CIIAriTHR IV
on a les deux relations
d^z — p'I'x 4- q<Py -f rdx- -1- -2.sv/,rrf// -f khf, 0-.- =r^ j)5'.»' -j- '/B^y -|- ro i" -f- '5»oa;5^ -|- toy^.
qui, jointes à l'équation (2îV), déterminent ;■, .?, /. On connaît donc, parla même, rélémcnl du second ordre de la surface cherchée au point 0 et, par conséquent, les directions des tang-entes aux deux coractérisliques de celle buriace qui sont issues du point 0 ; ces directions sont données par 1 équation du second degré
Rr/y2 Sdxdy + 'ïd.c^ = o.
Nims allons nous borner au cas où ces deux tangentes coïncident avec les tangentes aux deux courbes données C et C ; ce cas ramène à celui qui a été traité plus haut, imaginons, en elîet, que nousayons prispour axes des x et des y les tangentes aux deux courbes C,C' respectivement; les équations de eus courhes seront de la forme
U — 5- '•'-) - <J ; ' 2- — ^, (yj — o ;
A/",, 'f. ï-, désignani de? séries qui commencent par des termes du second degré au moins
r. {i/j = «,y' + ô,^^+••• Faisons la transformation
y ^=y — fi^'j —■ y — ■^x^ — fu-'...
on tire Je ces formules pour x et y des fonctions holomorplies de x et de y'. L'équation (29; est remplacée par une équation de même forme, et les courbes C et C sont remplacées par deux courbes planes situées respectivement dans le plan des xz et des yz. Soient
z =: 'U (x'), z = >r yy'\,
les équations de ces deux nouvelles courbes, et
THÉOniI-: Til^WKRALE DES CAR.VCTKRISTIQL ES 193
la noiiveUe «équation du socorul ordre; comme iiiie Irmisformation ponctuelle ne clmng-u pat; r«>quati<>n dilTérenlielIo dns caractérisliques, un doit avoir pour lu tiouvdle équation
a I ongnie des coordonnet's; pur conséquent, rr "e peut être nul, el,
en résoIvniU In nouvoUe équ»lion par rapport à v', elle est de la forme
Mous sonimes donc ramenés au cas qui a ete traité au n" 82, et nous pouvons énoncer ce ihéorpuie : Ao/'ç^/^o A'*- deux courbes C el C sunt taxyenten res})t'vù>H'menf aux deux carwsléristiques issues jln point cominitiK il cj^i<;tc urvi surface inU^grale el une seule passant par ces deux courdcs et représentée par ini dei^elnppemenl en série entière dans le voislnuf/e 'M point O.
Si ruM>? de*^ courbe? C appartient à une caractéristique du second ordre ayant r«''l»Mu<nl tlu second oïdi'e déterminé par les deux rourlies C, C au point <>, celte courlu' C est une caractéristique do. la >;nrface intégrale qui passe par les deux coiuLxs. (À'Iie pro^josilion «^st identique, au fond, k celle qui a été énoncée plus iiaut (n'^Jl k laquelle elle se rameur* par les mêmes transformai ious
l'iufiu. si les deux courbes (', C aj)|»arii«Mm(;iit à deux caractéristiques du second «irdre, ayant un élément conunun du second ordfe au point <>, ces de«x conr'.jcs sont des caracléristiques de la surlaco intétfralc ipi't'lles déterminent. Donc denx <-cnactéTis>ù/ues du second ordre, apparten.ant à deux systèmes différenls et ayant un élément commun du secoitd ordre, délermin.Tit une surface intérfrale et une senle.
85. Kn appliquant ces lliéorèmes aux équations de Moiig-e et d'Ampère, pour les(jucllcs les deux systïMoes Je caractéristi<]ucs sont distincts, on arrive it des énoncés plus particuliers. Toute caractéristique du premier ordre appartient à une inliuit»' de caractéristiques du second ordre, dépendant dune constante arbiiraiie (n"7U); par suite, tous les êlénie'nls d'une rara'Hérisliqne du premier ordre apparhemient à une infinité de sTirfaces intégrales, dè^wrtdard d'une infinité de constantes arhdvaires. ISfais ou peut cIioïsh arUitrairrment lu valeur d'une dérivée parLiello du sectmd ordre en un [oint de cette caraci/>!lsti<jue, d<; sorte que l'indéterminalio]! se matiil'es,te des le second ordre, l.mdis
U>li:OllAll(i.N hKS tH'.IATJiJN'-». i'i
194 CHAPITHK IV
(jnello nt' ctMunuMïoe tiuaux »l('iivi'e.s du Iroisi^me ordre pour nno c^jualioii de l;i foim»' la |)liis g.'iK-rale.
Considérons dpux caractéristiques du premier ordre, appartenant à deux systèmes dilîcrents et ayant un cU-nient commun (j-, y, 2, p, y); soionl
i dz — pdx — (jdy = o. / Iz — phx — r/Zy = o,
^A) •; N<//j -f- \J3'. -f- ),,</^ = o, ^ï^ \ N5/) -f ï'^-^' -f >^2«.V =^ <>i ( Nt/ç -t- X,^.r 4- Ho'y = »>; ( NS</ -I- >,o.<.- H- my - (.,
les équations dilîérejilieiles de ces deux sNslènies de raractérisiiques. l/élément du premier ordre commun est compris dans un élémcnl du second ordre (a-, y. z, p, 7. r, s. /\ où j\ v, l satisfont aux cin<| équations
F = o, dp = rdx -{- .'<dy . drj=.s(f.r-\- !dy, op=^rù.r-{ sZy, h/=s-^x-\' 'Zy.
Ces relations s<* réduisent à trois équations distinctes, car les équations fA), jointes aux relations
dp = rd:r -\- sdy, c/»/ = sdjc -|- tdy,
entraînent Ja relation F =; o in" 24), et celle relalion est aussi une conséquence des équations (B) et des relations
Zp := rZx -j- .sov/, 07 := ihx ■■{■- t^y.
Donc ces deux caractérisliïjues du premier ordre appartiennent respectivement à deux caractéristiques du second ordre, ayant un élément commun du second oidre. En rapproclianl celle remarque d'une des propositions précédentes, on en conclut que deux caractéristiques du premier ordre appartenant à des systèmes différents, et ayant un élément commun du premier ordre, détermineni une .-turfacc intégrale et uue seule.
86. I.cs équations de Mon^e «'t d'Arnpèrp jouissent, comme on voit, dune propriété parliculierc. Klnnt donnée une surface intégrale et une caractéristique sur cette surface, il existe une infinité de surfaces intégrales ayant un contact du premier ordre avec la première tout le long de cette courbe; on peut choisir arbitrairement pour ces nouvelles surfaces, la valeur d'une dérivée partielle du scî'ond ordre en un point de la caractéristique. En d'autres termes, il existe des multiplicités M, d'éléments du premier ordre qui appailiennent à une inllnilé de sur-
THÉORfF. r.ÉNKRArK DES CARACTÉRISTIQUES 195
faces iiil^gral^'s, la valeur dune dérivée du second ordre pouvani rire choisie arbitrairement en un point de M,. Nous allons examiner si celte propriélé appartient à d'autres équations du second ordre. Soient
une équation du second ordre, et
les (-qualions d'une multiplicité M,. Les valeurs de r, ?, t en un point de cette multiplicité sont déturmiiiées par les trois équations
(32) F — 0, dp = r'jfii; -f sdi/, dq = sdx -\- Idy
qui admettent, en général, un certain nombre de systèmes de solutions, II peut même arriver, si la fonction F est transcendante, quelles admettent une infinité de systèmes de solutions. Nous cherchons à quelles conditions une des troi« dérivées r, 5, / pourra être choisie arbitrairement. S'il en est ainsi, en tirant deux des dérivées >•, s. l des dernières relations, et portant dans léquation F =^ o, il faudra que l'on arrive à une identité. En écrivant ceci, on est conduit à un certain nombre «le relations entre x. y, ^, p, 7. dx. dy, dp, dq. Plusieurs cas peuvent se présenter : 1* il peut arriver que ces relations soient incompatibles (c'est le cas jj^Z-néral ; ; 2° il peut arriver que l'on trouve une ou plusieurs conditions lu* renfermant que cr, ^, 2, p, 7; 3" il peut arriver (|ue les équations de condition reid'ermeut toutes quelques-unes des dinérentielles dcc. dy, dp, dq et, dans ce cas, il pourra y avoir deux ou trois relations distinctes. <Nir elles sont forcément homogènes en dx, dy, dp, dq.
Géométriquement, les résultats s'interprètent comme il suit. Regardons encore x, y, ^, p, 7, dx, dy, dp, dq comme des paramètres, et r, s, t comme des coordonnées courantes. Les équations
^ ' I dq = sdx -f (dy,
reprcsenlont une droite parallèle à une génératrice du cône (T: qui a pour équation
réquation (30} représente une surface (S), Pour (|ue l'équation obtenue en éliminant deux des dérivées >-, v. t entre les équations (30)
1% CUAi'lTKK l\
e\ i'.y.i' se réduiso î\ une itlenlili!, il fauJ «l<mi' (|iw h\ surface (-) odmelto des {^fénéralrices rottiligiies parallèle'; ;i celles du cône l i Si !a foiic lion F {x, //, z, p, q, }•, s. l) est arhitiair*-, il fsl clair «]iie ccia ii'jiura jamais lieu, quelles <]uo soient l«'s valeurs des |»aratn«treh .>;, ,y. .»■, /», </. delà pcul aussi arriver si ./, //, r, ;>, f/ vériliont certaines conditions. Enfin, il peut se fairf que, (piels «pic soient r, ?/. z, p, >/, la surfaeo 1, admette des i^énéralrices paralli-lcs à cclieâ du cône H' ('c <as se subdivise lui-même en deux autres, suivant que ces f;cnéia'nce-i l'onnenl un système continu ou imn. Dans le picniier cas. il y a deux relations distinctes entre .r, y. z, p, 7, dx, dy, dp, 'h/ pour que la droite, représentée par les é(juutii>ns iM'J), appartienne à la suri'ace li]), qui est alors une surface réglée admettant le <;ône (Ti pour cône «les directions asynq»luLiques. Si les fj^énéralrices reclili^Mies «Ir- l'il), purallèles aux génératrices du cône (T). ne fj^rment pas nn syslèiue i-onlinu, les puramètr«'s j:, y, c. p, q,d.i\ dy, dj), dfj doivent vérifier li'ois lelations distinctes.
Nous appellerons cnrnrh'ristùjuc du premier or<Ix<> loni.e multiplicité M, d'éléments du premier ordre, telle que i'?s équa-tions i'.VÙi oi (.'W; se rcduisenl à deux relations distinctes.
Ou deiiionlrera comme plus haut 'n'TO; que toute caiactérislique du premier ordre appartient, en général, à une iidinilé de caractéristiques dn second ordre, dépendant d une coubtante arliilraîrc. En effet, si 3c, y, z, p, (/, sont les cooi'donnees il'un élément d'une ca.r;u:léristique du jiremier 01 die, les relations :
dp =: rd.r 4- sdif, dif — sdti: 4 tily,
entraînent, d'après la deîinition même, i'equaliou T o. On a aussi
W'fir ~- ^d.ci/i/ ; 'ïdr- -. o:
c.ir, d'après la repré»eutuliôn <<eoniéii iq-ue employéi-. (iy\ — dvdy, dxsonl k-s parainèires diiecteuis de la droite {^X.\\, It. S, T sotil les coefHcienls directeurs »lu plan tun^^Mit a i:j ; el la relation qu'il s'agit de veriiier exprime simplement que la génératrice e.st située dan.s le plan tan^^ent. I.e reste du raisonnement s'achève eomme au u" 79, une exception ne pouvant se produire (|ue si S"^ — 41M' esf nul.
Tout ce qui a été dit des caraclérisliipie.-; d'une équation de Montée et d'Anqjère s'étend évidemment a celle n'.uvelle e.spècc de caracté- J'i8ti([ues.
87. Considérons, en particulier, l< s c-qualiuMs V -- o. qui représentent une «njrfaee ivg-lco X), ayant le cône i l'i p-our cône directeur, qiu.nd
ïJitoRir, gfm:h.\i.k of.s cARACTr^inisTiouKs J07
on y regarde r. .v-, t co-nniu' des coordonfiées courantes. Poui qu»» la droite {'V.\) apport i«iiiie ;i h» surface (1^), fJx. dy, tlp.tfq doivent vérifier doux relations distinctes soulemenL hnmogônes en <h\ c?//, dp. rfq,
.. ,. j H U\ y, z, />, ç: r/.r, J//, c/jo, dq) — o.
{ H, {x. y, z. />, r/ : cir, (£;;/, ri^), «^^^ ^= o, '
ces relations, jointes aux suivante?.
d,2 --- pcte -}• qdy.
dp = rf/.r. -f- sdif, dji = 50ÎA- -|- tdy.,
représentent iiiic pri^niière famille d^^ caracléristiquos du second ordre Si S^ — KW'Ï )j'est pa.< mil. l'e(|nalion admet nue seconde famille de cai'actéristi(|nes du second ocdrc. Si S- — 4RT :r= o. la surface (il* est une surface devcloppabic, enveloppe d'un plan niohile qui rest'- constanimcnt parallèle à un pl.in làuiirenl au c<'>ne (T) (11° 78^; les géncratriees do il sont donc parallèles à celles du cône fTh L cqnati(»n admet doue nn système uni(jue de earaoléristiqncs, qui est du premier ordre.
l/étu«le (les earaclèrfî^tique? nous conduit donc a distinguer les équations du second ordre en «quatre grandes classes :
I" Les éqnatîoiis générales (jui admettent flenx sysl^mes différents de caractéristiques, tons les deux du se<-ond ordre;
±" Les équations qui, quand on y resrarde a,, y, z. /). 7. coninie des paramètres, >', v, / conmie des coordotinées courantes, représentent une surface réglée, non du second deg»'»'. «Ion» les jrénéralrices sontparallèlus â celles du x-(i\\fi (T). sans que le plan tnigent à cette surfacp soit parallèle à nn plan tangent an cône (T). l-^lles admettent encore d<Mix systèmes dillV-renls de caructérislîques, nn dn premier ordre, nn du second ordre :
;j° Les équations de Mon^c et d'AnipHre. Il y a deux syslPinns de caractéristiques, en général distincts, tous les deux dn premif^- ordre :
■4° Ivcs équations qui. avec les mêmes conventions, représentent une surface dévoloppal^io admettant le cône (T) puuT cône direeleui-. Elles admettent un seul système do oaracténsiiqnes. qui «^t i\\\ premier ordre.
il e^1 clair ([lie celle dislinclion se CuiiSciAe par toute trjusfoTrriiition de contact.
88. Ninis pouvons mainJenanl t^oniplêler la solution »iu problèiup do ( auihy. Irailc au n" 16. Ktanl «loiinéos mio courbe C et une dévelop nriblc A par^snnt paj- cette courbe, il siijj^il de déterminer une surface iîiti'iîrale d'une équation du second ordre F -= o, passant par la courbe (! et laugente it la di'velojipable A, le long de C, celle surface étant représentée par une équation :
où 4» j-, y) est dévcloppable en série entière d^n-s le voisinage d'un point de la courbe C. Celte courbe ('. et la développable A définissent une nuiltijdicité M, d'éléinenls du premier ordre (a?, y, ;, p, q). Supposons (l'abord que Mi ne suit pas une caracli'-ristique du premier ordre tic IcquatiDn F =■ o : alors, les trois équations :
F =^ o, fin = rcfjL- -'- sdi/, Jq = sdx -j- fciy,
déterminent les valeurs de r, s. / en chaque poinl de la courl»e C. c esl-H-dirc délinisscnl une uinltiplicite simplement infinie d éléments du secunil ordre, renlernianl la multiplicité M,. Si on n'a pas, pour ces valeurs de r. s, t ainsi obtenues, la rel.-jlion :
\M\) Wrly^ — <idx<iy 4- Tdx^ =r o
'ce qui est le cas général), nous avons vu plus haut (n" I 7) <|u il y avait une solution et une seule. Mais si ces valeurs de r, s, (, vérilionl la relation '30), elles doivent aussi satisfaire aux deux autres équalions différentielles des caractéristiques (n° 77) :
pour que le problème admette une solution. S'il n'en est pas ainsi, il ne peut y avoir de surface intégrale répon<lant à la question, ou, du moins, s*'l existe une pareille surface, la courbe C est une courbe sin- ^;uliiMO de celle surface. Enfin, si les équalions {liHj et. ,37 > sonl veiiliées en inèmc temps, on a vu plus haut ;n"83) qu'il exi^le une infinité de surfaces intégrales lépondanl à la question, iine exception ne pouvant se produire que si S^ — 4RTesl nul. Si la multiplicité M, est une caractéristique du premier ordre, on sait
THÉORIt GDNtHAI^ DKS CARACThRISTIOUKS 190
qu'ellp apparli^nl à une inrmite de cai-aclénstiques du second ordrp «Lt. par conséquenl. il y o encore uno infinité dt solutions, en supp<)«>jni toujours que S* — iR'l' fiGsl pas nul.
89. Consi«l»'rons maintenant en parliculior les équations de \a seconde o( de la troisième cntôjçorio. c'esl-;i-rliiv ccilo:;. (jui. quand un v regard»^ >•, s, I comme dos coordonnée.s oourantfs. rcpiéseiiU'i.f une surface r<'îgfl«''ft (ï), dévoloppable ou non, dont les génératrices sont parallèles à colles du cône (Tj. Les équations d'une droit»; parallèle à. une fçénérafricèdu cône (T; sont de la l'orme
( ? + KS -h v< — o ;
soient
les conditions 'l'iomo^;ènes auxquelles doivent «alislaire les param-'lres A, jA, V. p pour que la droite '(>\'6) soit une génératrice rie la surface (I) représentée par I équation
'4()j "F {rc. y, z p, 9, r, .?, ij := o.
On ideufifle les équations (;if{) avec les équations
( r/p = ro'ar -f .vcZy,
\ dr, z.- sdx 4- /rfy,
cil remplaçant X. p. (a. v, par — ':/p, — (7q, d.r. dj/, respectivement. Par coniiéqueni, eu faisant la même substitution dans les équations (3'.'). on aura deux relalioiis qui, jointes à la relation dz. = pdx -f- qdy, délinis.sent les caractéristiques du premier ordre
!d^ z= pdv -j- f/dy.
H {.i\ y. z, /), q : dr, dy, dp. dq) = o, H, [x, //, ^, p. q: d.v, dy. dp, dq^ = o.
L'équaHon {\0) provient de l'élimination de X, [x. v, p entre les équations ;:i8j et [o\}) ou. ce qui revient au même, de l'élimination de c/j-, dy dp, dq entre les équations (\\] et [^^i]\ si ui\ remplace dp et dq par rdn: -}- vr/y et adx -f- Uiy respectivement dans les deux dernières é({ua-
tions(i2,i, on est conduit à deux équations en j-^ et lélimination de
200 «IIAPITHE fV
ce (IfTnier rapport donnera rmalomonl lequ.ifion (M)'. 0» en conolul, en raisonnant comme ou u«27, «juo le probl.ime de litilp^ryLion de réquiUioji (U)^ peut être posé comme il t^uil ; Tro'j»tir luute< les ntultipiifj'és Mj. composées de muUipUcÀlés cai-ncléris(i<jiws M,, sadsfai^anl ivtù- équations (45).
Si l^s coordonnées d'un point (x-, y, c) d'une surface mlcgrale sont exprimées au moyen de deux varialdes independanles at et 6, (elles que les courljc-; ^ = O" soient précisément les cura/:»éristiques, x.if. -t, p,q devront satisfaire aux quatre relations:
àz
dx
"tq
es
àp
bv.' àx) "
cf. mvt'T>ement, toulsystéme de solutions de ces quatre équations dunnf^ra une surface inlcgrale
90. A Îh. théorie des caractéristiques du premier «.rdre se rattache la recherche des inlé}<rales intermédiaires;. Klant donnée une équation du second <irdi-e (I*-). nous appeh>ns inl'fcp'ale i/t(arnféiJiat,re toute é(juution' du premier ordre
dont toutes les intégrales, sauf poul-ôlre les intéj^rales singulières, appartiennent à l'équation du second ordre proposée. Soit M, une mullipli( ifé curactéristiquc dc l'équation (43); îl existe, cpmme on sait, une infinité de surfaces intég-rales de cette équation, dépendant dune inlinlté de constantes arbitraires, admeUant tous les élémenls de M, et ajaiil un contact ih\ premier ordre seulement le Ion*.,' de M, I( en résulte que la mull.iplicité M, doit être une caractéristique du premier ordre de 1 équation (K) ; cela nous montre déjà qu'une équatiiu! du ^eotfnd 01 di-^", prise arfnlrainujiûut, n'admet pas diiiLégrale intermédiaire.
Soit donc (K) une équation du second ordre, admettant des ca.ractéri5t;qiies du piemicr ordre. Ces caractéristiques doi\ent vérifier un cer-
IHLOIUK r.KNÉlî.M F DKS OAKACTÉRISTFQUKS '2*>\
taiî» OiMiibre do reluMons:
f »'♦! H, (.'•. y, j. p. 7 (ù^, c///. dp, '/^^ -z. o. H^ - o. ...
Ijoiiio^èiu'h en dx, dtf, d.^t, dq. DautiH purt. los caractéristiques «le Tôquation '43/ satisfont aux équ;ilions connues
,,M^ d:^ 'Ir — 'h^ — '^'/ .
/>?> dq ^x ^ '' a.' 'îy '^^
si on remplace dans Jes cqua-tions (44) (''x. dy. dp, dq p.ir les quantités proportionnelles tirées des équations (i'i). on est ct)nuuil à un cext^un
... . , ;,. . - ^^ àN n' àv ^v
■nombre ci eaiiatioits de cnnaitioii lionio£rrn<'S out— 'T~" ":"' T"' — ^'t ^ ^ àx oy àz àji dq
I.'. recherche dos iutéyiMles mterm-édiaires est ramené»' à un«i question que Ton «^nit trjiit;t;r. la reolierclie des fonctions \ [x, y, z.p.q) qui satisfont à un systèin.0 deqay lions siinultnjiéfs du premier ordre. On arrive aussi uu ntèuit; résultat par !es raisonnements employés au n" O'i. Supposons, en purtifulier. qu une equation(Ejadnielle une iiitfp'ale intei-niédiaire, dépendant de deu.\ liaraniplres essentiellement distincts a, h.
Ci*)) "V (^. y. z^\). >j\ a. h) — o:
l'éqjjation (K) doit resultei- de lélimiTiaîion de a et 6 entre les ti'ois équatirojs (Afi) et (47)
— -\- 1} — - / — — -t- .V - — -=: o. àx ^ ^ àz ^ dp~ àq
èy ' ^ dz ■ p ' iq
Si ou regarde dans ces dernières oj, y, z, /), q comme des constantes données et r, s, t comme des coordonuces courantes, elles rej)T(^sentent une droite parallèle a une génératrice du cône (T). T/équatiou (E) doit donc représenter, avec les mcmcs c<.»nventions, une surface réglée (5]) dont les gonératriees sont parallèles à celles du cône (T).
Inverseinciil, éti«nl donnée une eipialion i E ■ de cette espèce, elle admet un système d«; Ci.u'actét isliques du pri;mier ordre déliai par deux équations htmiogènes en djj. dy. dp, dq:
pour nhli^rnr ^'\ relations auTqvellt\< doif suli.^foirp une integraie nt/ertw'dinirr V, tï suf/îf d y remplacer dx. dy. dp, dq, par
respect ici' ment. Il résulle aussi fin n'Hil que celle rè^e fK'Ui t'ire rcmpluoéf |»ar la ^nivaiile : So'cnf
% [.r, y. ^- ft- Q ' '' (*• •'• r) -' "• t C"^' i'' *' P- 'i' ^- (*• ^1 !^) = "
/e« condtltorif. homfiqéoHK en >.. (/, v. p. f<<7i/r çu^ Ifi droitr
p -\~ ys -1- v^ = O,
«G<V une gènérali-ice de fa surface (S) raprésenlàe par f équation (K). 0>t remplace diin< ces équalioua X. ;;. y., v /7<7r
^V ?V '^^V ^V 'd\ tS
^ ^f'Vz''àir"*Tz'~èp^ respertir^niCitl.
91. Lors{|u'oii connaît une intégrale inlennédiaire avec deux constantcs urbilruilvs a et (f,
Bour a remaroué que l'on pouvait on déduire une intégrale intermédiaire dépoîidanl d'une lonctior. arbitraire, par la méthode de la variation des constante:?. C'est mic simple conséquence de ce que ia fonction V est déterminée pur «les équations du premier ordre. En eiïet, Considérons les trois équations:
oùf (a) désigne une fonction arbitraire de «; si ontiit; «éludes deux dernières équations et qu on porte ces valeurs dans la première, on est conduit aune nouvelle équation V, =o, qui est aussi une intégrale intermédiaire,
... • 1. «^V. dV, <)V, à\. ^V, , ,
caries dérivées parlielles-— ^» —-'■ -r- % -r «T"^» ont les mêmes cxpres- • dx à)/ <*/ ^p oq "
THK<1KIK r.ENKJîALF HKS CAIlACTF-RIt^TFOnKS 203
,^V dV iV ^\ è\' , . , r .
sions que — - — » — 1 — -) — • La lom'lion \, satisfait doiu- liiiii aux ô-r 01/ dz dp àq
miîmes équations <jMe V.
ï^a rrmarquo do P.onr poul vive rompIéU-»' ».'onime il suit. Iltant donnée uno équation «lu second ordre I"- (|ui admet une inlrf^'rale inleriiHdiaire avec deux constantes arbitraires \' (>•, i/, z, p, 7 ; a. h]., proposons-nous de déterminer une intéfrrale intermédiaire dont une solution soit tangente à une développable donncç A le long d'une courbe donnée C, située sur cette développable. l.e Ion;.»" de (!. x, y, z, p. </ sont cinq foncticas supposées connues «l'une variable >. vérifiant la relation dz =. pd.v -f- qdy. La fonction arbitraire 5 (a\ doit donc satisfaire aux deux relations:
iV [.T, y. î, p, 9 ; a, î, [a) — o,
où on suppose rr, v, ^, /', 7 remplacés par leurs valeurs en fonction de X. Si on difîorentio la première des équations '48) en tenant compte de la seconde, il vient
' ' hy ^ ^ hz àp ' ^ hj ^
v', r/\ z' . p', q' désignant les dérivées par rapport à /. ICn éliminant À entre l'équation (49) et l'équation V = o, on est conduit à une équation qui détermine la fonction inconnue y (a). Cette fonction ^ (a; étant connue, on en déduira par une éliminatiiui l'intégrale intermédiaire cherchée, et la solution «bi problème de Oauchj' est ramenée à l intégration d Tin système d'équations dilTerentielles ordinaires {' ••
(') Quand on élimine a prilm I»>s deii.K oqualions ^'iS*. on est ccnduil a une «iquation ilu premier ordre pour «léterminer sk''.
re) R (<'. a (")• -y {o':] =- o.
Il soniblc iloiic que l'r.ri fitvrail trouver une iiiliiiité de louclions «j» i/) rspnndanf à la question, four expliquer cette apparente conlratlictioii, imaginons <|ij"on oui renvpl.TCé .r. 7, c, j>. q i-n funciion de X, el soit V [x. y, z. p, (f^ a, u) = U ;";. ii, b\. Les équîilions '^48) doviennent
et la queslion revient ù dêterniinur ^ (») de telle sorte que les équations (48 bis) aient une solution commune en w. quelle que soii lu valeur de ),. Or. si on remplace a
20 i r.HAHiTnK IV
