rt ± y

bi une équation du second ordre admet une intégrale intermédiaire \' = u. ne dépendant d'aucune constante arbitraire, les équations honio-

ffenes en — '^r~'^ ' t~^' ^t"" auxquelles doil salisiaire ra fonction V, " T ^;/ d^ dp àg ^

no doivent être vériliées qu'en tenant compte de la relation V r^ o. On

lève la dilliculté comme plus haut (n" 53V en imaginant qu'on ait tiré

de cette équation une variable en fonction des aulres, par exemple

9 = À (x, y, z, p). Les équations en V donnent des équations pour

déterminer la l'onction inconnu*^ X.

98, Le. distinction fondamentale entre les deux espèces de caraclérifliquos, du premier et du second ordre, se trouve déjà contenue implii^itt^menl dans le mémoire d'Ampère. Nous allons indiquer rapidement les considérations dont il s'est servi, en nous bornant, pour fixer les idées, aux é(ju.ilinus de la preinicre riavse.

Supposons que les coordonnées d'un point d'une surface soient des fonctittns connues de deo.x variables indépendantes »el p. d'une fonction arbitraire s (») et d'une fonction arbitraire ji (§), ainsi que de leurs dérivées a,', ^* «{/'. 'y.... jusqu'à un ordre déterminé

( X = F, [a, p: f [uj, <p' (c), ... ^"" (a); ^ (8), ^ (p). ... .^W (p)].

[m U =--T,[r,fi-jli) •!'"'1P}1>

(c =-T,[;,y,o{x) '^<'MP3]:

THÉORIK GÉNÉRALE DES CARACTÉRlSTlorKS 217

on (lit qu'une équation du second ordre appartient à lajireinière classe, si rintégrnle générale de cette équation peut (*tre repre.sef)trc par des formules de la forme (GO), les fonctions / et <!' restant arbitraires. On pourrait aussi supposer, sans que les raisonnements qui vont suivre subissent de modilicalion essentielle, que les fondions arbitraires et leurs dérivées (igurenf sons des signes d'intégration, pourvu qu'elles n'y soient engagées qv'aoec des constantes, la quantité dont elles sont composées et la différentielle de cette quantité. II pourrait aussi arriver que les deux fonctions » et vî; dépendent de la nièrne variable, a. par exemple. Enfin, les conclusions que nous allons obtenir s'appliqueraient encore au cas où les formules (6C) ne renfermjevaienl qu'une fonction arbitraire.

Les dérivées premières;) et q se déduiront des deux relations

'dz èx 2y

ap ""^^fj ■^' '^ if

on calculeia ensuite de proche en proche les valeurs des dérivées successives, ;•, s, t. ... etc. II arrivera généralement qu'au bout d'un certain nombre d opérations ces dérivées contiendront des dérivées des fonctions arbitraires <& et <h. d'un ordre supérieur à l'ordre des plus hautes dérivées qui figurent dans les formules (6b). S'il en était autrement, les expressions de x. y. i, et de toutes les dérivées partielles de z par rapport à a: et à y, ne dépendraient, en réalité, que d'un nombre fini de constantes; cas que nous écarterons. Par exemple, suppos«»ns que la dérivée 06'^+ '' i'») ligure pour la première fois dans une dérivée d'ordre n^ ptie ; alors la dérivée <p*'' *" '' (a) figurera dans les dérivée.'? d'ordre n r I • et ainsi de suite. On a, en effet,

'3p,> 2x av.

comme /),x contient f''*'M*)i^^ contiendra 3'/"+ 3) (a) et, par suite.

cette dérivée figurera dans l'une au moins des dérivées P; + i,a,Jîi./1 + v Lorsque les dérivées d'un certain ordre ne renferment pas d'autres dérivées de la fonction arbitraire o [\) que celles qui figurent dans les formules ((>t)j, Ampère dit que ces dérivées sont homogènes à rintégrale t'elaliûcment à x\ dans le cas contraire, elles sont heléroyènes à rintégrale. II résulte de la remarque précédente que si les dérivées d'un

ti8 (IIAPITHE IV

certain. i»rdro sonl liomoj;»Mus n linfcgralo, relativciuonl à a, il en esl de mémo de Ulules Jcs th'rivëes d'ordre inférieur it celles-là.

Q,iianH on utlrihue aux fonolicms arliilrairos f et j* dis formes délrrminees, les formules W») représentent une eirlaine surface S. Sur la surface? S les courbes x = C" représenlent des caractéristiques. Prenons, «"u elTet. la courbe a -- a^ ; on pcirt choisir, et dune infinité de • manières, une fonctioii 4» (a) qui prenTie, ainsi ()ue ses dérivées, jusqu'à un ordre aussi élevé qu'on le veul, les mêmes valeurs pour a = a„ que la fonction ^ {r) et ses dérivées du même ordre, tandis que, h partir d'un cerlaiTi ordi-e, les valeurs des dérivées de 't* \^x) et de -p ^x) ne sont plus les mêmes. En particulier, on peut cTioisir une fonction 'I»»;, dépendant d une infinité de constantes arl)itraiTes, telle que les valeurs de p et do q soient K-b mêmes, pour x = -/„ quand on remplace 'y (a) par «I» (flt). La surface obtenue on remjjlatant dans b'S formules (66) la fonction ^ ix)par '^"{»), t»)ut en «onsorvaTit la même fonction <^ (fJ), sera donc tanirente à la première tout le lor»^ de la court»; % ■::: t^, ce qui prouva l»ie!i <}ue cette courbe est irnc caractéristique.

On peut loujoars supposer que les derivces du premier ordre j» et q sont h«>mogèiiet> a ItntegraK' par rapport aa: s'il n'en était pas ainsi, il siil'firail d'effectuer nue transformation do contact pour t'-lre ramené à ce cas. Miiis les dérrvées du .secmid ordre peuvent être liomog^ènes ou hétérogènes a Vinbegrale. Dans le premier cas, les valeurs de r, s, l Konl les mêmes pour toutes les surface.s intégrales qui sont tangentes à la première le lon^ de l,i caractéristique a z- x^ \ c'est done une caractéristi^^ue àv second ordre Dans le second cas, il existe xme infinité de surfiiCe."* intégrales, dépeudant d une infinité de constantes arbitraires-, ayant un contact du premier ordre se\ilem ont avec la première surface. le long de la courbe a. — a„ : c'est donc une caractéristique duprcmier ordre.

99. Pour reconnaître si une équation du second ordre admet une intef^rale delà forme f'66j, ou la fonction ç. (a) est arbitraire, et où les dérivées du second ordre sont bétérogènes à l'intégrale relativement à a, Ampère procède comme il suit. Supposons qu on ait attribué à la fonction f une forme déterminée, et imaginons qu'on ait tiré de ces formules y et î en fonction de y et de a,

THKOr.IF GÉNF.RALF PES GVHACTKRISTFQUF.S 219

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