I.V MI^nilODf-: DE I.AI'LICK

a ci fj l'taiit (les foiiclictiis de o cl de ,--,. (^ela posé, si le.i courbes ç z= C" sont dfs cercles, il cxisle doux combinaisons inlt'graMfs [)()nr les é« (nations dilTérenlielIcsdece syslùnie de cara(l«Tisli<|U{'s l,'|t.|i 4i 145) ; l'une iTclIes est (ff> = o, et par suite l'équalion (46) admet une intégrale intermédiaire de la foi-me

Il en résulte que l'invariant k = — + ab rclatil ;i 1 é<|ualion [M) doit

être nul, cl la suile de Laplace relative à celte ('qualion est limitée d'une pari à l'équation elle-même.

D'autie part, lorsque p reste constant, le point de coordonnées (c, c', c") décrit un petit cercle, et par consécjuent on a une relation de la forme

'■?( (?) + ^''fa {?} -f ^'"^a (p.) + 9-i (p) = Oi

zn (p), Oj (p), (f3 (p), cp^ (p) ne dépendant que de p ; en remplaçante, c', c" par leurs valeurs (44), on obtient une relation de même forme

(^ ') «P'fi (p) + «-h (p ' + Ph (p) -f -f'. '» = 0.

Or, quelle que soit la fonction X (a, fl), l'équation (43) admet les quatre intégrales a3, a, p, 1 ; il en est évidemment de même de l'équation (46). Par conséquent, d"aj)rès le tliéorùmc général qui vient d'être démontré, la suile de Laplace relative à cette équation doit se terminer, après deux transformations au plus, à une équation d'indice positif. lùi réunissant ces résultais, on voit que l'intégrale générale de ré(|uation (46), dont dépend le problème, a pour expression

A, B, Bp Bj étant des fonctions déterminées de p et de p,, o (s) une fonction arbitraire de p, ^ (p,) une fonction arbitraire de p,. 113. l'oute équation linéaire de la forme

(48) Ar + 2B.S- + Cl + Djo + Ery + F.- + G = o,

où A, B, C, D, E, F, G sont des fonctions quelconques de x et de y,

poul ùlre ramenée à In forme

pourvu que B^ — AC ne soit pas nul (l, n' 51 . Il sufTil de prcmlre pour nouvelles variables u et r, deux fonctions do .r, ;/, satisfaisant respectivement aux deux relations

Cic ^y Ar ^ oy

), el )j désijrnant les deux racines de réqualion

\r- — 2BX + C = 0.

Legendre a montré (') qu'on peut appliquer directement à l'équalion (48 une méthode analogue à celle de Laplace, sans »*tre obligé de faire la transformation qui précède. M. Imschenetsky a présenté le procédé de Legendre sous une forme très simple.

f/un au moins des coefficients A, C étant différent de zéro, supposons, par exemple, que A ne soit pas nul. On peut alors diviser par A el écrire réquation

(50) r + (À, + X, ; s 4- A,l.,t -f D/) + Eç + F-? -f- G — o,

D, R, F, (} n'ayant plus la même signification. Posons alors

X if) --- ^ + À, r' ^(fj=T- + ^ T^'

ex ^ oy ^ ' ox * cy

d'où on tire inversement

On aura aussi

f) nUloire de l'Académie des Sciences; 1787. — Mémoire sur l'intégration de quelques équ^liont aux ill/férences partielles, l IV, p. 319 à 323.

de sorte «lue p, 7 et r + [\^ + l.,) s + X,À,; peuvent s'exprimer linéairement au moyen do

Xi-), \{z), X[Y(z)], et l'équation proposée peut être mise sous la forme

(52) X [Y(^)] + aX (-) + b \[z) -h cz + M = o,

«,6,c,M étant des fonctions de x oi de >/. On peut encore écrire cette équation

X\y{z)+az\+b |Y(î) + a-| +z \c-ab-X(a) | + M --= o ;

si le coefficient de z est nul,

h =z \ [a) -{- ab — c = o,

l'intégration de cette équation revient à rintéo:ration de deux écjualions du premier ordre successivement,

et l'équation (52) possède une intôgcale intermédiaire dépendant d'une fonction arbitraire.

On obtient un nouveau cas d'intégrabilité en intervertissant l'ordre des opérations X et Y ; des relations (ol) on déduit

X[Y (/•)]- Y [X(/-)j = iX(X,) -Y(X.)|3^

= u [Y {/) - X (/•)], en posant

XfX,)— Y(X,)

et l'équation (52) peut encore s'écrire

(53) Y [X (z)] + (a - u.) X (r) + [b + u) Y (z) + cz + M = o,

ou :

+ [C — (rt — a) (i + u) — Y (A 4- (x)] s- + M := o.

l.NTÉon.VTIOX DES ÉQUATIONS. 3

Si la quantité

A = Y ,6 -{- ul -f (rt — ji) ^i ^ jjL^ — e

est nulle, Tinlt-gration de léquation proposée se ramène à rintégration de deux équations lUi premier ordre successivement,

Y (m) -f- \0 — jjl! » + m :^ O, X (-j)-l-(A-fa)^ =U.

Les quantités que nous avons désignées par h et k

h = X [a] -\- ab — c ]{ = Y [b -|- ;x) -f- (a — (x) (ô -f ix) — c

jouent donc le même rôle que les invariants qui sont désignés par les mêmes lettres dans la théorie de 1 équation réduite

« -j- rt/) -|~ ^^Ç -(- CZ r± o.

114. Si h n'est pas nul, on est conduit à une équation de même forme que la première en prenant pour nouvelle inconnue

z^ = Y (2) +az; l'équation proposée peut, en effet, s'écrire

X (2 J -\.bz,-{-U — h2 =0,

et l'élimination de z conduit à une équation du second ordre en Zfy

où l'on a :

i a^ = a -\- \L — \ (log A), b^=h — y.,

(55) c, = c - X (a) 4- Y (i) - ÔY (log h), ( M, = Y (M) 4- M [a - Y (log h)].

Les valeurs des quantités analogues k h el k pour la nouvelle équation sont respectivement

et ne dépendent, par conséquent, que dp h, A, y..

LA MKTHODK DE LAI'I.Af.K 35

De uit'uie, si /; n'est pas nul, en ap|»lit{iianl à léqnalioM proptisi'-e la li-wnsformalion

on osl condnil à nue ('••piafion chi second orcli-c pour d«*t('iiiiiiu'r i"-,,

57' X 'Y (z^^ i] + a,X 3', -f- b-^\ (z^^)^\-(-^^ z, +^^-1 = 0| avec les valeurs suivantes de rt|, />,, c,, M^,

a,=r:a — uL, i,=i -}-,"• — ^ (log A), /-gN e. , = c + ^ a~ ]x — Y(i + |x) — (a — u'iX Oog A), ' M -. , = X (M) + ;è + ;x — X (log k)\ M.

On a pour la nouvelle équation :

^ ' I A, =2yt-// — VrX(l(,gA,]-f.uXaogA) + X(»-f-Y(aj— V-

Si à chacune des équations 54), (57), on applique la même méthode, on forme une suite linéaire d'équations

... :E 2, .■E,^ (E), (E,),, (Ea),

les quantités //, et A,, relatives à liéquation (E,). se calculeron^de proche en proche par l'emploi répété des formules (%6) ou (69\ suivant que l'indiee i est positif ou négatif.

On peut donc reconnaître directement, sans avoir à effectuer aucune intégration ni aucun changement de variables, si, au bout de n transformations de ce genre, on sera conduit à une équation intégrable. Supposons, par exemple, qu'au bout de i transformations, on arrive à une équation (E,) d'indice positif, pf>ur laipiclle hi est nul. Cette équation peut s'écrire :

X [Y {z.-) + a,z,] + A, Y (z,-) -\- a,Zi] + M," = o, ,

et, pour obtenir l'intégrale générale, il faudrait intégrer successivement les deux équations du premier ordre

36 (.H.M'IIHK V

L'inlrgralioii de res équations aux dérivées partielles du premier ordre se ramené, à son tour, à l'inlégratioii des deux systèmes d'équations différentielles

fi.r (ly — du

\ À, biU -\- M,

clx dy — dz,-

{ Àj ajZ, — «'

on est donc toujours obligé d'intégrer les deux équations différentielles du premier ordre

dy — \^dx = O, di/ — \^dx = G,

c'est-à-dire de déterminer les caractéristiques de l'équation linéaire (48) quil s'agit d'intégrer. Le seul avantage du procédé de Legendre, c'est qu'il permet d'appliquer la transformation de Laplace avant d'avoir effectué la détermination des caractéristiques.

115. Les formules de récurrence établies plus haut pour calculer A,, k,, de proche en proche, sont d'une forme plus compliquée que dans le cas

d'une équation ramenée à la forme réduite, où ne figure que , ^

parmi les dérivées du second ordre. Ceci tient à la présence dans ces formules du facteur a, ou encore à celte circonstance que les deux opérations X / ; et Y [f) ne sont pas, en général, permutables. Mais il est facile de voir que cette différence est plus apparente que réelle et qu'on peut remplacer, sans rien changer à l'exposition précédente, X (/") et Y Y par deux opérations permutables. Posons, en effet :

X, [f] = aX (/• , Y, ■f) = !iY (/•),

a et p étant deux fonctions (juelconques de x et de y\ on aura

X, [Y, (/•)] = .X (p) Y (/•) + apX [Y (/•)],

Y, [X, (/;,] = pY(.)X{/-) + a?Y[X (/•):,

et, par suite,

x.'Y, y >Y,^x,7 ^r^aXfpn'r/^-pYfa^Xf/'i-'^^i^ixrn-Yiy)!

puisijue l'on a, par iiypotliése,

Pour que los deux opérations X, (/") et Y, (/" soient permutables, c'est-à-dire pour que l'on ait identiquement

il suffira de prendre pour a et [î deux fonctions satisfaisant respectivement aux deux relations

X (log p) = — (x, Y (log a) = — (X -^

les fonctions a et p étant ainsi déterminées, l'équation du second ordre proposée peut s'écrire aussi

o, J, c, M n'ayant plus la même signification que plus haut, et l'on peut répéter sur cette équation tous les raisonnements qui ont été faits sur l'équation

<'n remplaçant partout y" P^^" X, (/") et :^ par Y, (/")(')• lX <.y

116. Tous les raisonnemennts qui ontété faits jusqu'icis'^appliquenlaussi bien aux valeurs imaginaires des variables qu'aux valeurs réelles. Lorsque les coefficients de léquation (■48) sont des fonctions réelles de X et de y, et qu'on ne veut employer que des transformations réelles, il y a lieu' de distinguer trois cas,

1°. — Si B^ — AC est positif, les caractéristiques de l'équation proposée sont réelles, et on dit qu'elle appartient au type hyperboUgue. On peut, par une substilution réelle, ramener cette équation à la forme

r-r- + ar- + ^r-H-cc--f-M — o; cx^y t>x ' C'y

on peut ensuite, en remplaçant- par X;r -{- jjl, À et it. étant des fonctions C(>nvenablement choisies de .»• et de y, faire disparaître le terme indé-

(') Au sujet des invariants de l'équation linéaire de forme générale, on pourra consulter deux notes récentes, de M. Cotton (Comptes Rendus de l'Académie des Sciences; 30 novembre 1896) et de M. Burgatti (Rendiconti délia R. ^ccademia dei Lincei; 20 décembre 1896), ainsi que le travail inséré par ce dernier, en 1895, au tome 23 des Annalidi Matemalica, 2* série.

38 CIlAriTHE V

peiitlHiit M cl Mil (les roeflicicnls, of jcciKirt' [»iHir foniic rriluilc une des ti*oi9 formes

r-^- 4- a r- + i r- = o, T-rr- + a T- -}- ce = o,

iVi'y t'y

Muis OH u«.' i»«'nt i>as, en général, faire disparaître plus d'un des coefficieiils a, ô,c.

2'.- - Si B* A(] est négatif, les CKra(léristi(jues sont imaginaires, et l'équatiou appartient au type elliptique. On ne peut plus la ramener à la forme précédente par une substitution réelle, mais on i)eut prendre pi»nr forme canonique

rs nouvelles variables ?/ et v étant des fonctions réelles de a; et de y. Ku effet, si ces fondions u et v satisfont aux relations

cw ôy ' ôy ox cy ^ oy

on véritie aisément (I, n" 51 ; p. 103; (pic la nouvelle éqnalion aura la f«»rme voulue, }»onrvu (pi'on ait

Aa + B = o, A»g> = AC — B'^ ;

comm»; AC - B' est positif, a et ^ sont réels, et on jiciit, par conséquent, prendre pour u et v des fonctions réelles de x et de y. Une transformation lelb^ que z = \z' -j- |x permettra ensuite de faire disparaître M et un des coefficients a, b, c.

3*. - Knfin, lorsque B' — AC = o, il n'y a plus qu'un système de caractéristi(pies, qui est nécessairement réel, et l'équation appartient au type naraholiqt>e. Si l'on choisit un nouveau système de variables u et r, telles que les caractéristiques soient les courbes v = C", l'équation pifMidr.-i la forme

au' ou ' ôv '

en changeant ;r en 'kz •\- [*, on peut ensuite faire disparaître le terme indépendant M et le eoefticient de z, et il reste une é<juation

Mais on peut ici pousser plus loin la simplification, comme on l'a déjà remarqué (I, note de la page 152). En effet, prenons pour variables indépendantes u et une intégrale u^ de l'éfjuation elle-même; l'éijualion ne change pas de forme, et, comme elle doit admettre la solution

^ =r w., le coefficient de r^^ doit être nul. Ou peut doue adopter (^ouime

forme réduite d'une équation linéaire du typ" [)HiHlio]i(pie l'équation

on voit de plus que cette forme réduite uest pas unique, mais [iciit être obtenue d'une infinité de façons.

RBMARQrR. — Soit

cx' ùy* ' ùx cy

une équation du tvpe elliptique; les deux expressions

^a ^h , c^fl c^6 a» 4- ^•* .

H — — — ^, K — V- + T- + — ^ — — 2c C]i ùx ex oy X

sont deux invariants relativement à la transformation x = Àz'. Si H et K sont nuls, on peut ramener l'équation proposée à l'équation de

Laplace r— r + r-4 = o. Si H est nul et K différent de zéro, on peut ^ ox^ l'y'

ramener l'équation h la forme r- j + >^ , -f" ^- -^ o ; si Iv est nul,-l équa-

tion peut s'écrire

^a;< ^ :iy'a et p étant des fuuctions de x et de y •;.

(•) HuROATii, loc. cil. Annali di Malemulica, t. 23, 2' »crj«.

Généralités sur les équations simultanées dont l'intégrale générale dépend d' un nombre fini de constantes arbitraires. — Intégrales communes à une équation du premier ordre et à une équation du second ordre, — Intégrales communes aux deux équations r + f=^ o, t -|- ç = o. — Systèmes en involution. — Multiplicités caractéristiques. — Systèmes linéaires. — Exemples divers. — litude du système formé par deux équations du second ordre de forme quelconque. — Recherche des intégrales communes à une équation du second ordre et à une équation d'ordre n. — Extension des résultats précédents. — La méthode de M. Sophus Lie. — Remarque de M. de Tannenberg. — Théorèmes de .M. J. Konig sur les systèmes complètement inlégrables.

117. Depuis les travaux classiques de Cauchy,deM. Darboux et de M"* de Kowalewski sur les équations aux dérivées partielles, les systèmes d'équations simultanées, entre plusieurs fonctions inconnues et plusieurs variables indépendantes, ont été l'objet d'un certain nombre de recherches. Nous signalerons, parmi les Mémoires les plus importants, ceux de M. Julius Kônig (*), de M. Hamburger (2), de M. Sophus Lie('), de MM. MérayetRiquier(^),de M. Riquier seul('),de M. Bourlet(*), de M. Beudonf'), de M. E.vonWeber(^), de M. Tresse^), de M. Delassusf'"), etc. En particulier, le Mémoire de M. Riquier,

(•)Ueber die Intégration, etc. (Malhemalische Annalen,i. XXIII).

(») Crelle, t. LXXXI, XCIII, CX.

(*) Zur allgemeinen Théorie der partiellen Differentialgleichungen beliebiger OràJiung (Beric hie der Kônigl. Sachs Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzic/ 1895)

(*) Annales de l'Ecole normale ; 1890.

(') Annales de l'Ecole normale ; 1893. Mémoires des Savants étrangeit ; t. XXXIII.

(«) Thèse de Doctorat (Paris, 1891).

(') Thèse de Doctorat (Paris, 1896).

(8; Ueber gewisse Système Pfaffscher GleichuDgen (Silzvngsberichte der k. bayer Akad. der Wissentchaften. Mùnchen ; 1895;.

(») Thèse de Doctorat (Paris, 1893).

(") Annales de l'Ecole norma/e (1896, 1897).

LES SYSTÈMES EN INVOLUTION -il

publié dans le tome XXXIII des Mémoires des Savants étrangers, et les travaux de M. Delassus contiennent des résultats tout à fait g-énéraux. Comme noire but n'est pas d'écrire une théorie générale des équations aux dérivées partielles simultanées, nous n'emprunterons que peu de <liose aux travaux précédents, et les résultats dont il sera fait usage seront établis directement.

Un système d'équations aux dérivées partielles, entre m fonctions z,, z^, ..., ^m et n variables indépendantes .i\, x^i ... oc„, est dit inlé- (/rable, s'il existe au moins un système de fonctions

-3",;, rr: cp;„ I J'j , a?^, ..., ^nj,

telles qu'en remplaçant :;,, z^, ..., z„, par ces fonctions dans les premiers membres des équations proposées les résultats soient identiquement nuls. Soit p l'ordre des dérivées de l'ordre le moins élevé qui figurent dans ces équations ; si toute équation, d'ordre égal ou inférieur à p, qui admet toutes les intégrales du système, est une conséquence algébrique de ces équations, on dit que le système est complètement inlégrable [unbeschrânkt integrabel).

11 peut arriver qu'un système de m équations, renfermant moins de m inconnues, admette des intégrales dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. M. Sophus Lie a proposé d'appeler systèmes de Larbovœ les systèmes qui possèdent cette propriété. 11 y aurait encore lieu de les distinguer en plusieurs classes, la classe la plus importante étant formée par les systèmes de Darboux, dont l'intégrale générale possède le plus haut degré de généralité possible, ou syslèynes en involution. Nous donnerons un peu plus loin une définition plus précise des systèmes en involution, pour le cas qui nous occupe. Par intégrale générale d'un pareil système, nous entendons toujours l'ensemble des intégrales dont l'existence est démontrée par les théorèmes généraux. qui vont suivre.