F'renons, par exemple, l'oqualioii
qui reprosenlc, quand un royardo / . .*. ' comme dys <oordonn«es courantes, un cvlindro tivantses g(Miérit trions parallèles it la droite « = o, / :- o. Pour <]iie la droilo
) -f- \<x -J- vv ^: o. f, -f* (J^-^ -}- v' =: f»
soil une génératrice déco ovlindro. il faut que l'on ait :
donc dr 90) tt)utc iiilcgrale inLe'Tii/^diiîirc V d<» IV-qualicm (50'l dnil satisfaire? aux deux équations :
IvU piPiiiicre (l*i ces deux rdalions inontro qu'iVn^» do'i! pasdépendre do p\ 01) voit pusiiiio. iti t<;iiaiiL compte de la. .second*;, que
doit êlr« une fonction linéairf de p
/•(/. .-•;. >/, 7, >.. .7) ■= f {x. II. 7. 7. t) ^ ,rl (x. y. ,-, 7, /), jmr uni" couslbiiti- ^jihilraii'c >,. U foiii:liiiu 9 r^/) Orfirn»; p^r i •jf|iiHfion T«iioiid u la quotton. car en u aussi
au , ^n
On a .lirii! lintcgrale générale de ') cqn.iiif.n (*'). mais ^\ y a.un oulre. une 'wlt^raix: smff.uheTe qu on nMicnt en éTimlndnt \ cnUe les Jeux équalinns:
IJ ~ <}. — — o.
c'rsr celle intégrale qui 'Jr.iine lit vent.ilil.j solullondu pTobteme pi<»|)o?c
TIIKOKIK CENKHALf: DES GAU A<:TKIUSTIQIJKS -iO.i
et la luiiotiOM V [x, ;/. :. 7) doii batisfairo aux deux équations :
De l'équaliori V (u;, y, 6*, </) = o ifTuiqiiioiis qu'un ail tiré 7 —À a, v ?). colt»; t'oixiioii ). «ioii éirt* uneitité:^rak* des deux équahoiisj :
a , . Oa
Oa\
i'our que ré(|uati(»u (50) adiiK.'tte. iiuo iiitroralc inieniiédiaire dépendant (ie deux constaiiti-s arbitraires, il faut que les i^^iialioiis 52y roi'inentuu système eu iuvolutiuu. Ou apereoil aisément deux cas partie.uliers ou il eu est ainsi ; 1" si l — u, et qu<.' s. ne d<-pende pas de *, l'équatioii du se<;oud ordre v — ■\>\'i^^ y-. 7. t'i = '^ admet toutes les iuteifrales de ré<|u;diuM du preiniet- oïdiv 7 jz:/,(.r, y), pourvu que a vérifie la relation
2' si î, -- o tl que •]/ ii« dcjteride pas de .>;, l'équatioi! du second ordre .ç — ;y|i'/, :, 7, tj — o iidunt luutes les inté;;Tales de l'équation du premier oi<ire 7 =■ >, ^y, .:), pourvu «jue à vérilie la relation
93. Nous allons encore cliereher à ohtfuii- toutes les équations du second ordre, de la forme cousidér<'e, telles qu»', les deux équations, auxquelles doit satisfaire une iuté}.,^rale intermédiaire V \'".,v, 3,f>. 7;, forment \\n syslt'-me eu invululion.
Les deux iquatious homoî^èues en tf:i\ di/, dp, dij. ijui délinissen» lus OrtraolérislK|ues liii piemiet' ordre, peuvent toujours, ou le vérifie faci-
200 CHAFJTJU: IV
lemenl, <Mrp resulues par rapport à l'un des roupies de dilTorenlielIes :
dp. (Jq), {dp, dy"'. (do. dx\ {da\ di/'j,
o[ on ram«'ne les Irois derniers c;i> au piviniiM- en appliipiajil à l'équation proposée la Iransfornialion d'Ani|)Lr(' nu celle de f^e^^endro. On pciil donc, sans reslreiinhv la p'nrralilé, supposer les équations dilTeienlielles des caraclérisliques du premier ordre résolues par rapport à dp cl dij ; il eu resuite que les équations auxquelles doit satisfaire uut; intégrale intermédiaire V seront résolues par rapport à
àx ^ âz ày èz
Elles pourront done s'écrire :
,^.„> 1 àx dz \ dp iV/ /
/et o Pl.-^nl des fonctions homogènes et du prenner degré ^le— • - — Pour plus à*i symétrie dan? les notations, posons:
fC — .r,, y - X.,. z ~ x.^, p = a\., y — .r^, ^V è\ 'dV 7»V ^V
les equnlions précédentes deviennent :
(54) ^ *^ ~ ''* "^ ■^''''' " ^^^'" "^^^ '^" ^^' ''5: /^r i"r.) = "' ' H, = ^^ -j- .7-5P, — o i. -'>•,, .'c.^, .^3, rr,, .tv ; 7-;.. ^jjl = o.
On sait que toute intégrale commune à ces deux é<juations satisfait aussi a l'équation :
en déveln[»panl les calculs, on trouve
THÉORIE GÉNKRALK DES CAU ACTÉRISTIQUES 207
Pour que les équations (o^; formcnf un système en involulion, il faut que Véqnation (II, H,) = o soil une conséquence des premières, et. conin)o elle ne vonformo ni p^, ni p^. elle doit se réduire ii une i<lentité. D'ailleurs, elle est linéaire en p^ ; les deux fonctions /"et s doivent donc salisfaire aux detix relations:
La première équation (55) montre que f ci !j> sont les dérivées partielles d'une fonction de .r , , r^, rt-j, cr^^ Tj, p,, p,, par rapport à p^ et à p^ lespectivcnienl ; et, comme /"el -4. sont liomof?'^nes et du premier degré en p^. JO5, 01» peut supposer cpie la fonction dont elles sont les dérivées partielles est liomogène et. du second degré. Kcrivons-la:
en posant '/ = ~^- On aura donc Pi
et en portant ces valeurs de f et de * dans l'équation (a6\ elle devient
\ ^ ix^~ ^ ^r.^
VowT remonter à l'équation du second ordre elle-même, remarquons (pie les équations des caractéristiques du premier ordre seront alors, cri revenant aux nf»tations primitives,
^ + t-]f [x, y, z, p, q : oi] - m'^ = 0,
dx dm
en posant m — :^- On obtiendra l'éipiation du second ordre en rem- * diV
i08 r.HAnTHK IV
plas-ant rfp par >y/.v -j- av/y. dq par v./.c -f 'dij, pI .'liiuimnt onsiiilo le
du iMpport -j-* ou, ce r|ui re
eulro lus deux tipialiont»
iMPport -r-* ou, ce qui revient au inomc. on «Miiniiiant le paranuMie m
y -f *•»/? 4- 2J/ ',.'•, ,v. ;, p. 7 ; w) — m ^^J^.:- o, i 4- bn f — î- — o.
Or, si DU regarde dans cos (tpialions x. y, z, ;j, ^ comme des conslontes données, m comme un paramètre variable, ?*, •«, f Cumme dea coordonnées courantes, elles r«iprc<;cnteut une droite qui est la carats léristique du plan inoliile
r - 2^/7/ -f- lin- -\- i-\ {•II) ■= 0.
0/J ottLient Jonc touiiis Ui-s •'•<jUJt'io,i!i du .tt'coiui ordre ckcrcluuis en é.liininanl le paramètre m enwe U^s darr équations:
/■ -f- -Isni {- f-yii"- -L tl i.r. If. ;, />, 7 ; rii\ = o, H
la fonction ■if doit en outre satisfaire à l'équation toT), oi' on aurait remplacé .i", , .r^, .''3, .c^^ ./'j, tf par :/\ y, 5", ;;, 7, m yespeclioemenl .
On remarquera (pie, pour i.ttutes ces équations du second ordre, les deux systèmes de raractci'isliqucs sont confondus ; c'esl la généralisation d'une piopriété déjà élaitlic pour les équations de Monye eld'Am' père ^n* 34).
94. 1/intégration tl'unc équation du second onlre appartenant à la classtMjue nous vciK^ns de dcfiiiir se ramène toujours u riiitoj^ralion du système en involulion (5Hj Suit, en effet, V(u\r/, s, p, q,a, h) une inlégrde dé i>e système avec deux (.unstanles arbitraires o et A. Kn différenlinnt les équations (o3i par 1 apport h a, il vient :
^fl.\.: "*" ^ >fl.>r ~ ^ ,y^\ .\u> "*~ ^ i^\ \i:>q '
THÉORIE GÉNÉRALE DES CARAfTÉRISTIOUES 209
On en déduit
en remplaçant r- -\- p — ' r-r" "H P T~: P^'* 'eiirs expression:;, il
reste, en tenant compte de la relation (55),
Iv l^l m(i^'^j K-'^^^À
Comme /^ el 9 sont des fonctions homogènes el du premier degré de x— el de — ' Il vient enfm
On démontre de la même fa^^on que l'on a
si on différentie les relations (58) el (59) par rapport k b el à « respectivement, il vient:
d'où on tire :
On voit donc que les trois équations (6O1 \-o, -^-^ = .. ^^p,
HATtOK DBS ÉOUATIOXS. 14
210 ( HAVITHK IV
OU ft el s sont ileux onnslanl'îs qutilcoïKjuos, repr«'<*ontent une miiltiplirite Vj., dont tous les élenienis satisfont à la ivl.ilion V r=: o, c e3t-àdire nue iuti'ji^^rjile complète de ceti» iMjnalion du premier ordre. On peuJ, par suile, ohtonir l"inlegr<4le yéaérale ilel équation V ^= n par de
simples eliminalitiiis. Ccoi suppose qur Y. •-— ' — r sont des lonclions
distinctes de x, y. ~. p, g; mais on |.eiit toujours choisir "une intégrale Citmpiéte du systtun' satisfaisant à celle condinon, car on peut choisir arbriraircmeTit la fonclion de 2. p. q. a, ^'. à laijuellp se réduit V pour X zsz Xft, y =-- yj, puisque le système est en iiivolution. Si on élimine a el '' «Milro h's relatioTis
V (x, y. iT. p, 7 : o, b) =- .-> i' ---: tt (rr), T" ~^ 'Îâ ^' W ~ *'•
ou t: [a) est unefonciion quelconque de a, on obtient ane nouvelle ialégralc intermédiaire V, r= u. qm •^'inlèî^re aus^5l sans aucune difficulté. En t'iïct, pivnons pour i> une l'OTiction •} (<*, a', i]. dép«'adant<lo deuxuouvolles constantes a et b', et se réduisant à r (aj pour a' = a'^, 4' = i'^. IjU nouvelle rntegi-ale intermédiaire dépend des deux constantes arbitraires rt'et ù . t-i on pont lui appliquer la Tn(*^me méthode <|u'à la pre- Màidro. L'inté^ratKMî de l'équatiDJi du second ordre n'e.vige donc que des éliminations, si on a inlégjéle syst<-me en iTivoluli<Mi ;S.S).
95. On peut obtenir pour l'intégrale {générale de l'éciuation du second »«i-die des formules analoi^ues à. celles que l'on uobtemies au ii* iî4, dans le cas des équations de Moiiy;e et d'Ampère. Ktanf données les trois équations :
(61) V.-=o. Z. = .:a). ^lj^^lr:{a)--.:K
imaginons que des deux dernier^ on lire les valeurs do a et ^ en fom> lion de r, y, z, p, q, et qu'on poritt <e.H valeurs; de « et de 6 dans V.
— > — ; on obtient ain.si trois fonctions V^, \\, Vg, qui sonnt encore en
involution, quelle que soit la fonction i:[a\. En effet, remplaçons; dans V, a par a -}- a\ h par % [a) -f- *'t (i et è' étant deux nouvelles constantes, que nous .supposons coTmues : Si on élimine ensuite a H b «'utre les équations (ttl^, on e.st conduit à une nouvelle intégrale ialermédiaire du [tremier ordre
THfTOHlE crîNKRALE UFS CARACTÉRISTIOUKS 2H
qui dépend ftiicore Je doux coTistanleb a', b . On n doitc aussi :
or, pour a ^ b — o, W, t~7' -^^tt »e i-edmsent respectivement a y.,
Vj, Vj. comme il est facile de s'en, assorer. Il suit de là que tes trois équations
on X et p sont deux constantes arbitr;»ires, représenlont une JTiiégrale complète de l'équation V, = o. Cette intégrale ccrmplète s'obtiendra par Véiiminaliun <le ji et y entre ces trois équations ou encore, d'après ISLsig-nifîcaJion de \ , , Y^. V,, par l'éHmi-natioii de /), q^ a, i, entre les cinq relations
Si on élimine dabord p et 9 entre Ja premièie et les doux deriiièrt-s, il restera ensuite à eliTniner a et ft entre trois équations
Il (a?. \j, z, a, 6, tr., fj) - 0. h — 77 (a), a + tt' (d) f. =r o,
n étanJLune fonction déLermintie de a:,y^ ?, a, A, », [i. Maison peut substituer à Tune des constantes a, p, à x pur exemple, la constante o définie par l'équation a •-(- ^r' fa) fJ = o. ce qui revient à éliminer Z» et a au lieu de a et A. Cette élimination se fait delle-nicme, et ou est conduit à l'intégrale complète
II {x, y, z, rt, nia), — fJ:r' (o), f[ = o,
avec deux constantes arbitraires a et p. Si on remplace ensuite ^ par une fonction arbitraire de a, x («S on a, pour rcpresenter l'intégrale générale de réqualion du second ordre proposée, un système de deux équations de la forme suivante
l * [a-, y. z. a., r [a], n {a), x [a)] = (», (62) < M» a* ,, <)'»' wx , >!» ,f .
n et 2. étant deux fonctions arbitraires ('). On peut donc énoncer le Ihéorènic s\iivant :
Lorsque le sysLème (53) est en inmtutiov. soit V {x, //, 2, p, q, a, b) une. intégrait^ de ce sysiènte ocec devcc covsinnlois arbitraires a et b, telle
Quc V — ' — soient des fonc fions distincles de s, /), q ; l'intégrale
générale de l'équation de second crrdre vorrespowlatUe t^si représenter, par le si/stème d''i d'>uo: èqvations T»2), dont la première s'obtient en, éliminant p el q entre les trois équations
^="' Ja'-^-'^ 3?"^^'
et remplaçant bpar t (a), p p'.ir 2, [ci] et xpar — n' (a) 2 {(t).
96. Pour la delerminalion de toutes le^ équalions du second ordre qui sinlègrenl de celle l'açon, je renverrai le lectetii" à'un mémoire que j'ai pulijié ior(»mmoril (^)- Je signalerai seulement une solution évidente: lorsque la l'oncUon 0 (,r. y, z, p, q : u), qui doit satisfaire a l'équation (57) no dép^ind d'aucune des varialïles x\ g, z, p, q, celle équation est satisfaite d'elle-même. L'équation du second ordre ccu-rcspondante ne renferme que ?', .?, / et s'obtient en cherchant lenveloppe du plan mubile
r -j- 'ism -\- (m' f- 2<|* i(iii) = o,
^ ()») étant une f'onclion quelconque du paramètre m. Le système (51»), qui détermine les intégrales intermédiaires, devient ici :
èx ~^ ^ z "dp
on vérifie aisément qu'il est en involution. Cherchons une intégrale de
(') Voir ma note Sur tes întryrales inlermcdiaires des cr/autionf aux dérivées partielles du second ordrv 'Comptes rendus, torac CXll; l'J luai !8i>2;. (2) Aria Malhematua. t. XIX, p. 285-340.
THÉORIE CÉNEKAI.E DES CABACTÉRISTIOUKS 213
ce système de la forme
V — p -f- ft -j- <■> (z -}- ax -f 6/v. q -f • /') = <» ; ïes équations (<»•'<) devienneni
OUI , I ômX
en posant »< = *-}" ^'•'^ H" ^.V* «• =^ 7 -f '' Adjoignons aux équations (61) les deux équa lions
il vient alors
4'' (b) îî-i/'(p) — 2^(8)
et en porlani ces valeurs do o. — - —♦ v dans la relation
^ ov de
dM = — r/w -f- — «y.
3t/ ûo
on est conduit à l'équation
or*
d où on tire
On obtiendra donc une intégrale intermédiaire delà forme demandée en éliminant a et {J entre les trois équations
.L(Bi . •V(8) ■ 2<î/(6i — Sv:.'(3)
cette élimination u'esl possible que si la fonction J/ est donnée, mais on peut cependant appliquer la méthode du n" 9o sans qu'il soit nécessaire de particulariser cotte fonction. Pour la commodité des ciilçuls, chan-
2U r.H.vPiTUK IV
goons a en -i et posons
\' ^ z-[-ax^bu^ a2.|» (P), a et p étant déterminés par l»s d(?ux équations
