DF ' ?F , ^F

or , iT , ..

DF c^F

admettent une solution commune F [x, y, z, p, q).

128. On voit, d'après cela, qu'on peut faire la théorie complète des systèmes linéaires en involution de la forme

r -{-Xs -\- ^=: o, s -\- Xt -\- "kw = o,

où À, u, V sont des fonctions de x, y, z, p, q sans introduire la valeur de s dans les écpiations des caractéristiques. Appelons caractéristique tout système simplement infini d'éléments du premier ordre vérifiant les équations différentielles

cf}/ = mU, (fz = piii- -f- Qdn-, dp = — [J-dc, clq = — \^dx ;

il résulte de ce qui précède que toute surface intégrale est un lieu de caractéristiques; et inversement, pour que les caractéristiques issues des éléments [x^, y,„ ^o» Pm ^o) forment une surface intégrale, il faut et il suffit que a?„, y^, a-^, p^, r/^ soient des fonctions d'un paramètre variable a satisfaisant aux deux relations

dZf^ = p^dx^ + q^,dy^,

dp„ + y^dqo + [Xo^J^o + K^adj/o = o.

Ce résultat peut aussi s'établir directement par un calcul facile.

De tout élément du premier ordre, il part, en général, une caractéristique bien déterminée, à laquelle appartient cet élément. Par suite, si deu.r surfaces intégrales d'un système linéaire en involution ont un contact du premier ordre en un point, elles sont tangentes tout le long de la caractéristique issue de cet élément. On déduit de là une conséquence importantf .

Supposons que l'on connnisse une intégrale du syslrme en involution dépendant de trois paramètres a, b, c et ne vérifiant aucune équation du premier ordre indépendante de a, b, c; soit (S) cette intégrale. On peut disposer des trois paramètres a, b, c de façon que la surface (S) soit tangente à une autre surface intégrale (2) en un point donné; les deux surfaces (S) et (S) sont donc tangentes tout le long de la caractéristique issue (le l'élément commun. Toute surface intégrale (S) est, par conséquent, l' e^iveloppe cfuyxe suHe simple nient infinie de surfaces (S).

D'après cela, l'intégrale (S), qui dépend de trois paramètres, joue le même rôle que l'intégrale complète d'une équation du premier ordre. 11 y a cependant une différence essentielle entre les deux cas, qu'il est aisé de mettre en lumière. Soit »

l'équation générale des surfaces (S); quand on établit entre les trois paramètres a, è, c, deux relations de forme arbitraire

i = I, (rt), c = <l> (Vi),

les surfaces enveloppes, dont on obtient l'équation en éliminant a entre les relations

/ * [x, II, z, a, f (a), ^(a)] = o,

forment, on l'a vu, l'intégrale générale d'une équation du second ordre (I, n" 8). Pour que ces surfaces enveloppes soient des intégrales du système en involution proposé, il faut que les fonctions (p (a) et •]/ [a) vérifient une relation de la forme

(39) F [rt, a> (a), I (a), *' [a), f (a)] = o ;

on obtiendra cotte relation en exprimant que les caractéristiques définies par les équations (38), qui dépendent de cinq constantes à, <p (a), ({/ (fl), *' {a), >y (a), quand on n'établit aucune relation entre ^p et -l, sont identiques aux caractéristiques du système en involution, qui dépendent seulement de quatre constantes. On exprimera, par exemple, que ces multiplicités vérifient les équations différentielles des caractéristiques, ce qui n'exige que des différentiations et des calculs algébriques.

Etant donnée une relation de la forme (39), on sait qu'on peut exprimer a, » (a), •l (a) au moyen d'un paramètre variable a, d'une fonction

arbitraire de i el de ses dérivées en nombre fini, sans aucun signe d'intégration. Par suite, on peut toujours exprimer l'intégrale générale d'un système linéaire en involution par des formiiles où figurent explicitement une fonction arbitraire et un nombre fini de ses dérivées. Il n'en est pas de même, en général, pour un système en involution de forme quelc«»n(pu'.

Heprenons, par exemple, le système en involution (29), ([ui est linéaire ; d'après la signification de oes équations, toute sphère de rayon ^ — 1,

(40) (X — fl)« + (// — iV-» -f (j - c)» + 1 = o,

est une intégrale. Par suite, lintégrale générale peut être considéréecommi' l'enveloppe d'une sphère de rayon y' — 1 quand on établit entre, les coordonnées du centre (>, 6, ci une relation de forme convenable. Or, nous avons vu que les caractéristiques du système '29j étaient des lignes droites rencontrant le cercle imaginaire de l'infini. D'autre part, les caractéristiques de la sphère sont représentées par les deux équations (40) et il

'4! X — a fJa A^ [y — h) dh -\- [z — c) rfc =: o ;

pour que ces caraclf-ristiques soient des lignes droites, il faut et il suffit que le plan 41) soit tangent au cône asymptote de la sphère, c'est-à-dire que l'on ait

daP- + db"^ + c/c2 = 0 ;

d'où l'on conclut que l'intérjrale générale du système t'29 s'obtient en prenant fcnveloppe d'une sphère de rayon V -^ 1 , dont le centre décrit une-courbe minima.

Il peut aussi arriver que les courbes caractéristiques ne dépendent que de trois paramètres. Par exemjde, pour le système r -f ,? = o, t -\- s ■= o, les équations des caractéristiques sont

y = !/o + •'' — -''o' ^ = ^0 + (;>o + '7oî ^-^'-^o). P=Po'

on voit que les courbes caractéristiques ne dépendent que des trois paramètres y^ — ^oi Po,+ Ço- ^o — '^o Po 4" îo)- Chaque courbe caractéristique est contenue dans une infinité de multiplicités caractéristiques du premier ordre, dépendant d'une constante arbitraire, et chaque

LKS SYSTKMKS KN INVOLUTION 71

multiplicité caractrrislique du premier oi-drc est rcuft'rmée à son lour dans une iiifinilé de caraelérislicpie^ «In ^<'c«»iid (»rdre dépendant d'une nouvelle constante arbitraire.

129. Reven<ms maintenant à la théorie des systèmes en involulion de forme générale.

On sait le rôle important (pie jouent les intégrales complètes dans la théorie des expiations aux dérivées partielles dif premier ordre. Etant donné un système en involution

(■42) ;• + f{x, î/, 2-, p. v> i-^ = o, t -\-^ (x, y, z, p, ry, s) = o,

nous appellerons de même intégrale complète de ce système toute intégrale dépendant de quatre paramètres

de telle façon que lélimination de «,, a^i «31 «; <-Mitre la relation 43^ et les suivantes

SF , ^F

0x^1/ oxd: ••V'^- os- oz

conduise aux écpiations (42). et à celles-là seulement. Étant donnée une intégrale quelconque du système (42), on peut, d'après cela, disposer des constantes a,,^,^ ^3)^c *^c façon (pie lintégrale complète ait avec l'intégrale donnée, en un point donné, un contact du second ordre. D'après une proposition établie plus haut, les deux surfaces ont alors un contact du second ordre tout le long d'une caractéristique. Toute surface intégrale est donc l'enveloppe d'une famille d'intégrales complètes, chaque intégrale complète ayant xin contact du second ordre avec la surface enveloppe, le long d'une carac'érislique. Cela s'applique aussi aux systèmes linéaires. Par exemple, l'intégrale générale du système r -[-5 = o, / 4" * = ose compose fn" 120) de surfaces cylindrifpies ayant

72 CHAPITHE VI

leurs génératrices parallèles au plan y — a; =: o. On peut prendre pour intégrale complète les cvlindres de révolution ayant leur axe parallèle au même plan. 11 est clair (pie, le long d'une génératrice, on peut trouver u!ie intégral»' complèlo ayant un contact du second ordre avec la surface cyliirtlrique.

11 existe cependant une différence essentielle entre une étpialion du premier ordre et un systènu' en involulion, pour la théorie des intégrales complètes. Tandis (jue toute famille de surfaces à deux paramètres

F (a-, y, ^, a,, rtj) r= o

est une intégrale complète d'une équation du premier ordre, une famille de surfaces à quatre paramètres

donne bien une intégrale complète d'un système de 2 équations du second ordre

fi (^. «/, ^, P^ 9, *', s, l] = o, f^ {x, y, 2, p, q, r, 5, l) — o,

mais ce système n'est pas, en général, en involution. Ainsi une sphère dépend de quatre paramètres ; l'équation

x^ -\- y^ + 2^ + 2a, ^'-f- 2a.jy + la^z ■]- a^ — o

est une intégrale complète du système

Les é<|uations qui déterminent les dérivées du troisième ordre ne forment un système indéterminé que si on a i -\- p^ -\- c/^ =. o \ par suite, en dehors des intégrales de cette équation du premier ordre, le système (45) n'admet que des intégrales dépendant de quatre constantes arbitraires au plus, ce sont précisément les sphères. On voit, sur cet exemple, qu'un système de deux équations du second ordre peut, admettre une infinité d'intégrales, dépendant d'une fonction arbitixi,ire^ sans être en involution. 11 faut, en outre, que, par une courbe choisie arbitrairement, il passe une infinité d'intégrales, dépendant d'une constante arbitraire, pour (jue le système soit en involution.

La connaissance d'une intégrale complète ¥ {x, y, z, a^.a,^, «3, a^ = o d'un système en involution non linéaire permet de déterminer les carac-

léristiques sans aucune i nié •^ration. Kn eiïel, toute surface intégrale étant l'enveloppe d'une suite simplement infinie d'intégrales complètes, les courbes caractéristiques font partie des courbes représentées parles équations

• J- J . J . -. ^'^2 '''«i da, ^^ . .

qui dépendent de sept paianielrosrt,, a.^, a^, a^, -r-^t —^i --— '• hn ecn-

UCl Ê ''6c I Util

vant, comme plus haut, que les multiplicités d'éléments du second ordre correspondantes vérifient les équations dilTérentieiles des caractéristiques, on établit deux relations seulement entre ces sept paramètres

. / da., da^ da,\ . /' da.\

puisque les caractéristiques dépendent de cinq paramètres. Pour obtenir l'intégrale générale du système en involution, il faudrait obtenir les expressions les plus générales de quatre fonctions a,, a.^, a^, a^, d'une seule variable, vérifiant les deux relations précédentes.

On peut aussi étendre aux systèmes en involution la notion de courbes intégrales (').

130. Comme conclusion do l'étude qui vient d'être faite, nous remarquerons qu'un système de deux équations du second ordre ne peut admettre d'intégrale dépendant dune infinité de constantes arbitraires que dans deux cas : lorsque les équations forment un système en involution, ou lorsqu'elles admettent une intégrale intermédiaire commune du premier ordre. En effet, les équations étant mises sous la forme (11), si elles ne* forment pas un système en involution, l'une au moins des expressions

c^s ^/ \dy) c\v \cfx)

ne sera pas identiquement nulle. Supposons, par exemple, que

(1) Bei!DON (Thèse de Doctorats Pour plus de détails sur les sysléines en involution de deux équations du second ordre, on pourra consulter une note que jai publiée dans les Comptes Rendus (1" juin 1896), et un niénuiire plus développé dans \e Journal de l'École polytechnique (1897).

1 — ^ ^ ne soit pas nul idontuiueinent. Les inléj^rales (lui ne satisfont pas à l'équalion

dépendent, nous l'avons vu, de quatre constantes arbitraires au plus (n" 121). Si donc il existe des intégrales communes aux deux équations proposées dépendant dune infinité de constantes, ces intégrales doivent aussi satisfaire à la relation (46 . Appelons H (jc, y, z,p, fj,sj le premier membre de celte équation ; si les intégrales considérées ne vérifiaient

pas Téquation -r- := o, on pourrait tirer s de la relation (46'^, et on en

concluerait que ces intégrales dépendent an plus de trois constantes arbitraires. Il faut donc que les inté<jfrales communes, qui dépendent d'une infinité de constantes, satisfassent à lu fois aux deux équations

Il = o, -T- =: o,

et par suite à l'écpiation du premier ordre K = o, obtpnue par l'élimination de s. Mais on a déjà reniar(|ué n" 120 qu'une équation du second ordre et une équation du premier ordre ne peuvent admettre d'intégrale commune dépendant d'une infinité de constantes (|ue si l'équation du premier ordre est une intégrale intermédiaire de l'équation du second ordre.

Si i — Y" V^ 6st identiquement nul, toute intégrale commune aux

équations H i doit satisfaire aussi à l'équation

sur laqut'lli- on |)i.Mit recommencer le raisonnement qui précède. 131. Étant données deux équations du second ordre non résolues

,^^^ I F (./;, y,, 2, p, ry, r, s, t> = o,

nous dirons de même que ces deux équations forment un système en involution, si les quatre équations que l'on obtient en les différentiaut par rapport à x et par rapport à y se réduisent à trois équations dis-

LES SVSTKMKS EN INVOLl'TION

tincles. Soit

te) = ^/"^5:^^ + 57/ + :>,'•

on a, entre les quatre dérivées du troisième ordre a, [3, y? c, les relations.

Pour que ces (|uatre équations se réduisent à trois, il faut d'abord que le déterminant formé par les coeflîcit'nts de a, S, y, 3 soit nul

DF

cM^

DF

DF

c'est précisément la condition pour que les deux équations

aient une racine commune. Une première condition pour que les équations (47) forment un système en involution est donc la suivante; en chaque élément du second ordre commun aux deux éciualions, il doit y avoir une direction de caractéristi(iue commune.

Suit m la racine commune aux équations \oO), qui vérifie les deux

relations

D FJ^] ~ D iF. FJ ~ D iK. F.)'

si on élimine-*' enliv la première cl la Iroisiùmedcs équations (481, puis 8 entre la seconde et la quatrième, on est conduit à deux nouvelles égalités

(48 bis]

^±^/dF\ ^F /dF,\ . D(F, F,) D (F, F,) \ irydiJ-^'Vd^J^^ D{s,r) -^^ D(.'.r)'-^-

En multipliant la première par m et ajoutant, il vient, en tenant compte de la valeur de m. une nouvelle équation de condition

,„, Tc^F. (d?\ ^V A/FAT . ^F, /r/F\ ^F /r^\

Les conditions (49) et (ol) sont sufTisantes pour que les quatre équa-

D (F, F ) tions (4S) se réduisent à trois, pourvu ciuc le déterminant ^ , ' ^■' ne

soit pas nul, ce que nous supposerons. En elTet, les équations (48 his) peuvent remplacer deux des équations (48), et ces deux équations se réduisent à une seule. Pour que le système (47) soit en involution, il suflit que les conditions (49 1 et (oi) soient vérifiées, en tenant compte des équations (47) elles-mêmes. Si ces conditions sont vérifiées identiquement, les équations F = C, F, = C, forment un système en involution, quelles ({ue soient les valeurs des constantes C, C,.

On obtient les équations dilTérentielles des caractéristiques d'un système en involution de forme générale de la même façon que pour un système en involution de Informe (11'. Sur une intégrale commune aux deux équations (47), représentée par l'équation z = <J» (x, ij j, considérons une famille de courbes définie par léquation diiïérentielle du premier ordre

dy

où m désigne la racine commune aux deux é<|uations (50; ; on suppose, bien entendu, que. dans m, on a remplacé z. p. rj, r, s, l par leurs valeurs en fonction de x et de y, déduites de l'équation de la surface.

Le long (le l'une de ces courbes, on a

dz = pdx -\- qdij, dp = rdx -\- sd;i, d<j = sdx -\- td}/^

dr = acte -j- prfy, ds = ^dx -\- ydi/, dt ■=: -^dx -j- My ;

mais on tire des é(iuations (48 :

:>f \ d.r ) ;)/■ \dx) * + P"^ = ÎTTFTFj '

P + ^'"== DTFH^i '

D (r, /) ^F, /f{F\ ^F /dFj\ j c>r \di/ ) Dr y (/y / i D(F. F,)

de sorte que, le long d'une caractéristique, x, y, z, p, q, r, s, t satisfont aux équations différentielles

dx dy dp dq

D(F,F,) ~ D(F,F,) - DiF,Fj , ."" dTfVFTT" !

(52)pirp^\F,, -çf /^x^DF,/ç^x

I D(r, /) ^i'^'i'^! M \dx) D/ \dx)

(^s dt

\ }>t \ dy ) ^t \dy ) "^l^r \dy) h- [ dy )]

Ces équations admettent, comme on devait s'y attendre, les deux combinaisons intégrables r/F = o, dh\ = o, de sorte qu'on peut les ramener à un système de tin(j équations à six varivbles. On démontre, comme plus haut, que, pour avoir une intégrale du système en involulion proposé, il suffit de prendre le lieu des caractéristiques issues dune infinité d'éléments du second ordre (xq, y^^, z^, p^, ç^, r^, s^^, l^), dont les coordonnées sont des fondions d'un paramètre variable a satisfaisant aux relations

Dx « Da *" Dx ~ ' Dx ' Dx '» Dx

132. Apivs avoir éludii' en détail les deux cas particuliers (|iii précédent, nous allons considérer les systèmes Hu'nu's dune, équation du second ordre et dune é<juation d'ordre (juelcoiupie. On ne restreint pas. la généralité en supposant que l'équation du second ordre proposée est résolue par rapport à la dérivée du second ordre r. Si, en effet, léqualion ne contient pas r, elle contiendra l'une au moins des dérivées « et / ; si elle renferme /, il suffit de permuter x ei y pour être ramené au cas précédent. Si l'équation ne renferme ni rni /, elle est de la forme «-|- /*i.r, y, 2,/), Y)=r o, et il suffît de prendre pour variables indépendantes u=: x-j-y elv = X — y pour avoir une équation résolue par

rapport à — •

Nous pouvons donc toujours prendre l'équation du second ordre sous la forme

(53) r + /-(a-, t/, ^, ;), ry, s, /) = o,

ou, en posant

cV + *Z

x\^y Pi.o + f^^^ y^ -1 i^i.o, Ri, Pi,i, ;Jo,.) = 0.

L'équation (o3j et celles quon en déduit par des différentiations successives permettent d'exprimer toutes les dérivées partielles de z au moyen des dérivées partielles ;>,,*, où l'indice i a l'une des valeurs 0,1. Ainsi, en différentiant l'équation (53) un nombre quelconque de fois par rapport à y, on obtient l'expression des dérivées

lV2^y"-2

au moyen de a-, »/,z, PoiiPo:- -m/^/.; Vk^^Vkk^ --^VK.n-K \ en différentiant ensuite une fois par rapport à x et un nombre quelconque de fois par rapport à y, on exprime les dérivées

'^x'^lxf'-'^

au moyen des précédentes, et ainsi de suite. D'une manière générale, on a, si l'indice i est supérieur à l'unité,

(54) jum — F [x, y, z. //op/'o2 Poi î Pic Pi 2- •••. />!,«-.), iAr^ — n,

la fonction F se déduisant de /'par des différentiations, des mulliplica-

lions et dos aildilioiis. Nous supposerons toujours, par la suite, à moins de mention expresse, que l'on a remplacé les dérivées p,,, [i > 1) par leurs expressions au moyen des dérivées où le premier indice ne dépasse pas l'unité.

Voici une autre notation que nous emploierons frécpiemment. Soit

U fa-, y, z,;>,(, p^^„) une fonction de a?, y, z, et des dérivées partielles

de î jusqu'à un certain ordre, n par exemple. Imaginons qu'on diiïérentie cette fonction rfois de suite par rapport k x, k fois de suite par rapport à y, en considérant z comme une fonction de x et de y, qu'on retranche du résultat les termes qui renferment les dérivées d'ordre n -|- i-\- k, c'est-à-dire

A„ Vn+i.k "T T~ P/1 + /-I.A-H "h •■• + T- Pi.n+k,

'^Pno '^Pn-\.l <^Po.n

qu'on remplace ensuite les dérivées p,,A, où î > 1, par leurs expressions tirées des formules (oAj ; nous désignerons le résultat de toutes ces opérations par

Vfx'dy'')'

133. Les caractéristi([ues de l'équation (o3) sont données par les racines de Téijuation du second degré

soient w, et m.^ les deux racines de cette équation. Si on prend, sur une surface intégrale, les courbes définies par l'équation différentielle

(/i/ — in^(Lx = o,

l'orientation d'éléments d'ordre n, qui appartiennent à la surface intégrale le long de l'une de ces courbes, constitue ce que nous avons appelé une caractéristique d'ordre n 1, n° 81). On a d'abord, pour une de ces caractéristiques, les relations

(hj — m,rfa-, dz = /),o<''''' + Po\^^y ^P>. '^ = P> + i, '/''•^' + Pi,k^\^^yi

où i J^ k -^ n — 1, et où l'on peut supposerque l'indice i ne dépasse pas l'unité. Pour obtenir une nouvelle équation différentielle, nous n'avons qu'à différentier l'équation proposée i53) n—i fois de suite par rapport

à ^V) ^'6 iiui donne

d'autre pari, on a aussi :

(fpi,„-i = Pi.n-i dx -f- ih,»dyy dpo,n = pi,n dx -{- po... + idy.

Remplaçons dy par m^dœ, on en lire

dpo, „

dpi,„-i dfto „

et, en portant dans l'équation précédente, il reste:

c/ic

Les équations différentielles des caractéristiques d'ordre n sont donc les suivantes

dy = mfdx, dz = Py^dcc -\- p^^dy, dpio = Piodx -\- pixdy, ..., c^pi,„2 = p,,n-idx -f Pi,„^idy, (56j { rfpoi = Pudx 4- poK^y, ..., dpo,u-i = pi,H-irfar -f- jîo, nC^y,

K „ij rfa; -4- f/pi,,.i + ^idPo,» = 0.

On suppose, bien entendu, qu'au moyen des relations (53) et (54) on n'a laissé dans ces équations différentielles que les dérivées p,,/, , où l'indice j ne dépasse pas l'unité. Ces équations, en nombre 2n -\- l, renferment donc 2n -j- 3 variables; elles admettent, par conséquent, comme on l'a déjà remarqué, une infinité d'intégrales dépendant d'une fonction arbitraire. Toute intégrale des équations (56). jointe aux équations (53) et(54), définit une orientation d'éléments d'ordre n, qui est une caractéristique d'ordre»; pourabréger, quand nous parlerons des équations des caractéristiques, il sera question des éqiialions différentielles (56). On obtiendra le second système de caractéristiques en permutant m, et m .

II est aisé de retrouver, au moyen des formules précédentes, un certain nombre de propriétés qui ont été signalées rapidement (t. I, n» 81]..

Ainsi, toute caractéristique d'ordre n renferme une caractéristique d'ordre n — 1 ; car on déduit des deux é(iuations

dpi,n-i = Pi.n-idx -f- pi^„id{/, dpo,„-i = Pi.n- i^J^' + Po.udy,

en multipliant la seconde par m.^ et ajoutant membre à membre, et remplaçant ensuite di/ par 7n^doc,

dpi „-î -^ m^dpo „^i 1 ' I N I

Pi.n-i -\- ^^ Pi.n-l "T ^ Po,n,

c'est-à-dire

(57) ( . „;j dx -f- rf/)i,„2 -f midpo,n-i = 0.

On peut donc remplacer, dans les équations (o6), la relation

dpt,„-2 = pi,n-îdx + pi,„^idy

par la précédente. En d'autres termes, les équations différentielles des caractéristiques d'ordre n s'obtiennent en ajoutant aux équations différentielles des caractéristiques d'ordre n — l les deux suivantes

( dpo, „ .. 1 = pi,n. idx -f- Pc ndy,

Connaissant une caractéristique d'ordre n — 1, pour avoir une caractéristique d'ordre n à laquelle elle appartienne, on a les deux équations précédentes qui déterminent pi,„i et;jo,»i-

Si on élimine pi.n^i entre ces deux équations, on est conduit à une équation différentielle du premier ordre pour déterminer jOo,,,, où le

coefficient de -—^ est (//*.. — /»i). Donc, lorsque l'équation caractéristique

(55) a ses racines distinctes, toute caractéristique d'ordre n — 1 ai)parlient à une infinité de caractéristiques d'ordre n dépendant d'une constante arbitrair/e (Voir t. I, p. 183).

134. Dans là recherche des intégrales communes à l'équation du second ordre proposée et à une autre équation d'ordre «, o =: o, on

INTtGRATlON OKS ÉQUATIONS. 6

Hi t-HAPITRE VI

peut toujours supposer qu'on n'a laissé dans cette dernière que les dérivées pok et pin, en remplaçant les dérivées ;j,a, où l'indice i dépasse l'unité, par leurs expressions tirées des formules (o3) et (34). Si, après cette substitution, l'équation «p = o se réduit à une identité, toutes les intégrales de l'équation du second ordre proposée appaHiennent à la seconde équation, qui est ainsi une conséquence analytique de la première. Laissant de côté ce cas exceptionnel, supposons qu'on ait un système formé de l'équation du second ordre (33) et d'une autre équation d'ordre >i,

(39) » [X, y y z, p,o, p,i, ..., Pi.„-i\ Pq\, po:, ■••, pon) = o,

dont le premier membre ne renferme que les dérivées pi^/,, où i ^\. En regardant z comme une intégrale commune à ces deux équations, proposons-nous de calculer les dérivées d'ordre n -|- 1 de celle fonction ; d'après ce que nous avons dit plus haut, il suffit de calculer les dérivées Pi.n cl Po. „t1- f'^ïï diiïérenliant l'équation (39; une fois par rapport à x et une fois par rapport à ^, et l'équation (33 j {n. — 1) fois de suite par rapport à y, on pai-vienl aux trois équations

où (-T^)' (t^)' (y „ - 1 ) : ont le sens expliqué plus haut (n° 132). En éliminant Pi,„-x entre la première et la troisième, on est conduit auxdeux équations suivantes, pour déterminer /3).„ etpo,„n,

I r Pl.n + Z Pù.,,ri -j- ( -r) = o.

Nous dirons que les équations

»• -|- /" = o, s = o forment un système en involulion. si les deux equal' jiis 61; se réduisent

LES SYSTÈMES EN INVOLUTiON 83

à une seule [^}. Pour qu'il en soit ainsi, il faul dabord f|ue l'on ait

c'est-à-dire que le rapport r^^ : t—^ — soit ('L-al à l'une des racines Wj, lUi de l'équation

Supposons, par exemple, que l'on ait

c^3) Dï»

= IHi

en tirant la valeur depi,,, de la seconde des équations (61) et portant dans la première, il vient une seconde condition

Pour que le système r-f f= o, cp =o soit en involution, il faut donc que la fonction cp vérifie un des deux systèmes d'équations

(Do t)»

( \c!xj ^ "" \dij} ^p,. . , \d:r -') °'

l t)cp ^m

mx ; '■Po,n t'Pl,,!-!

Kâ)+""(|)-^

Si la fonction cp satisfait à l'un de ces deux systèmes, les deux équations (61) se réduisent à une seule, et on peut choisir arbitrairement la valeur d'une dérivée d'ordre n + I ; en raisonnant comme on l'a fait plus haut (n° 122;, on verrait de même qu'on peut choisir arbitrairement la valeur d'une dérivée de chaque ordre à partir du (n-}-l)* et, par suite, former une infinité de développements en série entière qui satisfont formellement aux deux é(iuations proposées. Au lieu d'établir directement la convergence de ces développements (ce qu'on pourrait faire par

(') Il suffit que cela ait lieu en len.nnt compte de la relatiun -^ — o eile-inèinc. Nous supposerons daboni qu'il n'est pas nécessaire de tenir conqile de celte relation; ie cas où il est nécessaire d'en tenir compte est examiné plus loin (page 90, n* 139).

84 CIIAI»nHK M

un arlilicc ai»aIo},^ue à celui qui a été employé précédemment;, nous établirons l'existence des intégrales communes aux deux équations par la méthode même qui servira à les obtenir.

Auparavant, il est essentiel de romarcjuer que les deux systèmes d'équations [\) et (B) se présentent dans une aulre question. Les équations différentielles des caractéristiques (36) sont au nombre de 2n-|-l, et le nombre des variables est 2n»-|- 3, de sorle qu'on ne peut les intégrer comme un système d'équations différentielles ordinaires à une .seule variable indépendante. Les méthodes de Monge et d'Ampère consistent essentiellement, on l'a vu, à rechercher s'il existe des combinaisons intégrables pour les équations différentielles des caractéristiques du premier ordre. En généralisant cette méthode, proposons-nous, avec AL Darhoux, de rechercher s'il existe des combinaisons intégrables des équations diffère elles des caractéristiques d'ordre n, c'est-à-dire de& fonctions

<? ^-, !,'. ^, Pi.o^iJi.i, •.., i'i.,. -«; Po,«, ■■■■, Pon)

telles que l'équation

soit une consé(|uence des éciuations (36). En remplaçant dans d^ les différentielles (/y, dz, (/p,o,..., dpo,A-i, dp^n-i par leurs valeurs tirées des formules 36), il reste

r^?l ... ^,J!i^, ,,^ in /'^ I ^J^,^,4. ... +^p„ \ I dx

+ 5;;::, ''''«■■- 5;^ I [Sr^J ''■■■ + '"=*«" 1 ="•

c'est-à-dire

Pour que dv = o soit une combinaison intégrahle des équations (36),. il faut que les coefficients de dx et de c/yv,. soient nuls, c'est-à-dire ^Mt; f soif une intégrale du syslème (B).

Appelons, pour abréger, systèmes (l) et (II) de caractéristiques les systèmes dont on obtient les équalioiis différentielles en prenant dy = m^ d'\ ou '/.'/=: m^dx respectivement; appelons de même invariant d'urdre n d'un syslème de caractéristiques toute fonction cp [x, y, z, 2^01 •••' >*o"/' «enfermant l'une au moins des dérivées pi,n~u Po.m et aucune dérivée d'ordre supérieur, qui conserve une valeur constante, quand on se déplace sur une caractéristique de ce système, c'est-à-dire

telle que d^ = o soit une combinaison intéo^rable des équations de ce système de caracléristiques. On voit, d'apn's cela, que toute fonction ^ qui satisfait identiquement aux équations (B) est un invariant du système (I) de caractéristiques ; de même, toute intégrale du système (A) est un invariant du système (II) de caractéristiques.

135. Cela posé, comme nous supposons que la fonction «p vérifié identiquement les équations (A), c'est-à-dire sans tenir compte de la relation <f.= o elle-même, les deux équations

forment un système en involution, quelle (jue soit la constante C. Nous allons montrer que ces deux équations admettent une infinité d'intégrales communes dépendant d'une fonction arbitraire; par une courbe quelconque (r), il passe, en général, une infinité d'intégrales de ce %ysl'emey dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires. Soient

y = •\ (^), z = Tz [x]

les équations de la courbe (T). Si une surface passe par cette courbe sans l'admettre pour ligne singulière, le long de cette courbe p ei q sont des fonctions de x qui vérifient la relation

On peut, par exemple, choisir arbitrairement la valeur de q, et la formule précédente donnera p; si on suppose, en outre, que la surface cherchée satisfait à l'équation r-|-/'=o, cette équation et celles qu'on en déduit par des différentiations successives feront connaître les valeurs de toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue le long de la courbe (F), ou une orientation d'éléments d'ordre n ayant (F) pour support ('). Imaginons que nous ayons substitué dans ^ les expressions obtenues pour toutes les dérivées d'ordre égal ou inférieur à n ; le résultat contiendra, en général,

. Ù, ... tllA.

^' dx dx" - «

En écrivant que ce résultat est égal à C, on a une é(|uation différentielle d'ordre n — 1 pour déterminer q {x) \ à toute solution de cette équation différentielle d'ordre n — l correspond une orientation d'éléments

(') Il suffit de reprendre les raisonneincnls du n" 16 (t. 1. p. 24) et d'adjoindre les relations dp = rclx + srfy, <lq = sdj; + tdy, et les relations analogues.

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d'ordre n qui ajiparliennent à une surface intégrale (S) de l'équation r-j-/"r= o. Celle surface (S) donne aussi une inlégr aie de C équation (p:=C. Eu elTel, l'ensemble doublement infini d'éléments d'ordre n que détermine cette surface peut être considéré comme un lieu de caractéristiques du systi'me (il), cbacunes d'elles étant issue d'un point de la courbe (P). Or, puisque ^ est une intégrale du système (A), cette fonction * est un invariant pour les caractéristiques du système (11), et conserve une valeur constante quand on se déplai'e sur une de ces caractéristiques. Comme, d'autre part, a. = Cen tous les pointsdela courbe (r), il s'ensuit que l'on a aussi o = C en tous les points de la surface (S).

136. Cette surface (S) peut être obtenue par l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires. Pour établir ce point fondamental, nous remarquerons d'abord que l'équation de condition

i)» Dtp

est susceptible d une interprétation géométrique. D'une manière générale, soit

F iX, y, -, p,o, ..., P^,n) = o

une é(juation aux dérivées partielles de forme quelconque, d'ordre n. Sur une surface intégrale de cette équation, considérons les courbes définies par réqualion diiïérenlielle du premier ordre

DF c^F DF DF

(62) r c/y" — T dx du" - ' + ^— ^— dx- dy" -■ ... ±: ^dj^" =z o;

l'orientation d'éléments d ordre n de la surface intégrale le long d'une de ces courbes constitue une caractéristique de l'équation d'ordre n. 11 y a donc, en général, n systèmes de caractéristiques distincts, correspondant aux n racines de l'équation (62). Cela posé, dans le cas d'une équation d'ordre w, 9=0, ne renfermant que les dérivées pi, „ 1 et j)o,„, l'équation (62) se réduit à

r — ' — dx" - ' dy — T— ^ dx" = o,

et la condition trouvée plus haut

/ D3> y Dy

\D/Jo.../ i>5

exprime que les deux équations

ont une direction de caractéristique commune. Toute intégrale de ce système est donc engendrée par une famille de caractéristiques communes, et on est conduit tout naturellement à déterminer d'abord ces caractéristiques.

Nous supposons que la fonction i» satisfait au système (A), et, par suite, que les caractéristiques communes aux deux équations r 4-/"= o, cp = C font partie du système (1). Ces caractéristiques satisfont d'abord aux (2?2 4~4) équations (50) et, en tenant compte de ce qu'elles satisfont aussi à la relation !^ = C, on peut compléter le système d'équations différentielles. De l'égalité ^ = C, on déduit, en effet,

\dx/ ' ^Po.n ' ^Pl.n-l

\ai/ / tlpo, n *^Pi,n-l

quand on se déplace sur une caractéristique, on a aussi

dpo,„ -= Pi,,, dx -^ po,r, +i dy, dpi, „ , = Pi. „ , c/o; 4- pi,„ ({y,

et on en tire, en remplaçant dy par /n^ dœ,

dpo,n

Pl,n = -^ — Po, n + 1 W

dpi, n - I Q^Po.x , 2

en portant ces valeurs de p,.„ et de p2. „ i dans les formules précédentes, elles deviennent

' /Il\ , ^? '^Po.n

OPl.n-t dx

Ces équations font connaître ' " ~ ' » -^" > car r — î — ne peut être iden-

dx dx opin-i

tiquement nul ; autrement on aurait aussi, d'après la première formule (A), T-^ = o, et ^ ne contiendrait pas de dérivée d'ordre n, con-

"Po,n

trairementà l'hypothèse. On peut aussi remarquer que les équations (63) entraînent la dornière des équations (56), en tenant compte de la dernière des conditions (A). En définitive, les caractéristiques coniniunes aux deux équations r"-}- /" = o, » =: C sont déterminées par le système suivant de [in -f- 2) équations différentielles ordinaires à 2n -)- 3 variables

1 <^Po.t I dpo.„^\ ,

J ~;jj = Pii.-rPo.î'fir •■•' ^f^ =Pi,n-i+Po,„m,,

'>».n i fia; ' \r/a;/ ' ^Pi.„-i <^/a; ' \c/i//

où on suppose toujours <iu"oii n'a laissé que les dérivées p,, ^ où i :^ 1.

Toute intégrale commune aux deux équations r-\-/' = o, (f = C s'obtient certainen)c*nt en associant ces caractéristiques communes suivant une loi convenable. D'ailleurs, on vient de démontrer que, par toute orientation d'éléments d'ordre n satisfaisant aux deux équations r -j- / = 0, ç, ^ C, et à toutes celles qu'on déduit de r -^ f = o par des différentiations successives, il passe une intégrale commune (S) ; celte intégrale commune est évidemment le lieu des caractéristiques communes qui sont issues des divers éléments de l'orientation précédente. Si donc on a obtenu l'intégrale générale des équations (64), on obtiendra l'équation de la surface (S) par des éliminations seulement.

Tout système en involution admet donc une famille de mullipUci'lés caractéristiques, dépendant de 2 n -|- ^ paramètres. Comme toute surface intégrale est un lieu de caractéristiques, on en conclut que si deuœ intégrales ont un éiérnent commun d'ordre n, elles ont en commun une infinité simple d'éléments d'ordre n, formant la caractériatique issue de cet élément.

On voit, d'après cela, que la recherche des intégrales d'un système en involution passant par une courbe donnée (F) exige l'intégration de deux systèmes d'é(juations différentielles ordinaires, absolument indépendants l'un de l'autre. L'un deux, toujours le même, quelle que soit la courbe (F), fait connaître les caractéristiques du système en involution. L'autre système, qui varie avec la courbe (T), détermine unie orientation d'éléments d'ordre n, ayant cette courbe pour support et appartenant à une intégrale du système en involution proposé ; on peut le remplacer par une seule équation différentielle d'ordre n — \.

187. Supposons (ju'on iiit obtenu les caractéristiques communes du système en involution, ou, ce qui revient au même, trouvé l'intégrale générale des équations (64). Soient

i ij = P [X, x^, I/o, Zf^\ 11,0, . . . , Ho,,),

(65) V z — Q (x, Xq, .i/o, z^; n,o, . . ., Uo„),

I p,,fc = R,A {œ, Xq, yo, Zo". n,o, . . ., Ilo,,),

les formules qui représentent l'intégrale générale de ce système, jl/o, Zq, n,,A désignant les valeurs de y, z, p, /,, qui correspondent à la valeur initiale oïq de x.

Le résultat que nous venons d'établir par des considérations empruntées à la théorie des caractéristiques peut s'énoncer comme il suit : Pour obtenir une inlégrale du système en involution proposé, il suffit de remplacer dans les formules (65) ^Jq, ^q, 2^0, 11,,^ par des fonctions d'un paramètre a satisfaisant aux relations

*o — ^' -v — ^''.0 ^ "t" iioi ^;^' Oa t'a ox

on suppose que, dans ces formules, 112,^ ait été remplacé par une expression au moyen de o^o, y^i -s'o^ n^o, ..., rii,A+ i,no,i, ..., ITo.A+a pareille à celle de/)2,A aumoyendea;, y, z, p,,o, ...,Pi, /, + 1, Po,i, ...,Po,fc+ 2, déduite des relations (53) et (54). En effet, les équations (66) définissent alors une orientation d'éléments d'ordre n qui appartient à une intégrale du système en involution proposé ; cette intégrale est nécessairement représentée par les formules (65^, puisqu'elle est le lieu des caractéristiques du système en involution issues des divers éléments de l'orientation dont il s'agit.

Le théorème précédent peut s'établir par un calcul direct, comme nous l'avons fait pour les systèmes en involution formés de deux é(|uations du second ordre. Je renverrai pour la démonstration au travail déjà cité de M. Beudon.

138. La détermination des caractéristiques du système en involution, qui constitue la partie essentielle du problème, dohne lieu à "ne remarque. Les équations (64) admettent toujours la combinaison Thtég/ahle rfi^ = o, comme il est facile de le vérifier ; on peut donc remplacer l'une de ces équations différentielles pa- la relation ç, = C, et en tirant de celle-ci l'une des variables en lunction des autres, on est

ramené à un système de 2n -f" ^ équations d^fTô^enl^elles entre %i -{- 2 variables. Mais il y a lieu de faire une distinction, ({ui peut avoir une cerlaii»e imjiorlance praliciuo. Lorsque les deux racines 7?i,, wij de l'équation

sont distinctes ^ce qui est le cas général), rftp = o ne peut pas être une combinaison intégrable des équations diiïérentielles des caractéristiques (I), car on devrait avoir à la fois

ce qui est impossible, puisque m^ est différent de m^. Par conséquent, en ajoutant aux équations (56 ^ la relation c/cp -- o. ou ç = C, on obtient un système absolument équivalent au système (64). Ainsi, pour obtenir les équations différentielles des caractéristiques du système en involution, il suffit d'ajouter la relation o.= C aux équations différentielles des caractéristiques (V) de r -{- f =1 o. Il n'en est plus de même lorsque l'équation

m^ — r^m -f- T" = 0 iV ' ot

a ses racines égales. Alors dv = o est une conséquence des équations '061, et il faut partir des équations (64) pour trouver les caractéristiques du système en involution.

139. Examinons maintenant le cas où les équations (A) sontvérifiéep, non plus identiquement, mais en tenant compte de la relation (p = o elle-même. Pour plus de clarté, supposons l'équation ^ = o résolue par rapport à la dérivée pi, „ 1 , ce qui est possible puisque, si <s ne renfermait pas p, „ 1 , elle ne renfermerait pas non plus po„ , d'après la première des équations (A). Ecrivons, par conséquent,

'f = p,,„ -!-+-•} (OC, .V, Z, /J,o, ..., Pon) = o;

les conditions (A) deviennent

^po„