BY + B,Y' + ... B^Y

B, B,, ..., BpL étant des fonctions déterminées de .>• et de //, et Y une fonction arbitraire de y. Soient, en outre, i\, r^, ..., r„,x-t des intégrales de l'équation (E; cp'.i ne rentrent pas dans la forme précédente. L'expression

z=. C,r, -f ...-f C„p,-, i-„^, ^BY4-B,Y'+...B^YW

est au&si une intégrale, quelles que soient les valeur.s des constantes C,, ..., C,..p.4. Si Ion attribue à la fonction Y successivement [n -j-l'j formes différentes et que Ton prenne en même temps pour les constantes Cp ..., C„(jL,, {n -\- 1) systèmes de valeurs différentes, on obtient (n -f- 1) intégrales -ji^s-j, ••., ■2',i + ,, entre lescjuelles existe une relation linéaire de la forme

ri

30 LHAlMTHi: V

dont les oocMicienls no dcpcndt'iit <jue de y. Il est clair qu'on peut toujours choisir les constantes C.'; et les fonctions Y,, Y2, .., Y„ + ,, de telle fa<;on (jue les [n -\- 1) intégrales;:,, C2,...,^n + 4 soient linéairement dislincles el que les coeflicients de la relation précédente soient différents dt> zéro.

112. Pdurdunner une application du théorème qui précède, reprenons le problème de la détermination des surfaces à lignes de courbure planes dans un système et supposons (ju'on se donne sur la sphère de rayon i une famille de cercles, (jui sont les imag-es sphériques des lignes de courbure planes de la sui'face cherchée (1, p. 136-145;. Si l'on écrit ré<|uation du plan tangent à une surface sous la forme (')

(a + ^) X + i (^ - a) 2/ + afi - 1) ^ + ; = o,

l'étpiation différentielle des lignes de courbure est

et les cosinus directeurs de la normale à la surface ont pour valeurs

I.a dclriiiiiiialion des suifaces admettant une représentation sphérique donnée pour leur.s li{,^nes de courbure se ramène donc à lintégration dune équation «le la forme

on a déjà remarqué f|ue, si l'on prend deux nouvelles variables p, p,, telles que les courbes p = C'*, p, = C* représentent respectivement les deux familles de courbes sphériques orthogonales qui sont les images sphériijues des lignes de courbure '\^ p. 144 . l'équation '45) prend la forme

('; Darbolï, Ihéoi-ie des Surfaces, t. I, p. 2i6.