IL
dx ' is dx \di//
Les équations différentielles (20), jointes aux équations (^11) ellesmêmes, définissent une famille de m|dtiplieités à une dimension d'éléments du second ordre, dépendant de c//<^ consttMles arbitraires; nous appellerons ces multiplicités les caractéristiques du système en involution. Toute caractéristique renferme, sauf des cas exceptionnels, une multiplicité poncluelle à une dimension cpii sera appelée courbe caractéristique du système. Une caractéristique est définie, en général, quand on se donne un élément initial du second ordre (jc^, î/q. Zq. p^, </„. ;•„, 5q, ^q) satisfaisant aux relations
'o -h î ("^0' .'/o' -0- Po. 70' «o) = o-
pourvu (pie les fonctions f et 'i restent holomorphes 'dans le voisinage. On en conclut que. si deux intégrales du système en involution ont un éié/nent commun du second ordre, elles ont en commun une infinité d'éléments du second ordre, qui ronstitaent la caractéristique issue de cet élément. De tout élément du premier ordre (.>;„, ?/„, Zq, Py, q^), il part une iûtinité de caractéristiques, car on peut choisir arbilraii-emenl la valeur
56 CHAPITRK M
initiulo s^ de s. Los courbes oarnctéristi(jiies correspoiulanles formenl, en j:jénéral, une surface aclniellanl cel élément du premier ordre.
124. Toute surface intégrale étant un lieu de multiplicités caractéristiques, le premier pas à faire pour intégrer le système en involution proposé consiste à déterminer ces multiplicités, c'est-à-dire à intégrer le système d'équations différentielles ordinaires (20). Ce problème étant supposé résolu, il reste ensuite à examiner comment on doit associer ces caractéristiques pour obtenir une surface intégrale. Pour plus de symétrie dans les calculs, introduisons une variable auxiliaire >, en écrivant le système (20) sous la forme suivante
[ ff.r (fy tlz dp dq ds
21} d T = y '" , cY"" , , y"^ y ^ (dr\
Kc/X,
K étant une constante ou une fonction de a-, y, -, p, 7, s, À, qvie Ion peut prendre à volonté. Soient
' X = t\ (X; ^0' i/o^ -01 Po» Vo^ *o)'
^ « = A ' ''- ; ^'o' yu' -^0' /'01 7o' •^0 ''
les furmiiies qui représentent liiitégrale générale de ce système, Xq, Vo' -0- Po' 7o- *o' désignant les valeurs initiales de .r, y.z^ p, -;,, s, pour la vidiur initiale de À. À = o par exemple. Toute inlég.ale du système vu invidulion est représentée par les formules précédentes, où 1 (.n remplace x^, y^, z^, Pu- 7o' ^o- P^'' ^'''^ fonctions convt'nablement choisies dune nouvelle variable indépendante a. Pour (|ue ces formules représentent bien une intégrale, il faut et il suffit que les foneliims f^. f.^ f^. de "/. el de a vérifient les relations
dz = 'pdx -\- qdy, dp — —fdx-\-uly, dq = sd.r — cp(/y ;
comme on a déjà, d'après les équations '21),
LES SYSTÈMKS EN INVOLL'TION 57
il suffira que l'on ait aussi
U, = — — p — — ry ;^ = 0, 1 01 ot l'a
\ <>x t'a dx
Calculons ^r^r*» -tt^» -tt^ : il vient, en tenant compte des relations
l'A M CA '^
(14) et (21),
MJ,__^ ^ y-i/ ;>p ^'- ^q ^.t/
i>X ~ i^a^X ^ ;)ai>X ^ i"^xiU i^A :»x oà ;)a' ^^^^ 1 i^X "~ ^x:)â "^ ' Dac^A :^ai^À i>À Da "^ V'^-^/ ^»
/ ^ i!^. ^1 .^ ^ ^' I K /'^\ ^/'^ • 1 i^x ~" i^a;)x * :^ai>x + "f* ;)zDx i^x :^a + \dy) ^s :>x '
d'autre part, en diiîérentiant les équations (23) par rapport à a, il vient:
^^ ~ ^' ^. "^ '^ :»aS "T~ ^ Ifx + 5^ 5x'
i^aDX " ^ i^x^ ' :>x:>x "^ ;)x ^x
] ; yr ^x "^ ^y i>a "^ ^J i^a "^ i> i^a "^ i^ ^^x "^ ^s ^x) '
5^ ~ * 5I^x "" "^ 5^ "•■ i^ DX
ys 1 yrYx '^ h/S^'^ ^ ^ ^ i^n ^I "^ ^"^7 ^^ "^ Ts ^x
Retranchons membre à membre les équations correspondantes (25) et (26), et remplaçons les dérivées relatives à X de ./•, y, z, p, q, s, par leurs valeurs; il reste, toules réductions faites,
\ OX Os ( ^2 * ^p ^ ^q -^ \
58 (.iiAi'iTun VI
Supposons /'cl ^ luiloinorphes dans W voisinago dos valeurs iniliales ^O'i/o' *o' i'o' 9o» *o ' «iJ<^""î>» daprùs la fornit' linéaire dos (''([nations (27), pour quo U,, Uj, U3 soiont nuls, il suflira (|uils soient nids pour la videur X = o:,(m\ .r, y, -, p, 7, s se réduisent alors à-f^, //^, s'oiPo' ^o'^o-
Z)o7ie, pour obtenir une intiujrale du système en iiivolution, il suffit de remplacer dans les formules ['l'2) Xq, //^, z^, p,,, ç'q, s^ par des fondions d'un paramètre variable a, satisfaisant aiac relations
t'a " l'a. "l'a l'a <.'a l'x jx Ja ' oa
En particulier, on satisfait à ces relations en prenant pour x^, >/q, z^, Pc 9o ^^s constantes quelconques, et en posant Sq = a. Par suite, la surface engendy^ée par les caractéristiques issues d'un élément quelconque dn premier ordre est une surface intégrale.
Remarque. — Les raisonnements qui précèdent ne s'appliquent qu'aux inl*?grales qui admettent des éléments du second ordre [x, y, -^1 Pi ?» ''« -Si 0 dans le voisinage desquels les fonctions Z' et cp sont holomorphes ; la méthode suivie donnera certainement toutes ceis intégrales. Mais il peut se faire qu"?l existe aussi des intégrales, telles que, dans le voisinage d'un quelconque de leurs éléments, les fonctions f et cp, ou du moins Tune d'elles, cessent d'être régulières. Par e.xemple, si on a un système de deux équations du second ordre, non résolues,
il peut se faire que ces é(juations admettent des intégrales qui vérifient en même temps les trois relations :
W est clair que ces intégrales échappent à la méthode générale et qu'une élude spéciale est nécessaire, dans chaque cas particulier, pour reconnaître s'il en existe ;nousles appellerons des intégrales singulières du système.
125. Quand on connaît les caractéristiques d'un système en involution, la détermination des intégrales est donc ramenée à trouver la solution générale du système (28j, oii-v^, ?/^, z^, p^, 7^, s^, sont des fonctions de la variable a. On peut se donner arbitrairement trois de ces fonctions, elles trois autres sont déterminées par les équations (28).
Supposons, par exemple, que l'on veuille obtenir une surface intégrale passant par une courbe donnée (F) ; on peut considérer x^, y^, z^, comme des fonctions connues d'un paramètre a, et on a, puurdéterminer;?^, q^, «0, les trois équations (28). On tirera, si on veut, p^ de la première, s^ de la dernière, et, en portant dans la seconde, on est conduit à une équation différentielle du premier ordre pour d(''terminer<2'„; la fonction inconnue Çjjde a dépend encore d'une constante arbitraire, la valeur de q^ en un point de (P). Ainsi, po mne courbe arbitraire (F) il passe, en général, une infinité de surfaces intégrales, dépendant d'une constante arbitraire; on peut se donner arbitrairement le plan tangent en un poiyil de la courbe (F).
Soit encof e à déterminer une surface intégrale du système en involution circonscrite tout le long d'une courbe à une surface (S). Soient Xq, ?/q, 2^0 les coordonnées d'un point de cette surface, p^, q^ les coefficients angulaires du plan tangent; x^, y^, z^, pg, ç^ sont des fonctions de deux paramètres variables a et p. En substituant dans les équations de condition (28) les expressions de .Tq, y^, z^, pg, q^ en fonction de a, p, la première condition est identiquement vérifiée, et, en éliminantjL^ entre les deux dernières, on est conduit à une relation delà forme
C'est une équation différentielle du premier ordre, et les conclusions sont analogues à celles de tout à l'heure. Il existe une infinité de surfaces intégrales^ dépendant d'une constante arbitraire, circonscrites aune surface donnée (S); O" veut choisir arbitrairement un des points de lu courbe de contact.
126. Nous allons appliquer la méthode générale à quelquesexemples.
Exemple I. — Soit à intégrer le système en involution
Les équations différent ielles des caractéristiques sont ici
du . dz , dp dq ds
et l'intégrale générale est représentée par les formules
<>0 CHAPITRK VI
Pour avoir uiw intégral*' tlii système en involulion. k's valours inilialos .r^, iJq, s^, Pq. q^, .v^, (JnivtMit salisfairr aux é(|uations
fiiipposons, par exemple, que, pour.r :=: C, l'intégrale cherchée doive se réduire à i, y\ On prendra x^ = C, //„ =^ a., Zq = <^ (a) ; les formules précédentes doiment
9o = ?' (*)' -'o = — f ''*) Po = — 9 («) + ^'\
C étant une nouvelle constante. L'intégrale correspondante est représentée par le système des deux équations
// = a + .c — C, z = <p (aj + C (J- — C) ;
l'élimination de i nous donne, pour l'intégrale générale du système en involulion proposé, en changeant un peu les notations,
C étant une constante arbitraire et •]/ une fonction arbitraire. On peut remarquer que le système en involution proposé est équivalent à l'équation du premier ordre
avec une constante arbitraire a.
Exemple II. — Soit à intégrer le système en involulion
les érpiatjdns difTéntil irllt-s des caractéristiques sont
«•t l'intégrale générale est
