 4~ — \pdx -f (/f^'y) + -r— (ra'.rr -{- sdyj + — (sdx -f /r?»/)

-f TWr + S</.v -i- 'l'<f/ — O,

c"est-à-dire t/F — o. Si on lire une des variables de la relation F = o et qu'on porte la valeur obtenue dans les suivantes, on a donc un système de six équations dilléreutieiles, qui se réduisent à cinq équations distincte», enlr^f sept variables. La solution la plus générale dépend d'une ronclica arbitraire; car. si on regarde x, par exemple, comme la variable iudépeudanlt- , on peut pr«;udre pour uue autre des variables une fonction arbitraire de a* et les cin(j variables restantes sont déterminées en fonction de x par un système de cinq équations.

THi:ORIE GÉNKRALK DES fARACTÉRlSTUjUES 175

78. Korsqu'iino des df^rivécs K ou T est nulle, les formules (7) (|ui définissciil les raracl«''risliqu<'s doivent ^-Ire modifiées. I*ar exemple. supposons que T soi» nul, et que H soit différent de zi'to ; on a un premier système de earaeférisfiques défini par les relations i7) où on aiirnit remplacé la seconde ('quation par Rdy — Sdan = o. Les équations différentielles du second systùnie sont

F ^= o, dy -- o, (h — pdx, dp = rdx. r/y = sdx, (7 his) { \dx) '^ dx "^ ^ kr - ^*

^;F\ , ^^ ds^ , c di dx dv

af)+«

I orsque R est nul el T différent de zéro, on a de même deux systèmes de caractéristiques dont les équations se déduisent dos précédentes en permutant x et y. H et T. Finfin, si U et T sont nuls simultanément, les équations différentielles des deux systèmes de caractéristiques sont respectivement

IF = 0, de ■=. o. d.z = 7»^/'/, dp =r. sdy, dq ~- Idy, / l*" =^ O, c/v ;=-■ o, dz ^=. pdx^ dp = rdx, dq =z sdx.

Remarque. — I^'s doux systèmes de caractéristiques sont confondus si ré(juation f3j a ses racines éçcales, c'est-à-<lire si l'on a

(8) S2 - \KV - o ;

la relation i8) peut être une conséquence de l'équation F = o ellemême, de sorte que sur toute surface intégralp il n'y aura qu'une caractéristique issue de chaque point. Il est facile de caractériser les équations du second ordre qui jouissent de cette propriété ; considérons, coinme au n" 2l2, a*, jy, z. p, q comme des constantes, r, s, t comme les coordonnées cartésiennes d'un point, Véquation fl } représente une certaine surface (ïi. L equalion 8), qui est une équation aux flérivees partielles du premier ordre, exprime que la surface (ï, est une surface dévelnppahledont \*> plan longent reste constanmient parallèle à un plan tangent au cône (T) représent*'' par l'équation

176 C!!\riTiti: iv

79. Appliquons «'Os géneralilës aux t'quations de Mongi? el clAmpèro

(9\ F ---r H, -f- ^2 K.* -f I7 -1- M -I- N (rt - .v-i) ^= (1,

cl supposoii«i. pour MOUS hoi-fvr au cas gcnéial, que N no soit [las nul. Les premières oqiialious (Ij soûl ici

(H 4- N/) <v' — 2 (K — Ns-t dTdi/ -f (L -f Nr) c^.>y-î = o, (11), ( rf^- = pd-JC -\- qdy.

dp =rz rd.v -|- «rf.v, rfç — : sdx -\- iJif ;

la secundo peut s rviiir

Ht/y- — ^Kd.rdi/ J- l.rfT- -j- NW.r (rrix + srfy) -f- Ndi/^sd.r -\- tdy) — o,

ou encore

(I Ij Hdy"- — 2K'jLvd,/ -\- I .rf^-' -f- N (dpdc + ^/r/^i?//) = o.

Dp méme.siou lire rel < de»; d<'ux «leruières relations (lO^clqu on porte leurs expressions dans l'^quaiion F = o, il vient, en tenant compte de la formule (tlj.

(1-2 U^pd// ~\- l.d^d.c -\- Mdrdy -\- Ndpdq =^ o ;

de sorl«' qu*" le sysième (10) est équivalent au système formé des cinq équalions suivantes :

Wdpd/j -f- l.dqd.v -t- M</r<v + Nrf/Jc/r/ = o, îl^v' — 2Kdid// -j- \Mx- + N[dpdx -f- dr/dy) = o. (I."{) ( dj — pdx -\- qdy.

dp z=. rdrr -\- sdi/.

drj = sdor -\- Idy.

Rn efTr't, si on remplace dp el dq par rdjo + sdy el rdx -{- tdy dans les équations MI; el (Itiy, la formule (11) devient identique à Ja seconde

des formules (10) el, en rliniinant —■ entre les relations (il) et (12), on

retrouve précisément l'equalion F — o.

Les trois premières des équations (13) ne renferment que les variaMes X, y. z, /), (j el leurs ditTérentielles ; nous appellerons caractéristique du premier ordre de lequalion (0; toule suite simplement infinie d'éléments

TUKORIE «i^iNKHALi: DES (.ARACTKIUSTIQUBS 177

du premier ordre (.'•, y, z, p, 7), vérifiant Ici; trois preiuièrr.': équations (13). Il est aisé de s'assurer que ces laractérisliques du piemicr ordre sont identiques aux multiplicités carucléiistiques etudites au chapitre it (')• On voit doue (|uo loulc multiplicité curictérislique du second ordre d'une rqualion de la forme (0) renferme une mulliplicilé caract«'*ristique du premier ordre, et, eu conservant les noialions du n" 2.'». les équalionsdiiïérenliellesdes deux systèmes de caracléi.i.-tiques du second ordre sont respectivement

/ Nr/;) -f L'/.r-f-X/^/ -. o.

X(V7 -f- Kc/.x' -\- Uiij/ — o, flz — pdx — qdy =; o, dp — rd.T — sdy r=z v, ^^, > dq — xdx — Idy := o.

, Tfffs df

-^^d. ^^ dv = ""•

le second système se déduisant du premier en pernmtant À, cl À,. Inversement, toute caractéristique du. premier ordre appartient, en gênéroL à ntie infinité de caractêrialiqHes du second ordre, dépendant dune cons^ tante arbitraire. Soient, en otTct, a*, y, z, p, q cinq fonction-, d'une variable indépendante a satisfaisant aux relations

I NVj3 + \.dx A^ \^dy --z= o, (15) ' \dq -\- Xjc/.'.' -f- Wdy i^ o.

( dz — pdx — <idy = o ;

• •) I.e cnjrnl peut sn fairo «le I.i f.içon suivante. P<»sons :

F, — »l'/.v- — 2K^^.'r/v -i- \.(ts" -f .\ {itf»tx -L dqâ\f) r= o. Fj = Il fZ/Jr/y + hiliiiLv + M</.r<y + ^i-tpdq =. o; (iii » :

NF.. -\- XF, — {Sftp j \.>ir -r >////} (N</7 + 11^// + hlj) — fV- f 2K.). -f lit. — MN) ilx(/^ — 0.

Si on pread successivement pour ). tes deiiK racines >., et ).■> (te I cqualion :

;*. j. iK), + IIL — MN = o,

on est conduit aux deux équations :

[>ii/p -I- \j/.v + X, <///.' N'i? + •!"'.'/ + >-i'^J^) = f>

qui se décomposent cliacuiie en deux autres. Rn associant convenablement les facteurs obtenus, ou retrouve tes équation^ du n* 'i3.

INTÉIIRATIO.N DES É(,iL-.V1IU.NS . '*

178 CHAPITRF. IV

pour Evoir une caraclérisliquo dti sorond ordre, il f«ut ensuife dc-ter- «niner r. * / .^n moyen des quatre équations ivstantes

dp — yifjc — 9(iy = o, (fff — it/u' — hhj =-- o,

it>>

qui sr réduisenl à trois relations dislinch'S. Kn eiïel, les cinq pretniôres équations J l) iMiliafnenl la relation F = o, et on a vu plus haut qu'on avait, en tenant compte des valeurs de <.h, dp, tfq,

dF = l'V^ + ••'A- Donc, ëi on lire deux des varialdes r, .«, t dos relations :

dp — rd'c — sdi/ = o, drj — fidr - tdt/ — o,

ft qu'on porte ces valetirs dans les deux équations F, = o, Fo ^= o, celles-ci se réduiront à une seule. On a, par exemple, en tirant >' cl l m roncliou de »,

o*ya — drJx — dsdy — id-x — sd^ij t- o.

~ dx

si on remplace r, t et dr par loirs valeurs dans la relation F, =: o, on et»t conduit à une équation difTôrcnlielle du premier ordre pour délerininer «, et le coeificienl de ds dans celle équation est

Idj^ — E<v« .

dx^dy '

ce Coefficient ne peut être nul, à moins que l'on 'l'ail S* — iKT = o, cas que nous écarterons tout d'abord, car telle est la condition pour que les deux équations

Kc/yî — S</.r,/// -\- 'Y de' o, Kdy^ — IV/x' — o

TKr.OKlE r.ÉNKRALE DES r.ARACTKH ISTFOUES 170

soient compatiblos, lorbcjuc R et T sont didéronts de /♦ro.Par consp({ueril, <ii on imagine x, y, s-, ;), y exprimés on fonclion «Je la variable indépendante X, t est flélerminé par une équation du proinier ordre

on aura ensuite r et t

dp — sdv dn — vc/a*

dx dy

L'équation (17) admet une infinité de solutions dépendant d'une constante arbitraire, ce qui déroontrc le théorème énoncé plus haut. On sait que l'intégrale de l'équation fH) est déterminée, si on connaît sa vahîur pour une valeur particulière de a; par suite, si les valeurs de >•,.«, l sont connues en un point de la caractéristique du premier ordre, elles sont dt'terminéns par là même tout le long de cette caractéristi(|ue. Par conséquent, ai deux sur/'oces intégrales admettent tous les éléments d'vne caractéristique du premier ordre et si ePes ont un contact du second ordre en un point de celte caractéristique^ elles ont un contact du second ordre tout le lovfj de la ciiracléristique.

80. I.cs énoncés précédents supposent que S' — tRT est différent de zéro. Des circonstances tout à fait difTéroates se présentent lorsque celle quantilé est mille ; en effet, dans l'équation qui doit déterminer .y, le coefficient de ds est nul et on a trois équations pour déterminer r, s, t, ne renfermant plus les différentielles. Prenons, par exemple, l'équation aux dérivées partielles des surfaces développables

.v2 — rt — o:

les équations différentielles d'une caractéristique du second ordre sont

dp :-- o, dq =: Oy dz — pux — qdy = o,

rdœ -}- sdy — o, sdx + tdy = o,

dr , ds ds , dt

€lx dy dx dy

On tire des équations de Ut seconde ligne

rd-.xs -\-sd^y •\dsdy

or rr —

scC-'x -^-td-'i/ 4- chdx

dt = : ~

^m cnAPiTiu- IV

el, p»> portant dans los /'quaiions «le la dernière lif*oe. il reste

r.Va- -f S(Pi/ — o, sd-.r -\- /c/'y -= O ;

en comparant ces relations aux précédenles, on voit que Ion doit avoir

y z^ s = t = o ; à moin? (|tte l'on ait

dj/ dx

c'est-à-dire à moins que la caractéristique du premier ordre considérée ne se compose d'une ligne droite. Dans ce cas, les quatre dernières équations de la caraclérisli(jue du second oidre se réduisent à deux

rdb: -}- sdy = o, sdx -}- Idy = o ;

on pputprendje pour une des trois déiivées r, 6',/une fonction aihitraire» et les deux autres sont déterminées par là même. On voit donc qu'une caractéristique du premier ordre est contenue dans «ne seule caractéristicjue du second ordre, ou bien elle est contejiue dan$ une infinité de caractéristiques du second ordre, dépendant d'une foticlion arbitraire. Prenons encore l'équation

les équations différentielles des caract('*ristiqu('s du second ordre sont

di/ = 0, dp — qdv = o, ds — pdx =^ o

dp — rdu- =^ o, dq — sdx = o,

, dr , ffs

si on connaft des valeurs de x, y, s, p, q satisfaisant aux trois premières relations, les dernière.s font connaître sans aml<iy;uilé r, x, t. Donr une caractéjislique du premier oi'dre appartient à une seu/e caractéristique du second ordre.

Lhs deux exeniplt"^,(jue nous venons de traiter, montrent bien la nécessité d'étudier ii part les équations aux dérivées partielles, pour lesquelles les deux systèmes de caractéristiques sont confondus.

Këmaiivce. — Les éijualions de Mon<^t^ et d'Am|)ère ne sont pas les seules qui admettent des caracléristique^ du premier ordre. Cette propriété appartient aussi à d'autres é<piations que nous définirons plu» loin.

TfIKOniK IIKNKRAT.F MHS CA R \r.| KniSiforiKS 181

81. On petil aussi ('«msidérer <Jes Jérivéfis •lim onJre qm-Njonquo, «-t la suite «les valeurs qu'ell<»s prennent le long d'ime caractéristique. Prenons, par exemple, les «lerivées du troisième onlre

P30- ;,;^3- Pï. - ,s^-..>,/ />.-.. -- ^v-^,^' y'o.i == ^',

nous appellerons âtémettt iIh troisihne ordre tout système de valeurs pour X. .y, z, />, 7, r, .?, ^ />;,„, P2i,;ïi3, ;»„:,. Plus crénéralement, désignons par P//1 la «lérivée

nous appellerons élémmj/ rfav^t'c n t<»iii système de valeurs

{.r. y, ;, JD, '/, r, .Ç, /. ;7,o, ... /i„o, />«,., ... p„J

attribuées à x.i/, z »'t aux dérivées partielles de z, par rapport à.n^l à y, jusqu'à l'ordre n inclubivement. Quand on .se déplace le long d'une caracterjstique, la suite simplement inlltiie d'éléments d'ordre n est une caractéristique de l'ordre n. On établit les équations différentielles d'une caractéristique d'ordre n, comme on a établi les équations d'une caractéristique du second or<lre. Bornons-nous, pour [)lus de simplicité, aux caractéristiques du troisième ordre. Nous emploierons, pour abréger, la

notation suivante : appelons -— la dérivée seconde de F par rappt^rt a

X, celle dérivée étant p rise en regardant s comme une fonction de a? et de ^ , e\ p, 7, r, s, t, comme ses dérivées partielles du premier et du second ordre, et posons

(-T— r-jel (t-j) ayant des significations analogues, on a les trois relations

18Î CHAPITRE fV

duillcurs, <)i u aussi

si on lire de tes relations p.,,. jv.., /),y et (|uon les porte dans les équaliujis '18), elles deviennent, en tenant couiple de la relation (3;,

t/^-/ d.r ai/

On obtient les équations différentielles d une cara»térisli(]ue du troisième ordre, en ajoutant aux équations (7; les relations (I9i et (20;

ifir - ;)3ur/a7-f pj, dt/,

Lesbix équations que l'on ajoute ainsi aux équations (7) se réduisent, en réalité, à quatre équations distinctes, de sorte que Von n'a en tout qu*' d»\ équations entre les douze variables ar, f/, z, p, y, r, «, /, .":»«> P-ii. P^t^ Pmr 1'^" effet, si, dans les deux deniièrcs équations (7), on I cniplacp ilr, tf», dt par les valeurs (2(>), elles deviennent (c'est le même ' njcul qui a été fait plus haut (n" 77)

Fi = (^-) + Hp,, 4- S/îj, H 'l>.2 - <■'•

ï'a ■--' [jj;^) -(- ^^Pii -h ^i>u -I- ''>o3 = ^;

d aoîre part, si nous multiplions la première équation (10) par ?6?, la seronde par cfi^. il vient

et on 0. de même,

dV\ -- L', (/a -K Uj c/»/.