LES ÉQUATIONS DE MONGE ET DAMPÈRE

doo = r'dp -\- s dq =: r' (rdx -f fdy) -f- *' f-^dx -f- fdy}, dy = s dp -\- tdfi =. s [rdx -f- sdi/j -\- l' {sd.c -\- Idij)^

qui donnent

rr -j- ss =. 1 ,

5»-' -j- to' — o,

rs '\- st' = o,

sa' -{- It' = l.

On en lire

r t — « 2 »• ^ — s - ri — 5 *

et ri;quulion s -f /* — o devient

la nouvelle équation admet bien toutes les intégrales de l équation q' = c, qui sont de véritables intégrales.

28. Dans la nouvelle définition de l'intégrale, l'équation du second ordre elle-même ne joue qu'un rôle tout à fait secondaire ; ce qu'il y a d'essentiel à considérer, ce sont les équations linéaires en dx, dy, dp, dq qui définiss-cnt l^s multiplicités caractéristi(iues. On peut se d.uncr arbitrairement, pour déiinir ces multiplicités, deux équations distinctes linéaires et homogène? en <tx, dy, dp, dq,

\ Xdx + H^.v -f Cdp -f- Ddq = 0, ^ ' i X'dx -f- ndy + Cdp -f ])'dq = o,

A, B. C, D. A', R', C, D étant des fonctions quelconques de x, //. 7, p, q. Si. en offot, on remplace dans ces équations dp par rdx + s'fy et

dq par sdx -f- tdy, puis qu'on élimine le rapport -^ entre les deux relations ainsi obtenues, on aboutit toujours à une relation de la forme (1), et il résulte des d«H'eloppements des paragraphes précédents, que les équations '26) délinibsent un des systèmes de caractéristiques do l'équation du second ordre a laquelle on est conduit. II n'y aurait d'exception possible, que si les deux é<|uatioiis (2G) ne renfermaient ni dp, ni dq, et se réduisaient par conséquent ddx := o, dy = o. Nous reviendrons tout à l'heure sur ce eus smgulier.

62 r.HAriTRF. ii

Quand un clTorhie sur ks varialilep .x, y, -, /^ 7 xine transform.ition de contact,

X = /', (.r. y\ z\ )i\ 7), y = f., (.r , y', z\ p , 7'), S' — /Il (•'*'', y' 2', p\ (/'), p — fx l>''i .'/'. 2', yî', 7% V = /:; ("^''i y\ ^\ P\ 7)1

lu lolalioii dz ■-- p(f.v — 7^)/ =- u so chaiij^o eu d:: — // </ r' — 7 '('/' -= t>. et Idule cquali«»ii lincairc et hoiii(»g«.'ne (;ii d^, dij^ dp, d<i, «Jonue une éqnatidii linca're el honio^t'ne (!n dr , dif\ dp', dq' . 'lout f^ystonio do la firme <-T.y- s(^ cliani;c donc en un système de même fui nu^

1 dz' —p'dr — n'dy ~ o, (25 Ih) (; (^'^ y'^ .', ^/^ ,-. ^^.-^ ,iy'^ ^^,^ ,i,^^ ^ t,,

d'adleurs, Icute mullipliciU- inléorale M., du système (25) se cliange en une multiplicité intégrale M^ du nouveau système. Nous sommes conduits ainsi à cette propriélé fondamentale des équations d<.' Mon^e et d'Ampère: quand on applique à une e,quation de celtr esi;i^re une translonnatijn de contart arbilraire, on est condail a une nouvelle équation de mcme forme. Le raisonnemeiil pnnivr, en outre, (jue la transformation chavfje les raraetérisfiques en de noucelles caraclérisf iq ues .

On déduit, delà. 1<^ moy.'>ii [)ralique le plus simple pour effectuer la Irunsfurmation, une fois qu on a formé les équations d'un des systèmes de caractéristiques. Il consiste à ntmplacer dansées équations, .r. 7/, Zy p, q. d.r, dij, dp, dq par leurs valeurs en fonctions di? x\ y\ z , //, 7', dx , dy\ dp', dq'. On a ainsi intm<'diatement les relations ([ni définissent un des systèmes de caractéristiques de la nouvelle équation, d'où il est facile de remonter à la nouvelle équ;i!ion elle-même.

Keprenons, par exemple, léqualion v -\- f := o, pour laquelle un des systèmes de caractéristiques est donné par les relations

djc = 0, <^P ■{- f<iy ^^ ^1 ^^ — P^^ — 7^y =^ o ;

lu transformation de Legenrire remplace ce syâtème par le suivant

dp' = o, dx -\- fdq .= o, d%' — pdx — qdy =^ o.

dy l,a nouvelle équation s'obtiemira donc en él i nu nan t ,'- entre les ^ dx.

LES Kon.vririNs nr: monGtE et d ampèrk R3

tîeux relations

t-'c/cr' -\- s' ri If' = (), (hi '■ fs -J- i) -f- ft'dj/' —- O,

co qui donne

s — f{rt' — s'-) = (\

Considérons encore l'équalion

ri, — s-* =r- o:

Tes équations diff^renfiollp?; des caraclérisliqufS sont ici

dft -— o, iiq TTz (), âz — /x/.T — • qdy --z^ o.

î^i on eiïectiip la même transforinfilion de Legendre. on est ronduil au s^sléme

ff.c' :— V; £^'/' '~ O, dz' — p'dx' — i^f^!/' = O

auquel ne corrrsjjond nucune eqnation du second, ordre. Si on applique, en eflef, les formules générales d»^ transformation obtenaes plus haut (p. ?>1 ). y ri't'iiation r> — .v- ,z^ o elle-tnèine, on est conduit à la nouv&lle équahdn

qui n'a évidemment aucun Sf^ns. O résultat singulier s'inlerprèlei sans difficulté avec la notion généralisée d'intégrale. Toute rnultiplicilé jVI, satisfaisant aux relations

dœ = <). :'/2/ cr: a, d: — yjrtû; -- qd't/ rr= o

se eomposn nécessairement d un puinf et de tous les plans tangents a un cAne, d'ailleurs arbitraire, ayioif ?(.m sommet en ce point. 5>i on a une famille de pareilles nmlliplicités M,, dépendant d'nn paramètre, et engendrant une multiplicité NT^àdcux dimensions, «^elte multiplicité Mj se composera nécessairement d'une cotn-Le <'l de I ensendd^ de ses plans tangents^ ou d'un point et de l'ensemble des plans qui passent par ce point ; mais M.^ ne poun-a jamais sr c«>mposei- d une surface, truand on #>lîectue la tiansfornialion dr I-egendre, à un point correspond un plan et a une courbr^ une surface developpable. l/pipiation )■{ — s^ -- o admet donc ]»our intégrale générale une surface developpable quel-

5i CHAPITRK II

conque, résultat bien connu, (lue nous reU'Ouverons d'ailleurs par l'applicrtlion d'une mrlliode générale.

Uemarquons encore que, lursqu'une équation de la forme ;1^ ne renferme pas de terme en rt — *', on peut toujours lui appliquer une transfornipJion de contact, de façon que la nouvelle équation renf»'rme un pareil terme. Si le terme M, indépendant de r, *, <, n'est pas nul, il suffit dVrnploycr la transformation de Legendre. Si ce terme est nul, on peut poser d'abord

Z élanl la nouvelle iouctiuu inconnue et <l» {x, y) n'étant pas une intégrale ; la nouvelle équalioii, n'admeU.anl pas la solution Z = o, aura forceint m un terme indépendant de r, 5, /, et on sera ramené au cas préco«lent.

29. Pour donner un exemple de ces considérations générales, reprci.ons les surfaces d'un complexe

(27"; F (ar, y,z\a, b, c) = o,

ei les surfaces enveloppes de cclleslà, représentées par le système des deux équations

/ V{x,y, -r; rt, T. (a), ^(a))= o, •>) OF , ?F ,. . , .>F ... ,

où ^ {a) et -l (a) désignenl deux fonctions arbitraires.

Il est clair que toutes ces surfaces *ont engendrées par des multiplicités M, définies par les équations

iï^ + '^y.^^'

a, b. c, 6,, c, dé>ignant cinq constantes arbitraires.

Entre ces quatre équations et celles qu'on obtient par la différentiation, on p^at éliminer a, b, c. 6,, c, et on parvient ainsi à trois relations entre a:, y, z, /j, r/, c/.r, dy, dz, dp^ dq, indépendantes de a, 6, c,