Parmi les systèmes d'équations aux dérivées partielles

à «variables indépendantes et à m fonctionsinconnues s-,, z^, ..., z^^Wy a lieu de distinguer tout d'abord ceux qui sont tels qu'en poussant assez loin la difTérentiation des équations (1) on puisse exprimer tuutes les dérivées d'un certain ordre des fonctions inconnues au moyen des

4i CHAPiTRK VI

varinMes, des fuiioliims inconnues elles-mêmes et des dérivées d'ordre inférieur. De pareils systèmes ont été considérés par M. Sophus Lie (•) et par M. Bourlet '). 11 est clair que l'intégrale générale d'un pareil système ne peut dépendre que d'un nombre fini de consiantes arbitraires ; en effet, si toutes les dérivées d'ordre p, par exemple, des fonctions inconnues s'expriment au moyen des dérivées dordre inférieur à ;), il en sera de même de toutes les dérivées d'ordre supérieur à p. On connaîtra donc les valeurs de toutes les dérivées partielles des fonctions inconnues en un point (a;^, ... x%), où ces fonctions sont supposées régulières, dès qu'on connaîtra les valeurs en ce même point des fonctions inconnues et d'un nombre fini de leurs dérivées ; les coefficients des développements de ces m fonctions ne peuvent donc dépendre que d'un nombre fini de constantes.

11 ne s'ensuit pas qu'un système de cette espèce soit toujours inlégrable, ni que 1 intégrale générale dépende d'un nombre de constantes égal au nombre des fonctions inconnues, augmenté du nombre des dérivées dordre inférieur à p au moyen desquelles s'expriment toutes les dérivées d'ordre p et d'ordre inférieur ; il faut, en outre, que certaines conditions d'inlégrabilité soient vérifiées. Nous renverrons pour ce point au travail de M. Bourlet, en rappelant seulement le résultat essentiel» qui est le suivant : Etant donné un système de l'espèce précédente, on peut toujours, par des différentiations et des opérations algébriques, reconnaître si ce système est incompatible, ou trouver le nombre de constantes arbitraires dont dépend V intégrale générale; la détermination de cette intégrale est ramenée à l" intégration d'un système d'équations diffé rentielles ordinaires.

Nous ferons seulement, relativement aux conditions dintégrabilité, une remarque à peu près évidente, et qui sera utile par la suite. Soit z une fonction inconnue de n variables indépendantes a?,, a;.^, ...x„, devant satisfaire à un système de [x équations dordre r,

(2) F, = 0, Fj = o F... = o,

u étant égal au nombre des dérivées partielles d'ordre r ; bous supposons que le déterminant fonctionnel des ix fonctions F,, F,, ...,F,i, par rapport aux dérivées d'ordre r, n'est pas identiquement nul, de telle sorte qu'on puisse tirer des équations (2) les valeurs des dérivées de cet ordre au mp^en des dérivées d'ordre inférieur. En introduisant comme inconnues auxiliaires toutes les dérivées paitielles/)a,aj, ..., «„

('} Théorie der Tran»formationii;^ruppen, t. I;chap. \. («) Thèse de l>»ct<>rat (1" partie;.

d'ordre infci'ieur à >•, ou peut former un système d'iu^ualifuis aux dilîérentielles totales

(3) ! ^^ ~ PiO0-(^t + PoiO-^'^i + ••• + PoO-l ^>n

\ (^Pn^.ct^...<x,^ = PaL^^K(t.,...(x,(^^^-T^^^ -^Px^.<Xi...ll,^+^dx^n

la somme a, -|- a^ -|- ... + *" étant égale ou inférieure à r — 1, qui est équivalent au système proposé (2). Il y a un certain nombre de conditions d'intégrabilité de ce système qui sont vérifiées identiquement ; ce sont celles qui sont du type

^PiXi +i,gj-...«„ '^Pai.gj-^ i....a„

où la somme a, -f- «2 "f~ •• •+ °'" ^^t inférieure à r ; les seules cond itions d'intégrabilité qui ne sont pas toujours vérifiées sont donc celles de la forme précédente où la somme a, + ••• + a« est égale àr. Ces équations de condition peuvent s'écrire

(4) 'dxk ^Xi

En différcnliant les a équations (2) par rapport à .'■/,, on peut calculer les valeurs des a dérivées

puisque, par hypothèse, le déterminant fonctionnel des fonctions F,, ..., F^n'estpas.nlil. En faisant successivement A = 1, 2, ..., «, et en imaginant qu'on substitue les valeurs obtenues dans les équations de con dition, on voit que ces conditions expriment que les relations obtenue s en différentiant les [x équations (2) par rapport à l'une quelconque des variables x,, ..., a-,,, qui sont en nombre na, permettent de déterminer un système de valeurs unique pour le.s dérivées d'ordre r -{- ^ de la fonction inconnue.

Donc, pour que le système formé par les équations (2) soit complèteme7it intégrable, il faut et il suf^t que les n^ équations obtenues en différentiant ces équations par rapport à chacune des variables se réduisent à a équations distinctes [kj! étant le nombre des dérivées d'ordre r -\- i).

Ceci peut a\*oir lieu en tenant compte des équations (2) elles-mêmes, ou identiquement; dans ce dernier cas, les équations

forment elles-mêmes un système complètement intégrable, quelles que soient les valeurs des constantes C,.

119. Considérons maintenant en particulier une fonction * de deux variables indépendantes a- et y, et soit

un élément d'ordre w (1, p. 181) est un système particulier de valeurs {x, y, -?,p,o'Pon Pao» •••. Po")^*^^^^^^^^ à a:, y,-, et à toutes les quantités p,.i^ pour lesquelles la somme i -\- k ne dépasse pas n. Deux éléments infiniment voisins d'ordre n

{x -f- dr, y -\- dy. z -\- dz, ..., p,u -f- dp,,., •..)

sont dits unis lorsque Ion a

<lz = p,^d.c -{-Poidy,

dj> ,. = p, . , ^ d.r -f- p,. K + 1 dy, [i -\- k ^ n — i).

11 est clair (|uune surface quelconque détermine une double infinité d'éléments unis d'ordre n ; une courbe située sur celte surface déteranine une infinité simple d'éléments unis d'ordre n ; nous appellerons une telle multiplicité une orientation d'éléments d'ordre n, et nous dirons qui> la ccurbe considérée sert de svpport à celte orientation d'élém«'nts.

Etant donné un système d'équations aux dérivées partielles

F, = o, Fj = o, ..., F(j.=-o,

où les dérivées d'ordre le plus élevé qui figurent sont celles d'ordre w, il est naturel, en adoptant les idées introduites par M. Lie pour les équations du premier ordre, d'appeler m/gf/ro/e tout système doublement infini d'éléments unis d'ordre n, vérifiant ces équations. Cette définition s applique à des intégrales qui ne- représentent pas de surfaces, ni même des multiplicités doublement infinies d'éléments du premier

ordiT. Ainsi soit

(3) Ur + 2K* H-L/ 4- M + N I r( — 5») = o

une équation du second ordre, et soit M, une multiplicité caractéristique du premier ordre (f, n" 27) représentée par les équations

Si on ajoute aux équations précédentes les relations

dp = J-dx + sdy, dq .— sdx -\- Idy,

ou

?; H = '• + ^n (^), ?2 (^) = s + (fi (^;,

t)npeut en tirer y, z, p, ^, ;•, s, /, exprimées au moyen de deux variables indépendantes, a; et ^ par exemple. On a donc ainsi une multiplicité doublement infinie d'éléments unis du second ordre; cette multiplicité est une intéyrale de l'équation (5), au sens plus étendu du mot. En elîet, la multiplicité M, étant une multiplicité caractéristique du premier ordre, si on tire des relations

dp = rdx -f- sdy, dq ■= sdx -\- Idy

r et s en fonction de t, et qu'on substitue dans l'équation proposée (3), on est conduit nécessairement à une identité (t. I ; n" 22). Soit

une équation du second ordre de forme quelconque . Quand on se propose de déterminer une intégrale de cette équation admettant une multiplicité simplement infinie M^ d'éléments du premier ordre donnée, cesl-à-dire passant par une courbe C et ayant un plan tangent donné en chaque point de cette courbe, on a vu déjà que l'on pouvait, par des diflérentiations et des calculs algébriques, calculer de proche en proche les valeurs des dérivées secondes, des dérivées troisièmes, etc., de la fonction inconnue en tous les points de la courbe C (t. I, n" 16), sauf dans dp<? cas exceptionnels, et en particulier dans le cas où la multiplicité ^I, appartient à une caractéristique. En d'autres termes, la connaissance d'une courbe C située sur une surface intégrale et du plan langent en chaque point de cette courbe permet de déterminer l'orientation d'éléments d'ordre »? de la surface intégrale tout le long de cette courbe, quel (jue soit le nombre entier ii.

46 CHAPixnE VI

Nous dirons, pftur abréger, qu'une orientulion dVMéuienls d'ordre n n > 2) ap[)arlient à IVquaticui i7), lorscjue les coordonuées de tous les éléments de cette multiplicité satisfont à cette équation et à toutes celles V|u'on en déduit par des diiTércntiations successives. Toute orientation d'éléments d'ordre /i, appartenant à l'équation (7), détermine ime intégrale et une seule de cette équation, sauf lorsque i-elte orientation est une caractéristique.

120. Nous nous proposons, dans ce chapitre, déludier lés systèmes formés par une équation du second ordre et une ou plusieurs équations il'ordre quelconque.

Considérons d'abord un système formé d'une équation du second ordre

et d'une équation du premier ordre

On déduit de l'équation (9), en différcntiant successivement jiar rapport à X et par rapport à y.

'- hi ^■- :>z ^ -^^p i :^x'^^z^''^^p' i'

et, en portant ces valeurs de q, s, l dans l'équation du scmoucI ordre, il reste une relation entre x, y, z, p, r,

Plusieurs cas peuvent se présenter : si la relation (10) se réduit à une identité, l'équation (8) est une conséquence de l'équation (9) et admet, par conséquent, toutes les intégrales de cette équation du premier ordre. Si la relation (10) contient r, on voit que q, r, s, t et, par suite, toutes les dérivées d'ordre supérieur au second s'expriment au moyen de X, y, z, p. La solution la plus générale du système formé par les équations S; et (9) dépend donc au plus de deux constantes arbitraires, si toutes les conditions d'intégrabilité sont vérifiées; en supposant, par exemple, que l'intégrale soit holomorphe dans le voisinage d'un point [xq, yo', elle est complètement déterminée, si on connaît les valeurs ijji-

(iales z = z^, p = p^, pour x — i,,, y = y^. Si la relation 10 iiecoulient pas r, mais coiilit'nt p, on aura p et q oxpiinK-s au moyen de .r, y, *; linlégrale commune ne dépend donc (jue dune constante arbitraire, si la condition d'intégrabilité est vériûée.

En résumé, lorsijue l'équation du premier ordre (9) n'est pas une intégrale intermédiaire de l'équation du second ordre (8), l'intégrale générale de ce système d'équations dépend de deiuc constantes arbitraires au plus.

121. Prenons maintenant un système de deux équations du second ordre (*) que nous supposerons résolues par rapport à deux des trois ■dérivées du second ordre r, s, t. Pour que cette résolution fût impossible, il faudrait, en effet, que Ton put déduire des deux équations proposées une nouvelle équation ne renfermant plus de dérivées du second ordre, et on serait ramené au cas qui vient d'être examiné. On peut donc supposer les deux équations résolues par rapport à l'un des couples de dérivées (?% t), (r, s), [s, t), et, comme le troisième cas se ramène au second en pçrmutant x et y, on peut le négliger. Si les équations sont résolues par rapport à r et à 5

on peut admettre que ^ ne contient pas /, car autrement la dernière équation donnerait t, et on serait ramené au premier cas. Lorsque (p ne contient pas t, en faisant le changement de variables

les deux équations précédentes deviennent

r' — 2jf' -f r + f[x\ x + 7/', z, p — q, q\ t') — " O, s' — /' + cp {t\ x' + »/, z, p' — q\ q') = O, où

et peuvent être résolues par rapport à t' et r'. On peut donc toujours supposer, sans diminuer la généralité, que les deux équations du second

(') BiANGiu, liendiconti deW Accademia dei Lincçi, 4* série, t. II, p. 218. 237, 307(1886). K. VON Weber, Malhemalische Annalen, t. 47. Bbudoîi, Thèse de Doctorat.

onlre considérées sonl résolues par rapport aux dérivées r el t

{ r -\- f\x, //, z, p, q, s) = o, i ' + f (-^'i .V. ^1 Pi «/i •«) = o.

Nous nous proposons do rechercher les intégrales de ce système quï sont holomorphes dans le voisinat^o d'un point (.r,,, y,,), et qui sont tellesque les fonctions fcl ^ soient elles-mêmes holomorphes dans le voisinage des valeurs correspondantes (a;^, y,,, z^, p^, Çq, Sq). Les dérivée* du troisième ordre de la fonction inconnue sont déterminées par le» quatre équations

1 ^-^yJ +

ou on a pose

yz

Les deux équations intermédiaires (12) peuvent être résolues par rapport à p et y, pourvu que le déterminant

Os

ne soit pas nul ; la première et la dernière des équations (12) donnent ensuite « et 5. Dans ce cîis, toutes les dérivées successives de la fonction inconnue peuvent être calculées de proche en proche, dès qu'on connaît les valeurs de z, p, g, s. L'intégrale générale du système (H ) dépend donc au plus de quatre constantes arbitraires, et il n'en est ainsi que si toutes les conditions d'intégrabilité sont vérifiées. Si

LES SYSTÈMES EN INVOLl TION 49

1 — y -^ = o. on pful éliminer p el y entre les équalions (12), et on est conduit à la nouvelle relation

qui est vérifiée par toute intégrale commune aux équalions (11). Nous avons encore à distinguer plusieurs cas : 1° lorscjue la relation (13) contient s, les équations (11) et (13) donnent i\ s, t en fonction de se, y, z, p, //, et on peut, par conséquent, calculer toutes les dérivées de la fonction inconnue dès qu'on connaît z, p, q : l'intégrale générale du système (11) dépend au plus de 3 constantes arbitraires; 2' si la relation (13) ne contient pas s, sans se réduire à une identité, elle constitue une équation du premier ordre, et on retombe sur le cas qui vient d'être examiné ; 3' il ne reste donc plus à étudier que le cas où Ton a à la fois identiquement

Nous dirons alors, avec M. SophusLie, que les équations (11) forment un système en involution. Un système de cette espèce admet une infinité d'intégrales dépendant d'une infinité de constantes arbitraires.

122. Remarquons d'abord que les équations (12) se réduisent à trois équations -distinctes seulement

(•^)-='+^^+(£)=M'=^+ffr+(^f)=o,C=a+|.+(^)=o,

puisque la relation

est équivalente à l'équation B = o; on peut donc choisir arbitrairement la valeur dune des dérivées troisièmes x, p, y 8. Il en est de même pour chaque ordre de dérivées. Les dérivées d'ordre n -|- 3 vérifient, en effet, les 3n -)- 3 équations obtenues en diiïérentiant les trois équations A = o, B — o, C = o, n fois de suite par rapport à x et

I5TKGRATI0S DES ÉQUATIONS. 4

de"

(iiAmni: vi

du.:"-* dij

rf"B

dy"

rf"C

dy"

t'I ci'llos-là seulement, car la dilTérenliation de léqualion

donne des relations comprises dans les précédentes. Or, d'après la dépendance qui e\iste entre A et B, les 2« -{- 2 équations des deux premières lignes précédentes se réduisent à n -j- - équations distinctes. Pour la même raison les 2n -|- 2 écjuations

rf"B, r^

dx'' ~^ dy" ~ °'

rf"C d"C

dx' ' ' ' ' ' dy" '

se réduisent à /i-f- 2 éqiwlions seulement, et comme le système

rf"B, f/''B,

dx" ~ ' • • ■ ' dy'^ ~ '

est équivalent au système

en teiijiiil curupte des relations qui lient les dérivées précédentes, on voit donc (juon n'a en tout que ?i -j- 3 équations distinctes entre les n -|- 4 dérivées d'ordrç // -|- 3. Ainsi on aura quatre équations seulement entre les cinq dérivées du quatrième ordre, cinq équations entre les six dérivées du cinquième ordre, etc. On peut donc, dans chaque ordre, choisir arbitrairement la valeur d'une dérivée partielle, par exemple

se donner les valeurs initiales de toutes les dérivées ^^ — i ou ^- Ceci

prouve qu'on peut former une infinité de séries entières, dépendant

d'une infinité de constantes arbitraires, qui satisfont formellement aux

LES SVSTFMKS KN INVOLl Tlo.N 51

équations Jl;. Il reste à démontrer que l'on peut choisir ces constantes arbitraires de favon à obtenir une série convergente.

Pour établir ce point, nous mettrons les équations (li) sous une

forme un peu différenle. Daprés la relation 1 — r^ — ^ r= o, la dérivée ' ' i'5 os

r- ne peut être nulle, pour des valeurs de ./•, i/, z.}k q^s, pour lesquelles

les fonctions /"et o sont régulières. On peut donc supposer les équations 11' résolues par rapport aux dérivées s et t, et écrire ces équations

pour que ce système soit en involution, il faut (pu* les ipiatre relations qui lient les dérivées du troisième ordre se réduisent à trois équations distinctes. On déduit dos équations (16)

' ox o: op ôq ' dr

' oy ' oz ' i>p oq ?r '

' D.r cz dp ' oq l'r

ô = r- + — 7 + -- F-f r- * + r- i ; 17/ Oz 0/) ' oq or '

si on lire les valeurs de p et de y de la première et do la troisième équation et qu'on les porte dans la seconde, on devra être conduit à une identité. Il faut pour cela que l'on ait

M» /DFy

(18) ;-? + ;-^ p + ;-L ,. 4. il F = ^ -f- ^ g -f ii-.F + :f *

^ C^x oz i>p oq >>!/ ^ dz ^ ' dp- ' dq

dF\W , d[' . H' , ^F ^)

, ^FpF , ^F . H' , ^F ^)

Si ces conditions sf>n( Vf'iKiées identiquement, on a le llit'orènio suivant: soient j'g, 1/^, -cPo' (/c '"c K^isi/stcme (fe valeurs (fes variaf'les x, y ^ z, p, q, )\ (tans le voisinar/c (lesquelles les pjnriions F et «l» sont holomorphes ; soit^ (le plus, U (aj une /onction holoniorphc dans le voisinage du point Xq, telle (^ue l'on ait II (a;^) = Zq,.W[.''q] = P(y, ir"'./-„) -^- r,,. Il existe

(.llAriTRF-: M

une intégra fe des è^jua fions (10 > régulière dans le voisinage des valeurs .r^, y^, se réduisant à II (.»•) pour g = //„, e( ponr laquelle la dérivée

— prend la valeur q^ pcrur x r=^ a'„, g = g^.

Les conditions préiMMlcntes reviennent à se doimot' les valeurs initiales

pour a' = ./•(), g = g^. Les équations (16) el celles qu'on en déduit ynv les dilTérenliations sucressives permet lent de calculer de proche en proche les valeurs initiales de toutes les autres dérivées. Le système (16) étant en involution. on a, en elTel, jxtur calculer les n dérivées inconnues d'ordre n, un certain nombre d'équations linéaires, qui se réduisent à n équations distinctes. On peut, par exciuplc, procf'der comme il suit : en différentiant l'équation

un nombre quelconque de fois par rjipport à a;, on calcule de procheen proche les valeurs initiales

Connaissant les valeurs initiales

w): {B-X Cv^/)„' ■••'

l'équation

et celles qu'on en déduit par des difTérentiations successives p('rn"»ol - Iront ensuite de calculer de proche en proche les valeurs initiales df* toutes les aulrf"^dérivéc^. {ilisolnni'Mil commedanslc théorème classique de Cauchy.

Pour établir la convergence du développement ainsi obtenu, nous décomposercms la démonstration en deux parties. Dt'monlrons d'abord

LES SYSTEMES KN l.NV(»H TION 53

(|in' la série

est convergente ponr des valeurs de x — x^^ de module suffisamment petit. Kn elTel, d'après un théorème établi antérieurement (I, n° 84) léquation

s — Y U\ !/, z, p, rj^ r)

admet une infinité 'd'intégrales holomorplies dans le voisinage du

point (^'o, ^o)» se réduisant à n (a;) pour y = ^(,< ^^ telles ([ue l'on ait

— =z fj^^ pour X = JA-Q, 1/ = //(, ; car ces condiliuns reviennent à se donner

une courbe C

située sur la surface intégrale et le plan tangent en un point (Xq, i/q, s^) de cette courbe. La tangente à la courbe C en ce point coïncide avec la tangente à l'une des caractéristiques, car l'équation qui détermine les tangentes aux deux caractéristiques est ici

^ fhf -{- dx dy — o.

Soit z = ^ {j-, y) une de ces intégrales; pour)?/ = y^» r^ se réduit à

' .V une fonction de x, holomorphe dans le domaine du point x = x^, (jui est précisément représentée par la série (19). La première partie de la proposition est donc démontrée. Nous remarquerons en passant que toutes les intégrales de l'équation s — F =r o, satisfaisant aux conditions initiales, sont tangentes le long de la courbe C, qui est une caractéristique pour chacune d'elles.

Cela posé, soit / yf) la somme de la séi'ie il9); les calculs qu'il faut

ellecluer ])our obtenir les autres coefficients du développement de la-

fonction inconnue sont identiques à ceux qui donneraient les coeffi-

- cienlsdu dévt-Ioiipement en série entière d'une fonction rt'gulière pour

X = Xq, y = j/q, satisfaisant à ré(|uation

^se réduisant à II (a?) pour, y = //q, tandis que — se réduit à /,(•>')• On sait,

54 ciiAi'iTnK VI

d'après lo lliéori'ino général df Caïu-hy rappelé plus haut, que le développement ainsi obtenu est convergent. La proposition énoncée est donc complètement établie.

REMAngiB. — Les conditions imposées à l'intégrale reviennent à se donner une courbe plane, dont le plan est parallèle au plan des t/z, située sur cette surface, et le plan tangent en tin point de cette courbe. Plus généralement, une intégrale du système (16) est complètement déterminée, en général, si pn se donne une courbe, plane ou gauche, située sur cette surface et le plan tangent en un point de cette courbe . Nous verrons »m peu plus loin comment on peut obtenir cette intégrale .

123. L'intégration d'un système en involution se ramène à l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires par une méthode qui n'est que la généralisation de la méthode de Cauchy, pour l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre. Pour plus de symétrie dans les calculs, nous supposerons d'abord qu'on a mis le système en involution sous la forme (11), les relations (14) étant vérifiées identicjuement.

L'équation de condition

exprime cjue les deux équations du second degré

iV Do,

dy^ — — djcdy = o, r^ dxdy — dx^ = o,

ont une racine commune

dx

Par conséquent, si l'on considère une intégrale de l'équation r -|- /"= o, et une intégrale de l'équation / -f- (jp = o, ayant un élément commun du second ordre, les deux surfaces ont en cet élément une direction de caractéristique commune. Toute intégrale du système (11) est donc un lieu de caractéristiques communes aux deux équations r -|- /" = o, ' -|- ? = o. Ce sont ces caractéristiques que nous allons d'abord déterminer.

Soit c = F (j:, y) une intégrale du système en involution; sur cette surface (Sj considérons une famille de courbes définies par l'équation

du premier ordre

dx ^s

où on suppose z, p, q, s, remplacés p;ir leurs valeurs en fonclion des variables x, y, déduites de léqualion de la surface. Le \o\\^^ dune de ces courbes./", y, z, p, q, s, sont des fonctions d'une seule variable indépendante, satisfaisant à un système d'équations dilTérentielles ordinaires, que l'on peut form3r sans connaîtrv? l'intégrale F [x, y). On a, en effet, le long d'une de ces courbes,

r/i/ iV ch , di/ dp , dxi

Tx=7; Tx='' + ''d7 S7 = '■ + ', 77'

dx dx dx ' ' ' t.'5

ou, en tenant compte des équations (11) et (12), (20^

dx ~ D5 ' dx~ ^^ '^ "^ ^s'' dx " ^ + * O.s-'

dq Y ^ — (iL\