Soit

une équation linéaire où les coefficients a, b, c et le second membre M sont des fonctions données des variables indépendantes x et y. Pour que cette équation admette une intégrale intermédiaire dépendant d'une fonction arbitraire, on a vu plus haut (t. I, p. 94) que les coefficients a., b. c doivent vérifier lune au moins des deux relations ('')

■r- -\- ao — c =: o. — 4- ab — c = o.

C) Auteurs à consulter: Evier. Inslilidiones Calculi Inlef/ralix (t. III). — Laplace, Recherches sur le calcul intéf/ral aux différences partielles (.Mémoires de l'Académie; 1173). — UAneoux, Leçons sur la théorie [/énérale des surfaces (t. II; chapitre ii et suivants).

(') Ces conditions ont dabord été trouvées par Eider, en cherchant à ramener Téquation (1) à l'une des formes :

par un changement de fonction inconnue tel que : := ve" (Institutiones Calculi Integralis, t. 111. Pars prima. Sectio secunda.)

IKTéoRATlOM DBS ÉQUATIOÎtS. — Tume II. 1

Supposons, par exemple, que l'on ait

l'équation [i) peut s'écrire

En prenant pour fonction inconnue :^ \- a: ^ m, cette fonction u est

«lélerniinée par l'équalion aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

t|ui s'intègre comme une é(|uation difTérentielle et dont lintégrale générale est

u = e-f'-" j Y -^jMef'^ dx i

Y étant une fonction arbitraire de y. On a donc une intégrale intermédiaire, aver une fonction arbitraire de y,

(4) |+^. = e-/-JY+/M.>''rf.;j;

cette équation du premier ordre peut, à son tour, ôlre intégrée comme une équation différentielle linéaire, et finalement on obtient pour l'intégrale générale de l'équatiou (1) l'expression suivante

• (5) - = g- /■"'"' fx + Jj Y -{-fMef'"^ dx { e/"''^ " *"' dy\

avec une fonction arbitraire X de la variable a; qui ne figure sous aucun signe de quadrature, et une fonction arbitraire Y de la seconde variable y qui est engagée sous un tel signe.

On peut remarquer que cette expression est de la forme

z = a[x+/^Yc/i/]+Y,

a, p, Y di'signant trois fonctions déterminées de x et de j/, X et Y deux

LA METHODE DF-: LAPLAf.E

fonctions arbitraires de -r et de y respectivement. Inversement, toute expression de cotto forme représente, quelles que soient les fonctions a, p, Y, l'inlégrale générale d'uno équation de la forme (1), où les coefficients a, i, c satisfont à la relation (2). On tire, en effet, de la valeur de -

et par suite

A^iAf£.z:lV-o-

si l'on développe les calculs, on trouve bien une équation linéaire en ,v, p, </, z, dont la relation (6) est une intégrale intermédiaire avec une fonction arbitraire Y.

On voit de même que, si l'on a

(7) -r- 4- ab — 0 = 0,

l'intégrale générale de l'équation (1) est réprésentée par la formule

(8) zz=e-f'"" Ty +Jj X i-fMef""" dy j g/''--""'' dxV

Dans les deux cas qui viennent d'élre examinés, l'intégrale générale «le ré<(uation proposée, s'obtient donc par des quadratures. La solution du problème de Caucliy se ramène elle-même à des quadratures ; car, si Ion a, par exemple

r — \- ab — c

la connaissance d'une courbe située sur la surface intégrale, et du plan tangent en cliaque point do celte courbe, détermine la fonction arbitraire Y qui figure dans l'intégrale intermédiaire ('4) (\ ; n" 32). On est doiu- ramené à cbercber une intégrale d'une équation du premier ordre passant par une courbe donnée. Les seuls cas exceptionnels qui puissent se présenter pont ceux où la courbe donnée est située dans un plan parallèle à l'un des deux plans .r = o. ?/ = o. Remarque. — Lors(|u'on a à la fois

,, — k «6 — c = 0, ~ -\- ab — c = 0,

«>a7 ' oy ' '

i CHAPITRE V

l'équalion (l ; adiiiel deux inU'grnles inlerniodiaircs dislincles, di-poiidant chacuno d'une fonclioji arbitrai rc ; <m petit donc la ramener- à la forme j = o J ; n" 43). La vérilioalion est facile ; des relations prée»'dentes on déduit

ce qui montre que i et a sont les dérivées partielles d'une fonction V [x, >/) par rapport à r et à y respectivement,

V = fbdx + adi/.

En posant, dans l'équation (4), 2 = ve ~ '^ , on est conduit à l'équation

^'l' VM

oxcy dont l'intégrale générale est

v = r dxC MeVf/y -f X -f Y.