THÉORIE OÉNÉRALF LES CARACTERISTIQUES

Par consequenl. les équations (1),joinlesaux équalions(^0;.enlraineiit les suivantes

IT, rfx -f- U2 fil/ - (., IJ, tf.X -|- U, d'J ■= n.

ve. qui montre ((ue doux des relations

sont une conséquence de la Iroisirme.

D une manière générale, on obli«'nt les équations dilTercTilielles d'une earacleristiquederordie /', en njoutanl aux équalionsdiffôrenliclles d'une caraotérisli<|ue d'ordre n — ! les 'in «'quations suivantes

(21) / \7.;^^f'^^^^~dir^^-~-d;, -=''''

l \du"-*f ~ dx ^ dtj

! dp^. „-, — Pp ,, dx -\- p^„ dy:

on démontre, comme plus haut, que ces iln équations se réduisent en réalité à (« -{- 1; cqiialions distinctes, en tenant compte dos précédentes, dcvsorlequt' le nombre d<'S équations diiïprenlielles d une caractéristique d'ordre n est toujours inicrieur de deux unités au nombre des variables qui y lio;unMit.

Kn reprenant les raisonnement? du n" 7P, on démontre de la mérne façon les théorèmes ci-dessous qui sont une généralisation des précédents:

Si S- — 4HT n'est pas nul : l' une carwlêiustiquc d ordre n est renfermée dons une in/inùr de carncicriaiiiiws d ordre. /» f- 1, dé/tendtint d'une ronslanlc arbifruirc ;'i" une r.aranlér-î^lirjue d'nrdm, ti eut renfermée dans un^ infinité de car'i<:féti'sli.ques d ordre n -f- r, dcfn-ndnnlde r constanks arbitraires: 3" si deacr sar/ncfts inlégralfs: ont çn "Oinman luttu tes èlcnrienls (f'nne e.araeLérisfiqne du second ordrr, ei si elles on' uii cOitlucl d'ordre n en un potnl dereiic caractcrùliifw, ^U.esoni un conUict d ordre n ioitt te long de la Citraetérisd'fue.

181 CHMMTnr IV

Lorsquf S- — iKr:=o, les conclusions ■«ont lout'^s cliiïcrcntos. Sans cnlrcr ici dnns l'i'xanii-n «li-laillr de ce oas. jo m«' bornerai à faire i>'nKir(|iirr qu'";* f/em'rat niw . .ii'aolr.rislituiH ildrdre v ost alovs con tenue dans une «eule r;iru(.t«'risliqnt' d'ordrt* // -\- 1.

82. Notts avons maintenant U nous oceuper d'uiic question importante. Klanl donnt-e une caraetéri<!fiqnH «lu second ordre, pour laquelle S- — IHT nVsl p:is nul [ca-i aiiqtiel n<iiis nous bornerons d.'sormais"), exisl»'-t-il d«'s surfaces intégrales, admeftant tous les •'•léments de cflle caraclérisliqne? Nous avons laissé docôlé l'examen de ce problèm»* an n" 16; si l'on veut appliquer la même nirllindy qui a été snivie à ce ])aragrapbe, on a, pour déttirminer les valeurs des «ii rivées successives en un |)oint delà rîiractéi'ibt'qiie, uîir; s-iit^ de syslèmcs d'équations linéaires, (pii S'<nl on inconTiputibles on indéleî'milU'S. Il résulte de l'étude que nous venons de faire qu"// 1/ a io'ijouvs inilètennioalion ; en effet, la suite des relations qui existent entre les valeurs des déiivées successives en un point de la earaclérislique est identique, en réalité, à la suite formée par les équations difféienlielles des caracléristiipies successives.il suflil. en etTet, de réfléchir un moment à la fui^on «lont on a formé ces é(pialions diiTércn'ielles. pour reconnaître, que chacun des deux systèmes d'équations entraine l'antre. Or, nous venons de voir que, dans les équations des caractéristiques, on peut pivudrc arbitrairement la valeur d'une dérivée de chaque ordre en un point. On [leut donc former une infinité de séries entières. d«';pcndant d'une inlinité de constantes arbitraires, qui satisfont /*orjwé'//c?/?<î/j7 à l'équation pro[)Osée 11 reste à démontrer que l'on peut toujours choisir ces constantes arbitraires, de facjon à obtenir une série convergente.

Nous nous appuierons pour cela sur le théorème suivant que l'on va d'abord établir |'j: Soit

iint: 'qualiru du second oi-dre où le second memltre. est holomorphe dans le coisinage des valeurs x^, y^^, s^. ^>„ , q^, ?(,, ^g, des variables ■*i Vi ^t Py ^y i"-, f > soient a» \x'j <:t •!/ [y) deux fondions holomorphes dans fe 'bjrnaine d^s points x^ et y,,, respectivement , et telles que Con ail

«p 'a^o)= -0' r' (-^oJ ~ A'o' ?" '^0^ = >'o'

{').rai énoncé «e ttiéorémr et indiqué r;i|ii(lciiieiil lu ijeinonslralion rJnns une note présentée à l'Académie dc8 Sciences (Co////y/»',v reiidus. t. C.XX. 1" .jvril lSi».4. p. Hi)'

THÉORIE GK.NKRALK 1»ES CAI« ACTÉRISTKJUES 185

Si, en outre, les deux dérivées nnrfielli'.s ~ ■> -- sont nulles pour '-en

cr ?(

vnleurs i,n'liafes. réjiutition [%\) adntcf mie ùifét/ra/e holomorphr dons

le voùùnngc du point [x^, »/„), xe rédnisnHl à o (r) jujur i/ = y„ et a -l (.v|

pour :>• = .r„.

(^11 no (liniiiiuo pas la <;éiu'ralilp du tlipoivmr» en supposant

'^.. --• .'/,» = -•.. -~- ;>u --- Vo = 'o " ',. =-- •\ ? (■'^') = o, J/ (y) -. o,

car il siiflit dr i-emplacer jc, i/, j, par .r^ -[- .r'. ?/„ -j- >/',

respectivement pour èfre ramon»^ à co cas. L'éqnalion (23- est alors de lu fûrine

s = a -{- hx -\- cy-\- dz -f gp -^ ffj -^ •••

les termes n(m écrits étant d'im deyre supérieur au premier; on penl aussi supposer que le terme a est nul. car, si on pose z = a.v^/ -j- z'. ce terme disparaît. On peut donc écriie Téipialion (23^

(24j .V = bx + ey -f- dz -f ep -f ///-}- ...,

les termes non écrits étant au moins dusocoud degréen.r, y, z, 7), </, >•,(. Si cette équation admet une intégrale liolomorplie se réduisant à zéro pour c = 0 et pour y =: 0, on pourra calculer les coefficients de proche en proche par les seules opérations d'addition et de multiplication. Kn effet, tous les termes qui contiennent o- seul ouï/ seul sont nuls par hypothèse,

et on a aussi | r— r- ) = u.

Nous connaissons déjà deux des dérivées Iruisièmes ( '-^ ) et ( t— 1 ) :

«n di(T»;renliant les deu.x membres de l'équation (:ii) par rapport à a; et à y successivement, on en déduira :

^z \ / c^cr

M^t CHAPITRF. IV

puis, on calculera les dérivéos quatrièmes :

W'^vV W^yVJ Vdx?yV,

el ainsi de suilo. On n a jamais dans le second membre (jue les valeurs dC'S dcrivccs déjà connues, rar les ooeflicients des dérivées du même

ordre que celles que l'on veul <-aleuler sonl T7 ou — ' (.ocflicieuls qui

sont nuis pour les valeurs initiales.

Pour démontrer lu convergence du développement ainsi obtenu, on peut donc cm()loyei- la méthode des fonilions )najoraulcs. S4ippusons que la s^rie du second membre de léquaiion (*ii) soit converj^onle tant (|ue le module de chacune des variables x\ y, z, p, q ne dépasse pas p et que le module de r el de / ne dépasse [»as B, el soit M une limite supérieure du module de F" (a;, y, z. p. <y, )•, l) dans ce doniaine. I.a fonction

est majorante relalivoinenl a la fouclion "F i.r, y, z, p, q, r, /;, car les coellirients de /• et tic /, et le terme constant, sonl nuls dans les deux séries. Si donc on cherche à déterminer une intégrale de léquaiion auxiliaire

^io) X =:; V a-, "y, z, p, 7. r. /)

qui soil nulle pour x — o el pour y -- o, les coefficients de la série obtenue seront tous positil's et plus grands que les modules des coeflicients correspondants de la pÉeni'"re série obtenue, »>n partant de l'équalioii ^4

1^ convergence de ce nouveau développeiuenl sera établie, si ou montre qu^ léquaiion (2o^ admet une intégrale lioloniorphe dans le domaine de 1 origine, représentée par un développement «n série dont tous les coefticienls sonl réels el positifs. Caries coefficients Je celroisième dévcloppemenl seront nécessairement supérieurs aux coeflicients correspondants du second, puisque les coeriicicMl.-5 des teiuiC"; en a^" el en y*" sont supposes positifs, et que les autres se déduisent de ceuxlà par voie d'addition et île multiplication. Finalement, tout se réduil

THÉOHIK GI^NKKAI.K DES CAKACTÉRISTIQUES 187

ù établir <|ue réquaiioti auxiliaire i25;

('-^^""r^'^Jl'-nT)

admet pour înté^jrale une série mljère ronvei'gente, doiil lous les cof ffi jienls sont r»'els cl positif!;:. C-liorchons, pour cola, à satisfaire à cotte ^quatiou, en prenant pour s une tonclion de x -f- y = ?<; cette équation devient

qui peut encore s écrire:

en posant

Si on développe le second membre en série, on a une série entière, dont tous les c-oefficients sont positifs; soil

^ (-■' "' à) '^ ^' + ^"^ -^ ' Vu +

uc dt'veloppemeni. Lé<jualioii (2G) admet une intégrale holomorphe dans le «lomaine de lori^ine, se réduisant à zéro, ainsi que ses deux premières déiivéus. jiour u = o. Les eooflicients suivants se calculent de proche en proche ; on a, par exf'uiple

Il ^ 2;^ . - I ^l t. f, "r ' ... iu* ?«? ^le^ -t- ^f i ^ ^3 , -r

Ce qui montre que ( -^ ) esl positif. On a ensuite

— . rr- iA T-3 ) -1^ iA — , — T 4 ' -h

188 r.llAriTRK IV

Pi, paroonsoqiu'nt, (^^) •'^l enoorp p<\siiif: en rontimiaut ninsi, on

voit que tcus les roefticients sitcrosçifs do ce dévoloppomeni soiil positifs, et df là résultp roxartitude d«i Jiit'ori'nîe énonc»* plus lioiif. (p. 184).

83. Poiirapplif|uoi <<^ linVinnio à la lliéoricdescuraotrrisl'cjues, nous stjpposcrons qu'on a olT<'Ctué, comni<' au n" 17, une transformaliou poncUicIle de telle façon «|ue la inulliplicilt' poncluelle à une dimension «pii est contenue dan.<î celle caracléristirpie se réduise à l'axe des .r. Les LUjualions finies de la caraclérisilitpie considérée sont alors de la forme

si (»n iait le cl«ang«n»enl. de variable

les équations finies de la cara<trrisli(|ue deviennent

c'est sous cette forme simple que nous allons les conserver. Soit

F (rt. 1/. z. f), q, r. s, l) r=. o

l'équation aux dérivcespartielles correspondante, dont nous supposons le premier membre holomorpliedaiis le voisinag-e des valeurs

l'équation différentielle des caractéristiques

Kr/j/- — S'^'jîf/y -L '\(lx^ = o

doit admettre la solution dy =z o pour l'orig'ine, et, par conséquent, T doit être nul pour ces valeurs des variables. Comme, d'autre part, nous n'étudions que le cas où S* — iKT n'e.st pas nul, il s'ensuit que S n'est pas nul pour ces vfdeurs, et on peut résoudre l'équation aux dérivées partielles par rapport à s. On peut donc prendre^ cette équation sous la forme

s — ar -)- hy -\- cz -\- dp + eq -\- fr -f ...

TiiJioiHi: (ik.m;i<alk dks cAirvcTKiusTKjrEs 189

loslernics non écrits élunl d undegn- supc'ricur .m prcinior ; il n'y a pas . de It^rmc du pr(;niicjf degré on /, pni.scjui' la dérivée T doit éln- nullt; pour l'origine. Une dernière lransf«)imalj()n simple, »pri (consiste a remplaeer x par x -\- ///, ce rpii ne change pas les équations de la caracléristiipie, permet de faire disparaître le coefficient /', et finalement nous avons à considérer nne équation de la forme

(•28) .V — «1» (.r, //, z, p, q, )\ i) -- (IX -\- h,j -\~ cz -{- dp -f g^ + • •

où les termes non écrits sont de degré supérieur au premier, etji laquelle on peut appli(juer le théorème démontré au paragraphe précédent, lîlxprimoiis d'abord que les ë(pialions {'il) représentent une caractéristique : les équations des caractéristiques so réduisent ici fn" 78) aux suivantes

On voit donc que la série entière <1» [x, y, z, p, q, r, t) doit contenir en facteur dans chacun de ses ternies une des variables y.2,p. q,y,t,

et il doit en être de mén;e de — et de -r-, c'est-à-dire qu'il ne peut y

avoir dans le second membre de l'érpialion (1'^) aucun terme en x" , ni en iix'\ ni eu fx". (]os conditions sont d'ailleuis sutlisantes ()our que les formules ["Il ■■ définissent une caractéristique de l'écpiation (28;.

Cela posé, soit •]/ i//; une fonction holomorphe dans le voisinage de loriginc, nulle, ainsi que ses deux premières dérivées, pour y = o. D'après le théorème démontré plus haut, il existe une intégrale de It'qualioJi proposée, holomorphe dans le domaine de l'origine, se réduisant à zéro pour y = o, et à^ (y) pour x =^ o. Nous- allons montrer que le df'veloppenieut de cette intégrale en série entière ne contient aucun terme du premier degré ni du second degré en y, quels que soient les coeflicients de la fonclioii •!/ [y). Employons de nouveau la notation

l'équation (2Sj peut s'écrire :

;>,, = 't> 'x.y, z, j),o, p^u^ Pio. Poï)» et on a, en dilTérentiant par rapport ;» // et refnplaçant p^ , par sa valeur : M> M* M> ^4* >!>

i. (/ lo W'iu '/'oi '^l'io Wi».'

190 CHAPITKE IV

(3 après les condilions initiales l't K'^; conditions anx<|uelles satisTait la fonction •^, on voil que p^^ cl ;),3 soiil nuls à l'orij^int'. Nous allons montrer t|ue, *\ toutes les «K'i ivi'es p,,, p,j, où l'inilice i est inférieur ou égfRl à n, sont nulles à l'orifjfine, il en est Je tnèiiio d»!S dérivées suivantes f),^,., et p^, ,2. Ru eiYet, tous les termes du développement de y),, conlieniii'nt t'u farleur une des variables >/, ?. ;î,„, ;'„i'P?o' A'02 » après avoir dilTert-nlie -r? fois pai" rapport à r, clia<|»e terme du résultat sera divisible, par une des variables précédentes ou par une dérivée de la forme p/„ ou de la forme

P'.n Pli

l'indice i ne dépassant pas n: par suite/),,*,, , sera nul aussi. De même, dans /),2, si l'on fait abstraction des termes

lous IfS autres termes contiennent en facteur une des variables »/, r, Pio' P-20^ P')i ^^ après avoir diiïérenlié >i fois par rapport h .r, tous les résultats partiels seront nuls, pour la même raison cpie tout à l'heure. Les seuls termes qui demandent un examen particulier provieiinenl de

quand on dilTércnlie ii lois par rapport à j; le produit

fous les termes coiiliennent en facteur une des dérivées

et le coenicient de p„i2 > ^*^* 1 '■'^* dérivées ;>*,•.. p„ , sont nulles

par byputlièse pour l'origine, nous venons de voir quep„ + |., l'est aussi, vl le coefficient r — lest ét^alemenl.

"Enfin, la dérivée r — salisfai» »*}% mêmes <^onditions que la fonction 4^ ••Ile-même, c'est-à-dire que chacun de ces termes contient en facteur

THl':«)RIK Cif.NKRAU-: DES CARACTÉRISTIOUHS 191

une des variables y, -, P^q- p,){-, ;>2o- Vn '< ^" P^"' donc rrpéter pour le produil 7 — /îflj le raisonnement qui a clé fait pour la fonction 1>.

Les tlérivée» /),, et p^,^ étant nulloRa l'orij^itàe, on démontrera de cette façon, de proche on proclie, qu'ï' en est de même de toutes les dérivées surr<»ssiveâ p„,^ et /),.j. L'intégrale satisfaisant aux conditions initiale» données ne renferme donc aucun terme du premier dogré ni du secon»! <lc'gro en y, et, par suite, les dérivées /), y, r, .<?, / sont toutes nulles pour y -= o.

Nous pouvons, parcon'^éqnont, énoncer h; théorème suivant: Toux te a éféments d'une caradérislique du aecc/nd ordre pour faquelle S' — IK T n'est pnx nul] apparliennenl à une infiniiè de aurfacea 'intégrales^ dépr.n' dant d'une ivfiailé de conslanles arbitraires. (]os conslanics arbitraires sont précisément les coeflicients de la série entière rj; (y), qui sont assujettis h la seule condition de rendre celte série convergente. On peut toujours prendre arbitrairement les 77 — 2 premiers («étant nussi grand qu on Je veu1),et choisir ensuite les autres d'une inliniléde manières de fa^on que la série soil convergenle. Or, les valeursdesTi preniièresdéri vées partielles à Torigine ne dépeudei'f oiu; des n — 2 premiers coofficienls de <f \y). Par suite, étant donnée ime surface inlégr.ile qui i-enferme lou^ les «déments d'une caractéristique du second ordre, on peut en tT<»uver une infinité d'autres, dépendant d'une infinité de conslantes arbitraires, qui ont un contact d'ordre n avec la première tout le long de celle caractéristique.

84. f.e théorème du n"82 peutélrè présenté sous une forme plus générale. Soient C, (''deu\ courbes quelconques, ayant «m point commun O, sans être tangentes en ce point, qui est supposé un poiiil ordinaire pour <'hacune d'elles. Proposons-nous de rechercher s'il existe une surface intégrale <i'une é<piation du second ordre

«jui passe par les deux courbes C et C et qui soil représentée par un développement en série entière dans le voisinage du point 0. Si cette surface existe, le plan déterminé par les tangentes aux deux courDes est nécessairement le plan tangent; ce qui fait connaître les valeurs des dérivées p ei q au point O. Pour avoir r, .v, /, représentons par les lettres d et S les difTcrcntielles relatives aux deux courbes C. C respectivement ; ces courbes devant être situées sur la surface cherchée,