AX + A,X'+... +A,X
on peut toujours la mettre sous une forme analogue, où figurent une fonction arbitraire et ses dérivées jusqu'à un ordre aussi élevé qu'on le veut ; par exemple, en remplaçant X par X, -|- X'^, on a une expression qui renferme la dérivée X,''+<'. On dit qu'une expression de la forme (24) est de rang i -f i-par rapport à x, lorsque l'ordre de la plus haute dérivée qu'elle contient est i, et lorsqu'il est impossible de la
mettre sous une forme analcj^çue où ne figureraient (|ue des dérivées d'ordre inférieur à i de la fonction arbitraire.
Daprès ce qui précède, lorsque la suite de Laplace relative à l'équation (Ej se termine à une équation (E,) d'indice positif l'équation i'E) admet une solution de la forme (24). Celte solution est bien de rang i -\- 1 ; en effet, si elle pouvait se ramènera une expression de rang inférieur^" -f- 1 (i < î), l'application répétée de la première substitution de Laplace conduirait à une équation ayant un invariant nul après J opérations au plus, d'après la réciproque qui vient d'être établie.
106. En échangeant le rôle des variables x et y, on voit de la même façon que, si l'application répétée de la seconde substitution de Laplace conduit, après > opérations, à uneéquation(E y) ayant un invariant nul, l'intégrale générale est représentée par une formule analogue à la formule [-'S), où la fonction arbitraire X figure sous plusieurs signes d'intégration. L'équation proposée admet une intégtale particulière
^ = BÏ + B,Y'+ ... -f ByY
de rang j -\- 1 par rapport à y, et inversement.
Enfin, si la suite de Laplace relative à l'équation (E) est terminée dans les deux sens, d'une part à l'équation (E,) d'indice positif, d'autre p«rt à l'équation ( E y) dindice négatif, les deux fonctions arbitraires peuvent être débarrassées de tout signe de quadrature dans l'intégrale générale, qui est représentée par une expression de la forme
z = AX + A,X' -f- ... H- A,Xt'> -f- BY + B,Y' + ... -[-"b^Y")
de rang (i -\- 1) par rapport koc ei de rang^ -|- 1 par rapport à y. Remarquons que toutes les équations de la suite
ont pour intégrale générale une expression de même forme. Quand on passe d'une équation (E^-) à l'équation voisine (E^t+j), le rang de la solution par rapport à x diminue d'une unité, tandis que le rang par rapport à y augmente dune unité.
107. Proposons-nous maintenant de former toutes les équations linéaires dont la méthode de Laplace peut fournir l'intégrale générale. Le problème revient évidemment à former toutes les suites d'équalions
l(i CHAIMTHE V
linonires, se d«'"<hiisanl los unes des aiilrcs par la méthode de Laplace, cl qui sont lerniiiu'es dans un sens ou dans les deux sens.
Pour oblcnir une suite terminée dans un sens, il suflit évidemment de partir d'une équati<in ayant un invariant nul, et de former la suite déqualionsque l'on obtient par l'application répétée de l'une des transformations de I-aplace. Par exemple, en partant d'une équation (E), pour laqufll»' l'invariant h est nul et en appliquant la seccmde transformation, on formera une suite en général illimitée.
Il est plusdifticile d'obtenir toutes les suites de Laplace limilé-es dans les deux sens, car, si on part d'une éipiation quelconque ayant un invariant nul, la suite de Laplace sera en général illimitée dans l'autre sens. Je rappellerai succinctement la méthode employée par M. Darboux. Soit E) une équatinn linéaire
■r-rr- -\-a— -\- b — -\-cz —o.
ôxoy ôx oy '
pour laqutdle 1 invariant A := — -f ab — c est nul ; si l'on fait la transformation
z = de -/'"'",
on est conduit à une équation en 0
qui adiiit't une inlé^jrnlf inlermédiaire <le la forme
a étant une fonction déterminée de x et de y, et Y, uiie fonction arbitraire dey. Si la suite obtenue en appliquante l'équation (25) la seconde transformation de Laplace se termine après n opérations, cette équation admet une intégrale de la forme
(27) 0 = BY -h 13, Y' + ... -^ B,Y'">
où B, B, B„ sont des fonctions déterminées dea;el de y, Y une fonction arbitraire de y, et réciproquement, s'il en est ainsi, la suite relative à la seconde transformation de Laplace se termine après n transformalions au plus.
Tout revient donc à exprimer que l'équation (25) admet une intégrale
de la forme (27). En substituant cette expression de 6 dans l'intégrale intermédiaire (26) et attribuant à x une valeur numérique quelconque, on reconnaît que les deux fonctions arbitraires Y et Y, doivent être liées par une relation de la forme
(28) Y, = XY + >,Y' :f- ... + X,^,Yf" + '»,
X, X,, ..., X„4., désignant des fonctions de y déterminées.
SI l'on remplace 6 et Y, par leurs valeurs dans l'équation (26), on devra donc avoir
^(BY 4- B,Y'-h ... -f B.Y^> = a O.Y -f À, Y' -f- ... -f À.^iY"^"),
et cela pour toutes les formes possibles de la fonction Y. Pour qu'il en
soit ainsi, il fautévidemment que les coefficients de Y, Y',..., Y "'''soient égaux dans les'deux membres, c'est-à-dire que l'on ait
Bfl = 2X„ + ,.
En éliminant les quantités B, on trouve que a doit satisfaire à l'équation
,X - 1 f ,X, ) -f ;^ [^.;- . .. 4- f- 1)- « ilii (aX„, ,) = O,
qui est linéaire et d'ordre 'n -\- 1^ par rapport à x; tous les coefficients étant des fonctions de y, on en<;onclut que a doit être de la forme
(29; a = ^,y, -f ^.ya +... + -^z. + , y/. + ,,
Xf^ X2,...,Xn^idésiffnanl des fondions de la variable x, et y,, Vj.-. y/i*i rfej fonctions de la variable y.
Il est facile délablir directement que, si a est de cette forme, on peut trouver sous forme explicite l'intégrale générale tie l'équation f23) qui
IXTÉGWATIOX DES É0C.\TIORS. — TomC îl. 2
18 CHAriTRE V
peut aussi s'écrire
En effet, linlograle générale de celte équalion a pour expression
0 = X +JaY,(/y,
ou, en remplaçant x par sa valeur (29),
0 = X -f- .'•,///, Y, (/</ + ^r,jy.^\^d>/ + ... ■{- o^n^^ Jva^i^ ^dy ;
nous allons montrer que Von peut mellrc la fonction arbitraire Y, sous une forme telle que les [n -j- i) intégrales
(30) Ji/,Y,^(//, Jy-i^tcly, ... yî/,. ,,Y,</y
s'expriment explicitimcnt au moyen d'une fonction arbitraire Y et de
xes dérivées jusqu'à l'ordre n.
Y.' En remplaçant Y, par — ^? Yg désignant une nouvelle fonction arbi-
trair»', on fait disparaître la première (luadralure, car on aura et il restera seulement n intégrales
(31) J^Y^rf,, ji^YWv, ... /^v.''y;
d'ailleurs, on peut écrire, en intégrant par parties,
cl, en appliquant le même procédé aux autres intégrales (31), on ramène ainsi les (n -j- I) intégrales (30) à n intégrales de même forme renfermant une fonction arbitraire Yj. En répétant n fois de suite la même
LA MKTHODF-: DK LAPLACK 19
(rniisfniiuiilidii, il est rl;iir findii fcr;i ili^iiaraîli'c tmis les si<,'-iu'S 4riiili\4riili()ii, cl les • >i -\- 1 i iiilcgialfs fonsiiJéi'écs s'expriineront de la fa(;(m aimoiiccc ' .
11 est csseiiliel Je i"emat'(|iicr (|ue, si les fondions ./•,. .z'.^, a;.^, ..., r,,^, ne soiil jtas liiiéaiienicnf dislinctes. la suite de La()lace relative à rc(|ualion {'lo se lerniineni avant h opérations. Si on a, par exemple, une relation de la l'oiMne
C^x^ -}-... + C.,rV„,
OÙ C,, Cj, ..., C„ sont des constantes, en remplaçant x„ + , par celte valeur dans lexpression de a, il vient
on voit (|u'on i4 une expression du même g'enre ipie la première, où entrent seulement n fonctions de .'• et n fonctions de //. On pourrait obtenir une réduction analogue si les [n -fl) fonctions y,.?/.,, ..., y„+^ n'étaient j»as linéairement distinctes.
108. Pour donner au moins un exemple de la thc-orie générale, reprenons lecpiation aux dérivées partielles des surfaces minima. On a déjà remarque qu'on peut ramener celte éqifation à une équation linéaire de la forme considérée ici par une transformation de contact convenable (I, n° n(> . C.cll»' transformation de contact revient, au fond, à prendre les variables introduites par M. Bonnet dans la théorie des surfaces (-\ Écrivons l'étpiation dun pli.n tangent à une surface
; étant une fomlion des variables a, ,8; daprès la formule qui donne les rayons de courbure principaux, la somme de ces rayons de courbure sera nulle, jiourvu que la fonction ; vt-rilie l'équation
Pour appliquer à celle équation la méthode de Laplace, écrivons-la.
('} Pour plus de détails sur les é<|ualions linéaires dont la suite de Laplace est terminée dans les deux sens. ain>!,que pour rhisfori(|iie. je renverrai le lecteur à l'ouvrage de M. Darbuux. Je dois cependant rap[u'icr (|ue le prolilème a d'abord été résolu par M. Mnutnrd, dans un .Mémoire inédit présenté, on 1870, à r.\cadéniie des Scii-nces.
f'-'j l)\nKorx. Tlii'orie f/éuérale des surfaces, t. I, p. 2 «4.
50 CHAPITUE V
vn divisant par 2 -- fJ ,
c^x I i\3 "^ a — fl i a — îi I c^fî "^ ï — (i I "^ (x — ff^ ~ °'
cl pr.^ûn<
^« — ^rJ +
léquation devieni
lii — 5'— 4.
p ' (x - [i)-^ L'élimination de ; conduit à une équation en ;,
î<x:^(i" X — fi "T~(7..— [ij'«~ °'
ou
?a PfJ X — [i ) a — p I c^fi a — fi I
dont l'intégration se ramène à celle des deux équations du premier ordre
^[i- X — p "~ ■ De la première on tire
'} (P; étant une fonction arbitraire de p, et Ion a ensuite
2o (x) 4-^/4. (PH^-PW •
Çi =
— fi
f (i) étant une fonction arbitraire de a.
En remplaçant •} (P; par (]/'" (p), on peut effectuer la quadrature, et il vient
^. = 2 ^'^' j^^^'^^ + ^' (P; + (a - p; ;" ,pj ;
on a ensuite
i. (i-iL!^
'~ 2 '* 2 Da
= (a - ?) I .f iP) - cp' (a) j 4- 2cp (a) + 2| (f);
on en déduira aisément les expressions de x, y, z en fonction de a et de p, (a;, y, z) étant les coordonnées du point où le plan variable (32) touche son enveloppe.
Il était évident a prtùn, d'après la symétrie de l'équation (33) en (a, P) que, si la suite deLaplacese terminait d'un côté, elle devait se terminer aussi dans l'autre sens, après le même nombre d'opérations.
109.Etantdonnéeuneéq«alion linéaire delaforme considérée, on peut, en partant des invariants A et A de cette équation et en appliquant les formules de récurrence établies plus haut, calculer de proche en proche les invariants des équations successives que l'on obtient par l'application répétée de la méthode de Laplace. Mais les expressions de ces invariants en fonction de h et de k deviennent très rapidement compliquées, de sorte qu'il parait très difficile de reconnaître a priori, sur une équation déterminée, si l'application de la méthode de Laplace con- <luira à une écjuation intégrable. Dans un grand nombre de problèmes de la théorie des surfaces, l'application de la proposition suivante permet d'affirmer d'avance que certaines équations linéaires sont intégrables par l'application de cette méthode.
Si, entre n -f- 1 intégrales linéairemenl distinctes de réqnalion
r—r- -\- a ~ -\- h — -\- cz = o,
il existe une relation linéaire et homor/ène dovt les coefficients sont des fonctions d'une seule des variables œ, y, la suite de Laplace relative à cette équation se termine dans un sens après n — l Iransfornialihns au plus{').
Nous disons que n -\- l intégrales sont linéairemeyit distinctes, s'il n'existe entre ces intégrales aucune relation linéaire et homogène à coefficients constants, où quelques-uns des coefficients sont différents de
(1) Voir mon Mémoire Sur les équations linéaircf! et la mélliode de Laplace {American Journal of Maffiematics, vol. XVIII). M. Darboux iivail déjà traité quelques cas particuliers et posé la question générale dans le tome IV de la Tftémrie yénérale des Surfaces.
22 ciiAriTRi-: v
zéro. Lorsqu'il oxisle entre n -|- ^ inléj^rales linéaiiiiiionl dislinoles une relation linéaire et homogène dont les coefficients ne d«''pen(Jenl que d'une seule des variables, de //, par exemple, on peut supj)oser cclU' relation résolue par rajtport à l'une des inlég'rales et l'écrire
:{i c„ + , = <p, {y\ j, + <Pj (//) z.^-\- ... -\- =>„ {;/} z„
z^. -, c„^, élant les n -\- \ intégrales dont il s'agit, et
?{ \y)y ?3 ^y ' •••' ?M (y) ^^^s fonctions de y, que l'on peut aussi, sans diminuer ^a généralité, su])poser linéairement indépendantes. S'il existait, en elï«'t. une relation telle que
=-/! .'/; = ^>.?) y] + ••• + C„,3>„-, iy) H- C„ où C,,Cj, ..., C„ sont des cûnslantes, l'équation 34) pourrait s'écrire:
^n^\ »-/i-/i ^^ Y'i (.y) \^ \ ~r '^i'""; ~r ••• ~r yi-i ''/) (-^"-t i ^'«-c^/») et l'on aurait une relation de même forme entre n intégrales seulement
On peut aussi supposer qu'il n'existe, entre les intégrales r,, Z.J, ..., Zn + ,, qu'une seule relation de la forme (34); car, s'il en existait deux, l'élimination de Zn ^ , conduirait à une relation de même forme entre n intégrales seulement.
Cela posé, vérifions d'abord que la loi est vraie pour?/ = 1 et pourn:= 2.
Si » = i, la relation (34) s'écrit
en posant, dans l'équation proposée, z = z^k, on est conduit à une équation en u qui doit admettre les deux intégrales u, = I, Wj ^= ?< [y)^
ce qui exige que le coefficient de u et le coefficient de r" soient nuls. Un ^ ^y
des invariants est donc nul pour cette équation en u et, par suite, pour l'équation en z.
Si n =-. 2, la relation (34) est de la forme
Cette relation exprime que z^, z.^, z^ sont trois intégrales particu-
LA mi':thode DK LAPL.Vr.E 23
Hères d'une équation du second ordre de lu forme
où A et [j. sont des fondions de ,/• et de .y, et nous avons à rechercher les conditions pour que léquation (33i et 1 équation proposée
' (36^ r-^ + a— ^h — ^cz=o
admettent Iroi^ intégrales communes linéairement distinctes. En difTérentiant l'équation (35) par rapport à //, on trouve :
c.r^ôy ' cxôy ' ^ oy oy Ox ' oy
en différcntiant de même l'équation 1 36 1 par raj)port à a;, il vient
;)3r , ^^- , . ^^^ , ^- / , ^«\ , ^^ ^^ , ^c cx-^y c>a;^ .>xv// Ai- \ c^.r/ oa' ôy ' Jj;
En égalant les deux valeurs de . ..^ et en remplaçant ensuite r-^^ par ® dx^oy '■ d.x^ ^
/ ^3- \ ^^z ( ?>s- tV A
— ( X r— 4- u3^ ) et - , par — a — + ^ T~ + ci l» on aboutit a une \ ^x ' ) ^x^y ' \ <>x ' dy ' /
nouvelle équation
( 4- r- + <îa — Xc + ic — T-
ir = 0,
qui doit être vérifiée par toute intégrale commune aux deux équations (35) et (36). Si le coefficient de y- n'est pas nul, on en déduira, A et B étant des fonctions de x et de y,
oy ' ox
cette équation et celles qu'on en tire par des différentiations succes-
î)' + ^z sives permettent d'exprimer toutes les dérivées ^ ^.^ ^ au moyen de z.
2i (iiAi'iTitn V
r-» •••! r — » ••• I) autre part, 1 fcuualion (35; et celles qu'on en déduit ^x ex" ^
en difTi'ientiant par rapport à x donnent toutes les dérivées r-y, au
moyen de a:, y, *,.^' H suit de là que, pour une intégrale commune
;iux équations (35) et (36), on connaît les valeurs de toutes les dérivées
^z en un point (^o'^o)' ^^^ qu'on connaît les valeurs de ^^ et de t— en ce
point. L'intégrale générale de ce système ne dépend donc que de deux constantes arbitraires au plus; et, comme les équations sont linéaires, elles ne peuvent admettre plus de deux intégrales communes linéairement distinctes.
Si le coefficient de r- est nul, sans que celui de r- soit nul, l'équation (37) est de la forme
ex
l'intégrale générale de cette écjuation est de la forme 2 = ;r'Y, Y étant une fonction arbitraire de y, et z' une fonction déterminée de x et de y. 11 y aurait donc entre les trois intégrales z,, ^21 ^3^ deux relations telles (jue
et nous ix'tombons sur le cas (jui vient d'être examiné.
H laiit donc que l'équation (37) se réduise à une identité, ou que
l'on ail
v + au — c = <- > ^!/ ^^'
— -f- a\i. — AC + 6*0 = r- , cy ' ' ex
l'élimination de X et a entre ces trois équations conduit à une équation de condition entre a, i, c.
Pour faire celle élimination, considérons l'invariant h de l'équation linéaire
/r = -- -j- ai — c ; ly
on a
ex tVi*i/ ' ex ex ex
LA MÉTIIODK DE LAPI.ACE îo
Des équations "Ài^ on tire
?xdy l'y t)j/ Oy i^y
et, eu reiiiplaçant \ ^ > r-' r-' r- par leurs valeurs, il reste, toutes ^ ôxoy ox ox ox ^
réductions faites
ox D'autre part, on a aussi
2A — ;{~2 — — — 4-aô — C=:2r- — r-. 0// Oa^ ' t)î/ c'3/
€t, par suite,
ix^y
Or, cette relation exprime précisément que l'invariant A^ de l'équation (E ,), obtenue par la transformation
est nul. La suite de Laplace se termine donc d'un coté après uh€ seule opération.
110. Passons maintenant au cas général et supposons, comme on peut le faire, qu'entre les {n-{-i) intégrales ?, , ^j, . . . , z„ + , , il existe une rela-i tion et une seule de la forme (34). Dans ces conditions, les n-j- 1 intégrales z^, z.^, ..., Zn + i vérifient une même équation linéaire dordre n
(39; jj; + A,j;^ + ... + A„.,^. + A„. = a,
où les coefficients A^, ..., A„ ,, A,, sont des fonctions de xv\. de y, et ne vérifient aucune équation de même forme et d'ordre inférieur à n. En diflércntiant l'équation proposée (36) par rapport à x, plusieurs
fois de suite, on peut exprimer.r-^— i ^ „, > •••> „, en fonction de ' ^ ^ 'ÔX01J ox^oy ox"dy
X, y, s, r-t — • • -1- — De même, en différentiant l'équation (39) par . ' ' ' ' ^y cV ^.x-" INI
iO ciiAi'iriU': v
rapport f» »/, il vient
--i Ion remplace ensuite dans celle relation r — r— ' ••■) ;— r- et enfôn r-— par leurs valeurs, il reste une ('(jualion de la forme
-W Co ^r::;r:^+ C. ^-;;;rT^ + ... + c„,. + D ~ = ^-^
qui est véritlée par toute intégrale commune aux équations (36) et (39). Si D n'est pas nul, celle équation (40) et celles qu'on en déduit par des dilTérentialions successives permettront d'exprimer toutes les dérivées partielles de z au moyen de z et de ses dérivées prises par rapport à la variable x seulement. L'équation ;39) et celles qu'on en déduit au moyen de ditTérenliations successives par rapport à x donnent d'ailleurs toutes les dérivées par rapport à .r en fonction des (n — Il premières. Il suit de là que, si z est une intégrale commune aux équations (36) et (39), toutes les dérivées partielles de cette fonction en un point {x^^, i/^) sont connues, dès qu'on connaît en ce point les
valeurs de -, r-' ""'^~;r~T ^- 'n'égrale générale du système formé par les é(|ualions (36 et (39 dépend donc de n constantes arbitraires au plus, et, comme ces équations sont linéaires, elles ne peuvent admettre « -}- 1 intégrales linéairement distinctes.
11 faut donc ([ue l'on ait D = o, et alors l'équation (40) doit se réduire à une identité; s'il en était autrement, les intégrales s",, ^2' •••' ^n+« vérifieraient une équation linéaire de même forme que l'équation (39) et d'ordre inférieur à n ; ce qui est contraire à l'hypothèse.
Si la relation '40; est vérifiée identiquement, comme cette relation a été obtenue en combinant linéairement l'équation (36) et ses n — 1 pre7 mières dérivées par rapport à x, l'équation (39) et sa dérivée par rapport à //. on a une identité de la forme
^^*)"lfa^ +^' dc"--^ ^ + ...+«„-,'I>(z) + p,-^+p,F(^)=o. en posant, pour abréger,
* (^) = r-T- -\- a r- -\- b ^-{-cz, ^ ' i^.rJî/ ox Cl/ '
a,, a^, ..., a„ ,, p,, Pj désignant des fonctions de x et de y, dont nous n'écrirons pas l'expression, qui nous sera inutile. On dit alors que les équations (36j et (^39) forment un système un involudon.
Cela posé, nous allons montrer que, si une équation linéaire (36) forme un système en invohition avec une équation linéaire d'ordre n telle que Vèquation (39), une des équations obtenues par Vapplication de la transformation de Laplace forme un système en involution avec ure équation linéaire d'ordre n — 1.
Si on remplace 2' par z'e-J'"'^, l'équation proposée (36) se change en
une équation de même forme, ne renfermant pas de terme en ^-- Pour
'7/ ne pas multiplier les notations, nous supposerons qu'on, a effectué d'abord cette transformation de telle façon qu'on ait
Dans l'identité (41), le coefficient de . — r— est 3, + 1 ; on doit donc
ox"^y
^^ , , dF jz]
— provenant de — r-^ >^/ di/
le coefficient est — A„. Il faut, par conséquent, qu'on ait A„ = 0, et F {z) ne renferme pas de terme en z
avoir 8 — — 1 ; il n'v a qu'un terme en ^ provenant de — -r^' dont
Appliquons maintenant à l'équation <t> [z'j =z o la transformation de Laplace
la nouvelle inconnue u doit satisfaire à l'écjuation
^ , , (>^ii , ^u îlogci)u , / . ^a i^loffc
et l'on a identiquement
/.Q\ rf* (z) î^logC^ , , ^ . V
i8 CIIAIMTHK V
I/éqnation F (z) = o devient de même
F. ("^ = 5;;:;rT, -r a, ^;p^ -f ... -f \.,-iu =^ o.
En dilTérenliant l'équation (42) plusieurs fois de suite par rapport a a?, on en déduira > — TTj ' *"' — .,, exprimées au moyen
de 4> yi), *, (u), — -~ — ) •••) — \^.^ ; l'identité (41) devient, après la substitution,
Si Ion y remplace u par r^» le seul terme en z est yc ; il faudra donc que l'on ait f = o, c'est-à-dire que les deux équations
forment aussi un système en involution. Le raisonnement suppose toutefois que c n'est pas nul, c'est-à-dire que l'invariant k de l'équation proposée n'est pas nul. Mai%, dans ce cas, la suite de Laplace s'arrêterait à l'équation elle-même.
En répétant la même transformation sur la nouvelle équation 4>,(w) =o ou (E <!, et ainsi de suite, ou bien on arrivera à une équation (E -/}, l'indice J étant inférieur k n — .1 , pour laquelle l'invariant k - j sera nul, ou bien on arrivera à une équation (E, „) formant un système en involution avec une équation du premier ordre. L'invariant A, „ sera évidemment nul, car celle équation pourra s'écrire
u étant le premier membre d'une équation linéaire du premier ordre. Dans les deux cas, la suite de Laplace est limitée du côté des indices négatifs, après n — 1 transformations au plus.
111. La réciproque de laproposition générale, qui vient d'être établie, esta peu prés évidente. Si la suite de Laplace, relative à l'équation (E), se termine à l'équation (E, „), elle admet pour intégrale une expression
LA MKTirODE DE LAPL.vr.E
de la foinic
-=rBY + B,V-f-... +B„,Y''-^
B, B^, ..., B„ , étiiiil des fonflions déterminées de x et de y, et Y une fonction arbilrairode//. Remplaçons Y successivement par (tî -f- 1 ) fonctions Yp Yj, .... Y„+ ,, choisies de telle façon que les iTitéprales correspondantes ^,.:7.j, ...,3-,, + , soientlinéairemenl distinctes. Entre lesfn-}-! ' équations qui donnent z^, z.^, ... z^ + ^, on peut éliminer B, B,, ... B„ ,. de sorte que ces n -f- i intégrales particulières vérifient la relation
Yo
dont tous les coefficients ne dépendent que de la variable y.
Si la suite de Laplacc relative à l'équation (E) se termine à une é(jualion (E^), où [j. < n — 1, elle admet une intégrale de la forme
