o + îo«oj {^ — ^0) + 3 *u '^ — ^of
I-es valeurs initiales ./„, i/q, Zy. ;).,, q^, *(,, doivenl salisfaii-a aux relations
hn — ^ ^ \ r. ^ iΣo in. ^1 , , ^
^r - ^» ^x "^ ^0 c^x ' :^a ~ li :^x "^ « .>x
Prenons, comme tout à l'heure, o'f, = (^, i/ç = a, ^o = 'f (*)' ^^ ^^ déduit
cl l'intégrale générale du système en involulion est représentée par le système des deux équations
(|* (a) étant une fonction arbitraire et C une constante arbitraire. Comme vérification, on dédiiil des formules précédentes
rfa , 2 (.r C ) . , . , , 2 (.r — C) T7, -r V <7 = y lai H , „ , , — '1
Exemple III. — Les équations
où X est défini par l'équation du second degré
1 + X2 + (/, 4- qXf = o,
forment nu syslrnic en involulion. Ce système peul encore s'écrire W — .s"-
la preniii'iT équation osl ci'lle dos surfaces à conrbunî lolale constante cpale à — I, la seconde dt'nnit (il est aisé de le vérifier) les surfaces réglées imaginaires dont les génératrices rencontrent le.cerde à Tinfini. L'intégrale génôrale du système (29) se compose donc des surfaces réglées imaginaires à courbure totale constante, qui ont été découvertes par Serret (') et qui résultent de la déformation de la sphère considérée comme une surface réglée.
Les équations différentielles des caractéristiques du système (29) sont, en négligeant la dernière (juil est inutile d'écrire,
En tenant compte de l'équation qui définit X, on voit facilement que l'intégrale générale est dnnnée par les équations
^0' .Voi -o'^^oi C étant des constantes. On vérifie bien, sur ces fornudes, que les caractéristiques sont des droites rencontrant le cercle de l'infini. Il serait facile d'achever l'intégration ;nousy reviendrons plusloin(n° 128), Ex F. M F' LE IV. — Le svstème
où À est une fonction de x, y, z, p, q, est en involution, pourvu (jue l'on ait
ce qui exige que À verilie une relation delà forme
3{) F (À, p, q, y — Ix, z — px — q\f = o,
la f<jnction F étant d'ailleurs tout à (ail aibiliaire. On peut donner des systèmes en involution de la forme précédente une interprétation géo-
1) Journal de Liouville, tome XIII, 1" série, p. 301 1848).
im'tri(Hic. Ht'iiiar((ii()ns d'iiliord (nic du système (.'{0) im d«'diiit
rt — s^ = o, ;• + 2À.V -f- 'j.^t = o.
l^es surfaces inlt-gralcs sont donc dos surfaces développables ; de plus, la g»''nériiliice issue de rélénienl ur, ?/, c, p, </) se projette sur le plan des jcj/, suivant une droite de coeHicient angulaire^. Le problème de l'intégration du système (30) peut donc s'énoncer ainsi: A chaque élément du premier ordre (x, y, z, p, q) de V espace, on fait correspondre une droite D issue du point (>r, ,y, ^) et située dans le plan de coefficienls angidaires /), q ; trouver les surfaces développables telles quen chacun de leurs éléments la génératrice soit la droite D correspondante.
Mais la relation entre la droite D et l'élément [x, ?/, z, p, q) ne peut pas être quelconque, puisque X doit satisfaire à une relation de la form<; (31). Pour interpréter cette condition, considérons tous les éléments d'un même plan P ayant pour équation
Z == a\ + hX + e,
et cherchons les droites D correspondantes, qui sont évidemment situées dans ce plan P.
Dans la relation (31), on doit faire p=:^ o, q = b, : — px — qj/ = c, et cette relation devient
(Slbis) F (X, a, b, // — /x, c z= o.
Or, la (Intile D issue de rt''l<''ment (.r, y, z, p, q) se projette sur le plan des .ry suivant une droite r/ (|ui a pour équation
Y = XX + .v-X,r,
et la relation 31 bis) exprime précisément (jue ces droites rfet, pai- suite, les droites D, ne dépendentque d'un paramètre quand le point (r,?/, z) décrit le plan P. Par suite, les droites D du plan P ont une enveloppe ; si une droite située dans ce plan est la droite D correspondante à un élément de ce plan, elle correspond à tous les éléments de ce plan que l'on obtient en prenant un point quelconque de cette droite. La détermination des surfaces intégrales du système en involution (30) conduit, par conséquent, à ce problème de géométrie : A rhaque plan P de l'espace oyi fait corr'>spondre, d'une façon tout à fait arbitraire, une courbe i\ située ((ans ce plan; trouver les surfaces développables telles que la génératrice de contact cl un plan tangent quelconque P à cette surface soit tangente à la courbe C correspondante du plan P.
04 C.MAnTKK VI
Vt>ifi t'iu'oif Mil l'iioiH I' cijiitvalcnl à celui ({iii itrcccdc.
Soil (A un sysli-mc géomclrique formé dv l'cnsoiul»!»' (riinc dittile et d'un plan passant par cette dri>ile : un pareil système (lép«Mul de cinq paramMres (|ue Wm peut appeler ses coordonnées. Toute surface développabh' se compose dune suite simplement inlinie de [A], chaque ffénératrico et le plan tangent correspondant formant un d(^ces systèmes. Cela posé, le prohlènie peut encore s'énoncerainsi : Trouver les surfaces (lèveloppables. composées de systèmes [X] dont les cinq coordonnées rérifienl une relation donnée, de forme arbitraire.
Par une courbe donnée de l'espace, il passe, en gt>néral, une infinité de pareilles surfaces, dont la détermination dépend d'une é<pialion dilîérenlielle du premier ordre. Mais il est possible d'obtenir pour l'intégrale générale du système en involution des formules contenant explicitement une fonction arbitraire et ses dérivées. Imaginons, en effet, qu'on efTectue une transformation par polaires réciproques ; à un plan P correspond un point M et à une courbe C du plan P un cône (T) ayant son sommet en M. Les surfaces développables qu'il s'agit de déterminer deviennent de même des courbes tangentes en chacun de leurs points à une génératrice du cône (T) ayant son sommet en ce point. Ces courbes sont les courbes intégrales d'une certaine é(|uation aiix dérivées partielles du premier ordre qu'il suffira d'intégrer pour avoir leurs équations sans aucun signe de quadrature.
L'application de la méthode générale conduit a\i même résultat. Les éipiations différentielles des caractéristiques du système (30) sont
dj dix '^ dx ' dx dx dx
il est inutile d'écrire l'équation qui donne s, car elle n'intervient pas dans les calculs. On tire tout de suite des équations précédentes p=Pq, <7 := /7q : ou a ensuite
c'est-à-dire, d'après la relation à laquelle satisfait >, d/. = o. On a donc ainsi
^ = ^01 .V = //o + ■>' — ^o) ^0' - = ■^o + ' Po + Vo'^o ' (•'' — -^0 ' les valeurs initiales p^, q^,, x^, y„, r^, ).„ vérifiant la relation
(32) F (>.„, /5o, 7oi I/o — 'o^o' ^0 — Po^o — Qs,yo) = '»•
D'après la mêlliude générale, il faut preiulre pour ces valeurs initiales des fonctions d'un pai-amèlre variable a, satisfaisant aux conditions
dPo + \s,^dx^ ~ i^thjo — G, OU, en éliminant s^ entre les deux dernières,
Soit /<Q = z^ — }IqXq — rjQj/Q ; les relations précédentes deviennent:
duo + x^'fp^ -f ija'fqo — 0,
dPo -f- \f^'h — o ; on en tire
dUn
dq, •'^» ""•~"- dq, - dq,'
et, en portant ces valeurs dansré([uation (32), on a, pour déterminer les fonctions Po, 5'o)"oi ^^ relation
connaissant Mq, p^, ç-q, on a ensuite, pour déterminer x^ et t/^i l'équiition unique
du^ + ^"o^'i^o + yo^'/o = 0.
où l'on peut choisir arbitrairement l'une des fonctions oj^,, y^. Tout s» ramène donc à l'intégration de l'équation (32 èw), c'est-à-dire, dans le cas général, à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre.
Il serait facile de multiplier les cas particuliers; par exemple, si les droites D appartiennent à un complexe, le problème revient à d -ti^rminerles surfaces développables dont les génératrices font p;ir;i:; d'u:i complexe. On obtient un cas encore plus particulier, en sup;) vaut que les droites D sont tangentes à une surface (2). Les surfac s d. vcloppablesdont les génératrices sont tangentes à (S) sont, d'u i ; p:i:"t, les surfaces développables dont l'arête de rebroussement est 'S'.xi.^ sur la
INTÉGRATION I>ES ÉQUATIONS. "i
surfarr il , d'aulre pari les surfaces iléveloppables circonscrites à (S). On iloil etiusidt'rer les premières surfaces comme formant la solution générale, lantlis que les secondes surfaces ne sont <(ue des intégrales singulières. I*ar une courbe donnée, il passe, en elîel, une infinité de surfaces dévelopjiables ayant leur arête de nd^roussement sur la surface ''!£.]. tandis f|iril n"v en a (ju'une (|ui soit circonscrite à (ii)/
127. l.a llietirie des systèmes en invulution présenlt\ comme on voit, la pbis grande analogie avec \-\ théorie des équations aux dérivées partielles du |»reniier ordre. De même qu'à toute équation du premier ordre est allarhèe une famille de multiplicités caractéristiques du premier ordre, dépendant de trois paramètres, de même chaque système en involution possède une famille de caractéristiques du second ordre, dépendant de cinq paramètres. Chacpie caractëristiipie du second ordre renferme une courbe caractérislif/ue quî lui sert de support, et, en général, les courbes caractéristiques dépendent elles-mêmes de cinq paramètres. Il arrive cependant, pour des systèmes en involution d'une forme particulière, que ces courbes caractéristiques dépendent de moins de cinq paramètres. Prenons, en effet, les équations linéaires
OÙ À, fi, V sont des fonctions de œ, »/. :, ji, q\ ce système est en involution, pourvu que À. •/, v vérilient les relations
01/ Oc oq I iv; 0.
Ces conditions étant supposées vérifiées, le^ équations différentielles des caractérisli(|ues du système (33; sont de la forme
Hi/ ^ dz , . 'Ip dq
dx d.i- ' > ' (ix ' dx
ds /d i.s -\- \i.\\
'ch" ~\ Tj'f y
Les quatre premières de ces équations ne contiennent que a", y, z.
yj, Y ; buit'iil
t' V = fi ('i'; -^-o, i/o. -0' Pq> îo).
" ^^ f-i\^'> ^Q^ //o' -0' V'^0" yo)i
7 = /'t^'-; ■''o. 2/o.^o'Po. '/o).
les formules définissant l'intégrale générale du système formé par ces quatre équations. On a ensuilespar l'intégration d'une équation difîérentiolle du premier ordre, qui introduit une nouvelle constante arbitraire s^. Les formules (33 j représentent une famille de multiplicitéscaractéristiques du premier ordre, dépendant de (piatre constantes //q, s-qiPoi 7o (-^o^*^^"*' une constante numérique) ; chacune de ces caractéristiques est contenue dans une infinité de caractéristiques du second ordre, dépendant d'une constante arbitraire. L'ensemble des caractéristiques du second ordre, qui ont ainsi en commun une multiplicité du premier ordre, forme une intégrale au sens étendu du mot(n*' 119). Pour avoir l'intégrale générale du système en involution, il est inutile de tenir compte de l'équation qui donne s. En effet, les valeurs initiales x^^ y^, ^Tq, p^,, y„, Sq doivent satisfaire aux trois relations
f^^o = Po^^'-o + w^y^^
entre les(juelles on peut éliminer s„, et il reste les deux relations
qui ne renferment plus que a-,,, //(,, c^, Pq, q^^.
On obtient des systèmes en involution de la forme (33). en différentiant par rapport à r et à y une équation du premier ordre
F (^. !/, -2". P> l) = C, où C désigne une constante arbitraire. On obtient ainsi le système , c^F , c>F , ^F , c^F
68 C.IIAIMTHK VI
qui est toujours on involution. Mais ou na pas ainsi tous les systèmes en involution de la forme (^33) ; pour qu'un pareil système puisse être ramené à la forme (30', il faut que les trois équations linéaires
