Lorsqu'aucune des conditions

■r- -{- ab — c = o, T — \- ah — c =■ o

Sa? ' ' oy

n'est vérifiée, l'équation proposée du second ordre n'admet pas d'intégrale intermédiaire, et la méthode de Monge ne permet pas d'olilenir l'intégrale générale. On doit à Laplace une méthode do transformation célèbre, qui permet, dans cçrtains cas, de ramener l'intégration d'une é(|uation linéaire de la forme (1), n'admettant pas d'intégrale intermédiaire, à l'intégration d'une autre équation de la même forme, pour laquelle il existe une intégrale intermédiaire ('). Une étude complète de celte méthode a été faite par M. Darboux dans le tome II de ses Leçons sur la théorie des surfaces; ]q me bornerai à en exposer les points essentiels.

i'j il c'invieut lie liiK- l'iiiarquer qu'avant Laplace Eulcr avait donné un grand nou)bre d'exemples d'équations linéaires, dont on peut trouver sotis forme explicite l'intégrale générale, sans qu'il existe d'intégrale intermi'diaire.

LA MKTIIODK DK LAHLACK Posons, fiour abréger,

'* = 5f + «*-^' /i =z ~ -{- ao — c,

et supposons que h et k ne soient pas nuls. I/cquation (1 i peut toujours s'écrire

(9) ^^ + bz, - hz = M,

en posant

10) z, = ~ + az.

L'élimination de ^, entre les deux équations (9) et (10) conduit naturellement à léquation (i) elle-même; si, au contraire, on élimine z, on est conduit à la nouvelle équation, de même forme que la première,

où Ton a

ii rt, =1^ a — — r — » . 6, = 6, c, = c — >^ -j- -- „ ^^. -, / Mo? /A , c^M

L'intégration des deux équations (1) et (11) constitue deux puoblèmes équivalents; si z est l'intégrale générale de i'é(iuation (1), la formule (10) permettra d'en déduire l'.intégrale générale de réquation (11). Inversement, si z^ est l'intégrale générale de l'équation (H), la formule (9) donnera l'intégrale générale de l'équation proposée

^^ + bz, - M

D'après les valeurs des coefiicients a,, b^, c^^ op a, pour la nouvelle

équation,

on ne peut avoir, par liypotlièse, h=:o, mais il peut se faire que Ton ait

de sorte que la nouvelle équation (11 j admette une intégrale intermédiaire. S'il en est ainsi, on pourra intégrer l'équation (11) et, par suite, l'équation proposée elle-même.

A cause de la symétrie de l'équation linéaire en x et y, on peut encore appliquer à l'équation proposée une transformation analogue à la première, en posant

ce qui conduit pour *^ à réf[uation

cx^y ^ ox ^11

avec les valeurs suivantes de a..,, i,, e^, M, :

^'x ' t)y ' dx ox

On a, pour cette nouvelle équation,

et on en déduit, pour ré(|uatirin 1 . un nouveau cas dintégrabilité, celui où l'on aurait

Remarque. — Les deux transformations de Laplace, que nous venons de définir, présentent avec les transformations de contact une différence essentielle. Tandis que toute transformation de contact, appliquée à une équation aux dérivées partielles du second ordre, conduit à une nouvelle équation du second ordre, les deux transformations

appliquées à l'équation (l), ne réussissent qu'à cause de la forme particulière de cette équation. Si Ton appliquait une de ces transformations à une é({uation de forme quelconque, on serait conduit, pour la nouvelle inconnue, non à une équation du second ordre unique, mais à un système de plusieurs équations d'ordre supérieur au second.

On peut remarquer encore que chacune de ces transformations peul se décomposer en plusieurs transformations simples; on peut écrire, par exemple,

z,-eJ ^^^.cJ j,

ce qui montre que la transformation est équivalente à la suite des trois suivantes

u = zef'""'. i;=^S z, =ve-f ''"•'■

dont la première et la troisième s'appliquent à toute équation du second ordre, tandis que la seconde ne réussit que pour des écjuations d'une forme particulière.

103. Pour continuer l'étude de la méthode de Laplace, nous remarquerons d'abord qu'on peut, sans diminuer la généralité, supposer M = o; car, si z' est une intégrale particulière de l'équation proposée, il suffit de prendre pour nouvelle inconnue z — z' pour être ramené à ce cas. Du reste, les propriétés que nous allons établir s'étepdent, sans modification essentielle, au cas où M n'est pas nul.

Les fonctions h et A, introduites plus haut, jouant dans cette étude un rôle fondamental. M. Darboux a donné à ces fonctions h et A le nom ^'invariants, qui est justifié par les propriétés suivantes :

Faisons d'abord dans l'équation linéaire sans second membre

(15) — - + a — 4-ir- + cz=o,

le chaugement de variables

on est cdiiduil à une nouvelle équation de même forme

dont les nouveaux invariants sont respectivement

Si l'on change x en y, e\. y en a;, on échange les valeurs de /i et de A. De même, si, dans l'équation (13), on pose z = Xy, X étant une^fonction quelconque de x et de y, on trouve une nouvelle éq\iatioa,^de même forme

les coefficients a, b\ c ayant les valeurs suivantes

ex ôy k oxoy

on vérifie sans difficulté que l'on a

-I- « /, c = - -f- ai - c, (18} ' "^ ''•^

On voit ainsi que les invariants de l'équation (16) sont respectivement égaux aux invariants de l'équation primitive (15).

Étant données deux équations linéaires, telles que (15) et (16), pour que l'on puisse passer de l'une à l'autre en posant z= /z', il est donc nécessaire que les deux équations aient les mêmes invariants. Ces conditions sont au£fii suffisantes ; entflet, si la transformation est possible,

les doux |)r('mit'res cqualions (17) donnent

'^ loff). , i) loi; À

et l;i condilidii d'intégrabilité

€st une conséquence des équations (18). La valeur de "k ainsi obtenue

, J(b-h)dx-r{a'-„),ly

satisfait aussi à la dernière des équations (17), comme le montre un calcul facile. On voit par suite que, si Ton ne considère pas comme distinctes deux équations linéaires qui se déduisent Tune de l'autre par une transformation telle que z = lz\ une équation linéaire est complètement déterminée, quand on connaît ses invariants. Il est en effet possible de trouver des formes réduites dont les coefficients peuvent se calculer au moyen des invariants exclusivement ('). Considérons en particulier une équation de la forme

— mz = o ;

ses deux invariants sont égaux et, par consé((uent, elle ne peut être prise pour forme canonique d'une équation linéaire quelconque. Pour qu'une équation linéaire puisse être ramenée à cette forme, // faut que ses invariants soient éf/au.v. La condition est d'ailleurs suffisante, car, si les deux invariants d'une équation sont égau.x à A, elle a les mêmes invariants que l'éfjuation

et, par suite, les deux équations se ramènent lune à l'autre.

104. Reventms maintcrfant à la transformation de Laplace. Soit (E) l'équation linéaire sans second njembre, à laciuelle on appli(iue cette transformation, (E,) l'équation linéaire de même forme que l'on en

(') Darboux, loc. cit., p. 26.

10 CHAPITHE V

dctiuit par la première Iransformalion de Laplace

-"« = r>y + ""'^ ( fci,; 1 équalion que l'on déduit de (E) par la seconde transformation

appelons de inème //, A; h^^ A, ; /<,, A, les invariants de ces trois équations respectivement. On a, d'après les formules obtenues plus haut (13) et (14),

Les invariants des deux équations (E,), (E,) ne dépendent donc que des invariants die l'équation (E); propriété importante, qui montre que, si deux équations (E), (E'i peuvent se déduire Tune de l'autre en posant z = Iz', il en est de mèmedes transformées cori'espondanles (E,), (E/) et(E,), (E',).

A chacune des équations (E,), (E, ) on peut évidemment appliquer de nouveau la méthode de Laplace, mais il est essentiel de remarquer que chacune d'elles ne donnera pas naissance à deux équations nouvelles. Prenons, par exemple, l'équation (E,)

et appliquons-lui la seconde transformation de Laplace en posant

en se reportant à la formule (9), et faisant M = o, il reste simplement

z' = hz^

de sorte que la seconde transformation, appliquée à l'équation (E, ), nous ramènerait à une équation qui se déduirait de (E) en changeant z en hz.

LA MÉTHODE DE LAPL.VCE 11

La première transformation, appliquée à réquation (E,), conduirait de même à nne équation qui se déduirait de (E) par le changement de z en kz. Si donc on rejjfurde comme équivalentes deux écpiations (pii se ramènent l'une à l'autre par le changement de z en X- , Tapplicalion répétée de la méthode de Laplace conduira seulement à une suite linéaire d'écpiations

...(E 2), (E.), (Ej, (E,), (E,)...

à indices positifs et négatifs, dans laquelle chaque équation fE,) se déduira de l'équation (E,,) par la premièi'e substitution et de l'équation (E,+J par la deuxième.

11 résulte de ce qui précède que deux équations de celte suite s'intègrent en même temps et, par suite, on saura intégrer toutes les équations de la suite dès qu'on saura intégrer l'une d'elles. D'une manière plus précise, si Ton sait résoudre le problème de Cauchy pour une équation de la suite, on peut résoudre le même problème pour toutes les autres équations de la suite. 11 suffit évidemment de prouver que ce problème se résout en même temps pour deux équations consécutives. Afin de simplifier les notations, considérons les deux équations (E) et (E,). Supposons qu'on veuille obtenir une intégrale de l'équation (E) passant par une courbe C, le plan tangent étant donné en chaque point

de cette courbe. Le long de C, x, y, z, — -> r- sont des fonctions données

d'un paramètre variable h ; quand on fait la transformation de Laplace

à la courbe C correspond une autre courbe C,. Comme l'équation proposée peut s'écrire

on connaîtra aussi la valeur de -^ le long de la courbe C,, et on aura ensuite la valeur de -r-^ au moven de la relation

On est donc ramené à chercher une intégrale de l'équation (E,) pas-

42 CIIAFITHK V

sant par la courbe C, et ayant un plan langent connu le long de cette courbe.

Si, en poursuivant l'application de la méthode de Laplacf, on arrive à une équation (Ej) ayant un invariant nul, on ne peut plus continuer l'application de la méthode, car cet invariant sera nécessairement hi, si » est positif, et la suite de Laplaee relative à léquation (l£) est limitée de ce côté à l'équation (E;). Dans ce cas, l'équation (E/) et, par conséquent, toutes les éijuations de la suite, s'intègrent par des (juadraturos; la solution du problème de Cauchy se ramène aussi, pour l'une quelconque des équations de la suite, à des quadratures. Il en serait de même si la suite se terminait à une équation d'indice négatif.

Les invariants des équations (E,) se déduisent des invariants h et k par l'emploi répété des formules (19) et (20) ; en appelant A, et A, les invariants de l'équation (E/) on a

ki + ^ = hi

et en faisant successivement i= 0, 1, 2..., on calculera de proche en proche les invariants des équations (E,) à indice positif. Pour calculer les invariants des équations à indice négatif, on emploiera les formules

où l'on fera successivement i = — 1, — 2, — 3 ...

lOb. Lorsquela suite de Laplaee relative à l'écjuation (E) se termine d'un côté, on obtient pour l'intégrale générale de cette équation une expression renfermant explicitement une fonction arbitraire et ses dérivées en nombre fini, tandis que la seconde fonction arbitraire figure sous des signes de quadrature. Remarquons d'abord que, si z, est l'intégrale générale de l'équation (E;) d'indice positif, d'après la façon dont on passe de l'équation (E) à l'équation (E,), l'intégrale générale de l'équa-

lion (E) est une fonction linéaire et homogène de 2^,, ^•'" ^» dont les

coefficients sont des fonctions déterminées de x et de y. Si l'invariant hi de l'équation (E/)

est mil, l'inU'grale jjfénôrale de celle «'quatioii csl de \i^ forme (n*> 101)

r, =y.(\-\-fp\-dyy

a. cl [î étant des fondions déterminées de a; et de t/, X une fonction arbitraire de x, et Y une fonction arbitraire de y. L'intégrale générale de l'équation (E) sera donc

(M; .- = A (X +J"Y?rfy) + A, (x' +J\ 3^ rfy) + -

+ A,(x»'+yY^^rf,),

A, A^, ..., Aj désignant aussi des fonctions déterminées do a? et de y. On voit que la fonction arbitraire Y est engagée sous plusieurs signes d'intégration, qu'il est en général impossible de faire disparaître. Si l'on suppose \ = o, on obtient une intégrale où figure une seule fonction arbitraire X

(2.4) î = AX + A,X' -f- ... + A,X^'){

sans aucun signe d'intégration.

Réciproquement, toutes les fois qu'une équation linéaire admet une solution de la forme précédente^ oi' X est une fonction arbitraire, la suite de Laplace relative à cette équation se termine d'un côté après i opérations au plus ').

lOn effet, remarquons dàbord cpie, si l'on substitue dans le premier membre de l'équation (loi une expression de la forme (24), le résultat de la substitution est de la l'orme

MX 4- II, X' + H.X" + ... H- H, + ,X" + ";

si léqujilion doit être vt-riliée, quelle que soit la fonction X, on doit avoir st'parémcnl II := H, =r= ... = H,+, = o. Autrement, en attribuant à y une valeur particulière n'annulant pas tous ces coefficients, on obtiendrait une équation linéaire pour déterminer X. En calculant les coeffi-

(' I-mm-mk, .Méi'ioiies (te l'.icadf mie des Sciences, 1773, art. VJI, p. 362.

i% CHAPITRE V

cienls H,, 11, + ,. qui sont seuls uliles, on trouve les conditions

Si dans la seconde relation on remplace -r— ^ par sa valeur déduite de la première, on trouve

Cela posé, appliquons à l'équalioa, (15) la première substitution de Laplace définie par la formule

daprès les relations établies entre A,, A,,, la solution de l'équation (EJ<jui correspond à la solution {-2i) de ré(|uation (K) ne contiendra plus les dérivées de la fonction arbitraire X que jusqu'à Tordre i — 1 au plus, elle coefficient de X''-''dansz, sera IxKi.

Par suite, en répétant l'application de la méthode de Laplace un nombre suffisant de fois, on arrivera à une équation (Ey) d'indice inférieur à i dont l'invariant hj sera nul, ou bien, après i opérations, on sera conduit à une équation (E,) admettant une solution de la forme

z r= AX,

et un calcul direct prouve que l'invariant A, doit être nul. I,a proposition énoncée est donc établie.

Remarque. — Etant donnée une expression de la forme