f A =.- ..f (6), p + a = a j 2* (p) - Pf (p

On a

les valeui"S des (Jeiivtes partielles --• — ■ t^; r^ se tirent des deux der- ^ ôa do oa Où

nièrfs é(|ua.tiuas et il reste, toutes l'éductaons faites,

Pour appliquer h» méthode générale, nous devons éliminer « et p entre les trois équations:

V = ^ -f ff.r -f *y + ^^ (P) = f>^

el i-emplacer ensuite b par w (a), h' par/ (al et a' par — -n' («) / {à\. Ij« fonction «l» qui fîgui-e dans les formules (62j a alors pour expression

'I' [aï, y. 2, a, » (a), ir'(a). x {^)] — ^ -f- ^-^ + .V^: f«)

^ ' '• ^ ' ^ / a; -1- » (rt; ;ç (a) )

Remarque, — Les équations précédentes paraissent au premier abord 1res [)artaculières, mais il convient d« remarquer q\i"on a une catégorie beaucoup plus étendue d'éfjuatiojLS. s*intéçrant complètement jiar cette mcthode, eii considérant les éqiialions du second ordre nui peuvent se ramener à la forme précédente pau- ime traasfoa-nialifm de conlaet. "En élimiTiaTit a et p entre les eqTjaticms (65). on est conduit à une intégrale

THT:01Lni; GÉNKRAIJ: des CARACTliT^lSTlQUES 215

intermédiiiirt'de la fonue

Y — z -^ ax -^ by ->r G [p -\- ii^ q •{■ à) ~ o,

(i étant une fonction homogène et du stM-ond «Je^ré de p -\- a B\ ({-{-'> : il est facile Ol«; véiifitT qii'on n bien, quoile que suit la fonction G,

liCs équations du second ordre, que l'on déduit des précedenles par une transloimation de contact, admettent d«inc une intégiitle intermédiaire delà forme

Z -f aX -f «Y 4- G ^P 4- a. Q -f 6) :^ o.

G étani une fonction homogène du second deg^é, et X, Yj Z. P, Q cinq fonctions de o;. y. 2-. jo, Çj donnant lieu à l'identité

'/Z - Vd^ — OjPf = (,(dz - pdx — qdy).

C'est ainsi que toutes les équations de Mong-c >•[ d'Ampère, appartenant à la classe précédente, peuvent se ramener, par une transforiuation de conlact, à l'équàtàonr — o (a" 30).

37. Lorsquyne équation du second ordre ne représente pas unfi surface ré<çlée (S) ayant ses g"éaératrices parallèles à celles du cAne (T), quelles que soient les valeurs atlrihiiées à rc, y, z, p, g, elle ne peut admettre d'inte^ralô intermédiaire dépendant de deux constantes arbiiraîr'^s (n* 90) ; mais elle peut admettre des intégrales intermédiaires dépendant Anne constante arbitraire ; on les oTîliendra par Tapplication de la méthode générale, en formant d'abord les équationsdescaracteristiques du pi-emier ordre. Par exemple. Te'qualion r^ — ^t :=. o admet l'intégrale intermédiaire^ — a = o. D'une înaniére plus générale, prenons une équation de la forme

P =: (rf — y2)'» Q,

OU V e»l une fonction de />, q, r, .ç, t, homogène par rapport à r, s, t, etQ une fonction des variables .r. y^ 2, p, ç, r, *% /, qtu reste finie lorsqu»; rt — .s^ :=z o. Poisson a remarqué qu'on pouvait obtenir des intéf^rales intermédiaires de la forme