I.KS KOIJATIONS DE MONGR ET I) AMP^HE
ft,,c,, îHixquelle.s pntisfonl foules c^s mulliplicilés M,. L"un»f d»? ces relations est préci<;oineiil
dz — pdx — qdy =. o ;
les deux autres s'obtiennent comme il siiil. On tirn des e(|uations (!Î9i
les différentielles étun». prises en y regardant a. h, c, comme des consianles, et remplaçant dz par pdx -\-qdij ; si on ren)place dansées éfjuationsrt, b. c, par leurs valeurs tirées des frois relations
l^Oj b=o, -H-;,- = o. -4.^---o,
on est conduit à deux équations linéaires en de, dy, dp, dq. Par conséquent, toutes les surlaces enveloppes des surfaces du ctmiplcxe satisfont bien ii une équalinn du second ordre de la forme (!', q»ie I on
obtiendra en éliminant a, 0. c et .- entre les équations (30) et les deux équations
'' (tI-) + fi -'•°'^' + '"'^'' + 1"' (i j = "■
-' Q + f ■'"'■' + '■'"■ + -'-' iji) = "•
On roinarquerii que celle méthode conduit aux mêmes calculs que celle qui a été exposée plus liaul(n" 8).
30. Considérons encore les .sur/aces de tvaiinlation , qui sont engendrées par le mouvement de translation d'une courbe de forme constante. Une surface i\c translation peut encore être définie comme il suit: Soient \\ I ', deux courbes fixes quelconques, m un point quelconque de r, ni' un point quelconque de i""', et M le milieu de la droite qui joint ces deux points m. m', l.e lieu du point M est une surface de translation (S). On voit, en effet. <jue lorsque, le point m restant fixe, le point m décrit l' , le point M décrit une courbe "' bomolbélique à V
avec - pour rapport d'homotbétre; la surface (ii) est donc engendrée par
56 CllAPITHi; H
la Iranslalion d'une courbe y <I«^ furnie invariable. De mOnif. lorsque, le point m' restant fixe, le poiiU m dérrit la cou-be 1'. 1*^ p«iint M décrit
une courbe Y homothétiqtie à 1" avrr- pour rapport H honiolliptie. Toute
surface «le translation peut donc éfre ensçendréc de dt^vacynmvièr^s difTArrvte.f par la translation (Vvnn crturhe do forme invariable.
.Supposons mainlonaiU (pie les lang'^ntcs à la coijrbe V soient parallèles aux ^••én'^ratrices d'nii rt^rtain cône, c'est-à-dire que l'on ait pour cette couri)e une relation tlo la fnrnie
tp id r^ dy. d~^ = o
filtre les paramètres dirioteurs de lu tanj^onte. cl 'Mie ndalion de même Airnie pour la courbe I""
Il [d.r\(iy^ dz) = o.
Chacune de ces ccuibes F et V dépend d'une fon-Mion arbitraire; l'^s surfaces (i' de traii'slatioii, obtenues en pretuiat pour 1 une courlie quelconque satisfaisant à la condition ;p [dx, dy, dzi ■=: o. et pour F «ne aiiiie combe sali<i}'atsant à la er.rxiition "j/ \drr. dy. rfr) — o. dépetidc nt oon-": de deux fonctions arbi'raiiv?.;. Joules ce< surfaces st»nt des iulej^raies d une niéine é<pialu>.i du secoiul ordre de la furnne (I). Pur tout point de l'une de ces sinfaees. passe une courbe v Tiouicihétique a V \ considérons les multiplicib's M^ lonnées par une courbe y et les plans lang-ents à la surface S) le long de cette courbe. La surface (1^) est engendrée par la translation d^• la oourl)e y, cbacun des points de y décrivant une courbe y' boniotliéiique à V . Il pu réstiite <(ue les plans tanpenls a la stirfuce (L) le long de y, enveloppent un cylindi>' ayant ses génératrices parallèles à une tansfcnte a X". On déduit de la que ces multiplicités \f, satiiifunt n deux equaliojis de la forme (iCi). D'abord, en écrivant que la tangent»* à y est parallrle à une i»'éiiératri(îe du premier cône donné, on a une première relation
3 [d.'\ dy, dz j = o :
écrivons, d autre pari, que la droiîe d'intersection de deux [dans tangents intiiiimenl voisins le Mng dey est [larailèle à une génératrice du second cùne. Celle droite est définie pai- les deux équations
(X — r dp -f- 'Y — y\ dq -— o,
LES- IlOUMIONS DP. MuNGF. ET 1) V^ll'ÈKr: el les paramètres direclrurs sont lespecliveinenl
dr/, — dp, pHq - qdp,
el o\i a une socondt^ relation
■| idq, — dp, pdq — qdp) — O.
De l'équolion
^ (dx, dy, pdx -\- qdi/) = o
du . 11.
on liTV pour -j- >ine expression de la lorme
dx
dy , ,
de la seconde équation on lire de niémp
Remplaçons rltpp^y rd.r -A- sdy éq par zdx -\- tdy et éliminons ensuite
"T ; nous soniipcs conduits à une pquafinn rie îa forme a a:
E.- -h i»Fv -f- Cl. ^ ".
uù C, F, (j «ont des fonclinn? dt ;d et de 7 ieulemenl, à laquelle satisfont lotîtes les surface'' de Ij-anslalion /S) considérée-; (*).
On verra plus loin comuienf on p^ut reconnaître si une équation Je la forme précédente pst suscepliiile détre intégrée de celle faç(m.
31. T.u méthode d'inlégration de Mong-e et d'Ampère consiste essentiellement à iecdieroher sil exislf^ des combinaisons infég) ailles des é({uali(>ris qui dt'linissenl un d<'s systèmeij de earacti'ristiques de l'équation {\). Supposons. j>our fixer Us id«!'es, que le coeflioiHnt N ne soit pas nui, cl considérons un des svtjfèmos de carartéi'istiqnes
[ d^ — pd-x — qdfi ^= o.
( >>/'/ -f >ia''.'4- Hrf.y — o:
('; On o))lioiil inuii'^dialciiiCMil cetli- é<|ii<ition en ^.rivant que les Iwni^entes ju.x •Jt'»:x cnurbes y. / . qui pu>scnt pnr un poiîil do la stu'face, «oui cunjiif'ufes.
58 CHAPITHn il
soient À, «a. v, trois coeflicienls. fonctions de x, //, c, /), q, tels que
X {dz — pdx - 9<v) 4- .ui(Nû?|î -f- F;rfj*-f X,rfv) -f v (Hdq -\- X^dx -f- Udy)
soit une «liffërenliclle totale exacte dV. Nous allons montrer que toutes
les inlégrale.'i de C équation dv premier ordre
V = fonsi .
satisfont à Fèquation p-opo<tée. Soit, en offcl, M, une ntultiplicité d'éléments satisfaisant à la relalion c/V = o. D'aput'S l'identité prêcédenic, les deux dernières des équations (7) so réduisent à une seule. On peut donc trouver sur celte muUiplicité M., une suite de multiplicités M, satisfaisant aux équations (7), car on aura, pour déterminer ces multiplicités, une seule é(|uation différentielle du premier ordre ; M^ est donc une inléj^ralo de l'équalion proposée. I-o raisonnenient ne pourrait être en défaut que si, pour l'intégrale considérée, un des fadeurs X, v. a, devenait indéterminé.
Si l'un des systèmes de caractéristi«jues adnjel deux combinaisons inlf'prales du, dv, il admet aussi la combinaison inlegrable
du — <{.' (v) dv =. d [u -- <^ (v)],
où o (e) désigne une fonction arbitraire de v ; par suite, toutes les solutions de 1 équation du premier ordre h — t [o] =ru appartiennent aussi à la proposée. Il est, du reste, facile de vcrilier que le premier membre de celle équation est identique, à un facteur pr^s, au déterminant fonctionnel t^.— -• Cherchons d'abord à quelles relations doit
satisfaire une fonction V frr, y, z, p, q) pour que rfV soit une combinaison intéj^rable des équations (7). Oii u, en remplaçant dz, dp, dq par leurs valeurs tirées de ces équations dans c/V,
la fonction V doit donc satisfaire aux deux équations linéaires simultanées
et ces conditions nécessaires sont aussi sudisantcs.
LES ÉQUATIONS DE MONGK ET DAMPfeRE 59
On remarquera que les équations précédenlos s'ohlienncnt eu remplaçant dans les relulions (8) qui (Jeliuissent le second sysicinc do caractéristiques dx, rf.v, d/j, d<], respeclivrnient par
Ccln post', soient u et v deux intégrales cornfnunes aux deux ér|ualion!> (3i I : en fenant compte de ces relations, on vérifie aisément que l'on a
D (>/, v) (L + N?) 'H 4- NQ -- ;>. -f- Na) (À^ -f N»-. / ^ ^ ^« ^\
c'esl-à-dire. en se reporlanl au n' ^.1,
D (m, 0) N {H — .<?') 4- H/- + 2K.S- f L/ 4- M /^u ?y ^/ ry\ D (a-, y)~ N \Sp ô<7 hj dp /
On voit donc qu'en négligeant certaines solutions exceptionnelles qui pourraient rendre le facteur précédent nul ou infini, l'équation proposée est équivalente à Téquation du premier ordre u — qp (p) = o. Donc, v» l'toi dtrs ftysiètnes de caracléri^liquei admet deux combinaisons inlér/mh/es u e( y. l'inléiji'niion de l'rqualion proposée esl ramenée à l inlégrntion d'ioie eqvaHon du premin' ordre avec unt' fonction arbilrnive
On remarquera qu'inversement, si on se donne arbitrairement doux fonctions n et c de x, y. z, p, 7, louies les intégrales de léqualion du premier ordre h — ^ (o) = o. satisfont, quelle que soit la fonction 9. à une équation du second ordre de la forme (1 , qui n'est autre que
32. Lorsqu'une équation du second ordrf possède une inlcgrale ini.ermédiaire du premier ordre, telle que u — ^ [v) := o, on ne pourra pas, en général, achever l'inlcg'ration de celte équation, tanlqu'on n'aura pas particularisé la fonction ^. Mais la solution du problème de Catichy, tel qu'il a été posé au chapitre précédent, peut toujours se ramener à lintégralion d'une équation déterminée du premier ordre. Supposons, en effet, qu'on veuille obtenir une surface intégrale passant par une courbe C, et tangente le long de cette courbe à une développahle donnée ; les coordonnées x, y, z d'un point de C, et les coefficients angu-
f)0 CHAPITRK II
lairt"; p, q au plan l«ngcnl einm pointHerelte cnnrbe, sont des fonctions «l'uno seul«; variaMe nn\iliaiivO. etinianJ on remplace .r, y, s, )), q par lenrs valenrs.7,'.et c rleviennonl des fonctions de 0,'{ = F (0), v r^ F, (6). et l'équatiDn d»; oi.ndilion
JeleriTiine la foTiction arhitrairt' z. CpHp fnnclion x ain>i délorrninéiî. ni)ut; n'avons p'iis qa'a rprhprchrr nne inlé^ralo iliine iMjualion <iu premier oïdi'u passanl par \h conibpC.
Prenons, pd'" exemple. Téquation Hit^mentairp
pl pr<pn<;up.<s-iious Je delerminer une inlograle de (îolle éc|uafion passant" par uPf courbe donnée, et. tangente à une dévelo[)pable donnée le Inni^ dn cette roiirbe 5>i)i>^rit
X r- /•, ^Oj. v = f\ {(,), z :rr f, (O). /> :^r .^, (0), q =z -i.. (^),
le< .;quauiun> qui definis^nni. i^ette cuurbf el la dév»-!iippab!e ; les cinq fcrcticns/^. /g. /r,, ^y, i»« verifirint identiquemenf ia r^lytioa
"T^n das systcmes de caracl^fiitiquc? de I équahou pi-op<,«;oc est fourni par If i rt'iaLionji
r^2f — prix — qdi/ — U. rix =i O. Jp := u,
dont !rs dcL..< dprmpres sont inlegrables. On a dnr:c Tiiiléirrale inlcrmediaire
p~-- V (.t) et la fonction ■» est ot^rprminep par fa condition a^ip Ion ait
1,' 'iitcgralp chnrihéf e^t donc
LES équation:^ de monc.k kt ij'Avri'ÈnF. 61
ou, en posont a- = /", (0\
c = / ^^^ (oV( '^) «'o -f- y,
"Où
YéKtnt iiiio l'onction do y soulernpnf. On pourrait se servir des rondilions inil.iales pour dôtermiaer ceUo fonction Y, mais il vauf niieu): employcrla seconde intégrale intermédiaire
qui esl fournie par le serond système de caractéristique?? ; ou fpouve ainsi que la snrCuce cherchée est représentée par le système des trois équations
X = f, (0), !/ = A vf>
- = /"•}. v'J r\ (0) rfO -f r to (t) /^ (t) c/t I- ^„
0 et T désignant deiix variables auxlliaire-s, et (.r^. v„, :rpi les coordonnées du point de la courb<j donnée qui correspond à la valeur 0„ du paramètre. î^i Ton fait dans ces foru)ult;s t = J, on retrouve bien la courbe don une.
IIkmaium;!-;. — La formule i, (0) -tr o [/', (0)], qui détermine la fonction arbitraire -j. devient illusoire lorscpu- /", (0) se réduit à une cotjstanle. cl on voit que le problème est impossible, à moins que y, 'j, jie suit aussi indépendant de 0; dans ce dernier cas, il y a indtHei-mination, car la fonction -j est airsujettie à la seule condition lie [-«rendre une valeur donnée pour une valeur donnée de la variable. Géométriquement, cela signiiie que le problème est impossible lorsque la courbe donnée C est située dans un plan x = a;,, parallèle au plan des yz^ à moins que la surface développable, circonscrite à la surface le long de cette courbe, ne soit \\\\ cyhndre ayant ses génératrices parallèles au plan des .r. c. 11 est facile de voir que le problème est bien indéterminé dans ce dernier cas; soient, en effet,
ce = iTj,, cr = •]/ [y]
les équations de la courbe C, et ^)„, 0, 1, les paramètres directeurs des génératrices du cylindre circonscrit. La surface
satisfait aux conditions initiales, pourvu que la fonction «1» (a?) soit nulle pour X = Xq cl t|ue sa d(Mivée promièro •!»' ix) prenne la valeur p^ pourx — - x^J. Tous ces résultats sont bien conformes à ce qui sera éta- Itli plus loin sur leS caractéristiques.
33. Nous allons retrouver et comploter les résultats qui précèdent, par une autre méthode. Ktant donnée une équation i\u second ordre, de forme quelconque, nous appellerons, en général, intégrale intermédiaire du premier ordre, toutp équaticm du premier ordre
V [r, y, *, p, 7) = const.,
dont toutes les intégrales, saitf peut être quelques intéj^rales excepliunnclles, appartiennent à l'équation proposée. ]*our trouver ces fonctions V (x, y, z, p. ./•, remarquons que le.s caractéristiques de l'équation V= C satisfont au système d'équations di(îérentifcll«:s
dx <y^ de — ilp — dq
Â^ ~ è\ ~ }\ }\ ~ ?v , èw ~~ ^\ , av'
et inversement, par toute raraclérislique de l'équation du premier ordre, il passe une inlinité d'uitegralrs de cette étjualion ayant un contact du premier firdre tout le long- àv celt« courbe. Ces carartéristiques de loqualion du premier oidre doivent donc faire [»artie de l'un des systèmes de caractéristiques de réipiation du second ordre p. 42'; par conséquent, la fondion S [x,y. z, p, q) doit .saiis/'oirr a l'un des systi^mes d'équations linéaires que l'on obiie)it eii remplaçant dans l'un des systèmes qui dé/inissenl les cai'acféris tiques de l'équalion du second ordre proposée, dx, dy, dp, dq, par
— » — r— -f- ^ T— I' — x" -f- 9 T" respectivement (n-* .il).
èq \cx CZ J \ày ^ ^ âz ' *
Inversement, si V (x, y, z, p, q] est une intégrale commune de ces deux équations, toutes les caractéristiques de IV-quation du premier ordre V = C font purtie des caractéristiques de l'équ.'ttion du second ordre et, comme toute intégrale de l'équation du premier ordre est un lieu de caractérLstiques, elle satisfait aussi à i'éf|ualion du second ordre. On voit que le théorème ne peut souffrir d'exception que pour Ici solutions singulières, s il en existe, de l'équation du premier ordre.
LES ÉQUATIONS DE MONCE KT d'aMPIcuK 63
On arrive encor*» au m^me résultai de la façon suivante. Si une fonction z =/"(a7, y) saliflfait à l'équation du premier ordre
V Ix, y, z, p, q) = C,
les dérivées partielles du second ordre r, .*, /, vérifient les deux relations
Si les trois équations (1) et (32) peuvent être résolues par rapport à r, .?, t, on en tirera
»" = ?i (^1 .y> -> p. 7)' •'^ = ?a (^> y^ -2' p' ?)' ' = Ts (^. .V' -2' Pi v).
et toute intégrale de l'équation V ^r^ C, qui satisfait aussi à l'équation proposée du second ordre, doit être une intép*ale du système d'équations aux difTéroutielles totales
dz = pilx -j- qdy,
dp ■= z.fdx -}- z.,dy, dq — -^j.^dpc -f- ^3'/y,
dont la solution dépend au plus de trois constantes arbitraires, puisque toutes les dérivées successives de ^, /j, q, peuvent être calculées de proche en proche, si on se donne les valeurs initiales «0, p^, 7^, po\ir des valeurs initiales x^. y„ de icet y. Il suit de là qua V = C ne peut être tine intégrale intermédiaire que si les trois équations (1) et (32) admettent une infinité de systèmes de solutions communes en r, s, i. Or, les équations (32] deviennent identiques aux équations (3) si on y remplace
par — dp\ — dq, dx, dy tespoctivement; ce qui conduit aux mêmes résultats que par la preniièie méthode.
Nous sdlons maintenant passer en levue les difTtTentes circonslances qui peuvent se présenter dans la recherche des inlégfrales intermédiaires ; mais nous ferons remarquer d'abord qu'on peut se borner au cas où le coefficient de ri — s^ n'est pas nul, car une transformation de contact ramène toujours à ce cas, et il est clair qu'une pareille
6i CHAP1TKK ir
trati^furmation cliancrc loujnurs une inlo}2^ralt^ intermédiaire en une intéj^rale intermédiaire; avec la notion généralisée d'intégrale, cette propriété est absolument pféru'rale.
La «ietennination des intégrales intermédiaires se ramenant îi une question que 1 on sait traiter, la recl'erolie <les intégrales communes à d»»ux équations linéaires du premier ordre, je supposerai toujours, par la suite, que le lecteur est en possession de celte théorie. Je ne donnerai, dans ce chapitre, qu c.n petit nondirp d'exemples, réservant les plus intéressants pour un autre ciiapilre. Dans la plupart de ces exemples, on ap»Mt;»<it inmiédiulemenl les combinaisons intégrables des équations dilVerentielles des caractéristiques.
34. Ou vient de voir que. si le roefticicnl N est diR'erent de zéro, toulp intégrale intermédiaire de l'equalion '1; doit satisfaiie à l'un ou l'autre des syslènuis d équations
Soit Th, o'' le cro<'hel de .laolu
^"' '*^ ^ ùp U "^ ^ <rJ + ^, [y, -+ '/ yj
SI u, c désignent deux fonetions quelconques de a;, y, ^, p, q, on vërilie ai.:;ément que Ion a identiquement
Par l'onséquent, si v es! une inl'^graledu système '33; et u une intégrale du système {34 j, ou a toujours
LES ÉQUATIONS DE MON(.K ET I)'.\»fl't:RE 6">
si on convient de dire que deux fonctions m. y, pm.r lesquelles le crochet [»/, pi est nul, sont en involution, on voit don. ;|ue deux inlcfjmles intermédinires, appartenant à deux systèmes de en racléristiques diffé renls. sont toujours en invotidio),. ].e tln'-orrnie s'étend évidemment aux équations qui ne renferment pas de terme en rt — 5', car le crochet [m, r" est un invariant, relalivomenf à toule transforuialion de contact. Il est, du reste, aisé de démontrer directement celle propriété. Si, en particulier, À, = Aj^ ^^s deux systèmes (33^ et i'3i) sont identiques, et on en conclut que, lorsque les deux ayslèmes de caractéristiques sont confondus, deux intégrales intermédiaires quelconques sont toujours en involution.
Chacun des systèmes (33) et (34) admet au plus trois intégrales distinctes. Nous allons d'abord chercher les conditions pour que le système (33), par exemple, possède ce nombre maximum d'intégrales, c'est-à-dire soit un système complet. Pour simplifier les calculs^ imaginons (ju'on divise tous les coeflicienls par N, et soit
toute intégrale commune à ces deux équations satisfait aussi k l'équation
A' [B'(Vm — B':A'(V)] = 0,
c'est-à-dire ' ')
Cette é<(uation ne peut être une conséquence algébrique des deux équations A (V) = o, B (V) = o, puisqii elle ne renferme ni — • ni — • Pour que le système proposé soit jacohien, il faudra donc que l'on ait
.lV\ n'(\i\^.
(') Équations du premier onlre, p. 48.
LVrtliRATlUS DKS tyU.1TI0.NS.
m r.MAPlTRE II
La première relation donne Xj r:= X,, et nous voyons déjà que, vt fun d^s systèmes de caractémstiques admel trots combinaisons in tég râbles , les deux systèmes de caractéristiques sont confondus.
Si les trois conditions préoédenles sont remplies, le système (33) est un système complet, et admel trois intégrales distinctes u, y, to. L'équation du second ordre proposée admet donc deux intvf^rales intermédiaires distinctes, dépendant chacune d'une fonction arbitraire
(33) u = cp(M?), ■ V — -1 (jc),
car cette équation du secrond ordre peut s'écrire î'n**31) I) (u, w) D {v, w)
r-^-î ' = 0, TT-, = 0.
Nous allons montrer (jue Com peut obtenir l'intégrale générale de ce système d'équations du premier ordre, par de simples éliminations, quelles que soient les fonctions if et v}/. Kn effet, les deux systèmes de caractéristiques étarit confondus, on a
[u, v] = o, [m, ic] = o, [y, w] = 0,
et les trois éq-aations
to = a, u ■=. 'f (a), V = <b (a),
où a est «ne constante arbitraire, représentent une multiplicité M^, dont tous les éléments satisfont aux équations (3Hi, c'est-à-dire une intégrale complète de ce ^.ystème {*] ; on en déduira les autres intégrales par la méthode onlinaire. Supposons que celte intégrale complète se compose d'une famille de surfaces; ou oblieodra l'équation de cette famille de surfaces en éliminant p et q entre les trois éauations
ce qui conduit à une équation de la î'orme
•l» la;, y, z : a, t^ (a), ^ (a)] = o.
J-'intéfrrale générale du systècne (35), qui se confond ici avec l'intégrale complète, est représentée par Téquatiou précédente. Mais le
(') Équaiions du premier ordre, p. 290.
LES ÉQUATIONS DE MOiNGE I:T d'aMPÈRE 67
système (35) admet une autre intégrale, qui est l'enveloppe de l'inlépralc complMe, et qui s'obtient en éliminant a entre les deux équations
/ *-[x. ?/, ^ ; ff, 9 [n), l [a]] — o, (36) ! M* . M* . . . . :>'l> .. . .
ces deux équations, où ^[a] et •} (a) désignent des fonctions arbitraires, représentent, par conséquent, l'intégrale générale do l'equalion du second ordre proposée. Nous retrouvons ainsi les équations Oonsidé- Técs au premier chapitre, dont l'intégrale générale est formée par les surfaces enveloppes des surfaces d'un complexe. L'équation générale des surfaces de ce complexe
s'oTatient, d'après ce c[ui précède, en éliminant p ei q entre les trois équations
io = a, M =: ô, t? = c.
On a donc la règle pratique suivante : Lorsque les équalions diffère nlielles des caraetérisli'ques présentent trois combinaisons inléf/rables distinctes : du =û, rfu= o, dio =:o, on élimine p et q entre les trois équations
et on obtient f équation d'une famille de surfaces dépendant de trois paramètres, a, b, c. On a f intégrale g&nérale de l équation proposée y en établissant entre ces trois paramètres devx relations de farine arbitraire. et en prenant f enveloppe des surfaces ainsi obteirues.
On peut encore présenter le raisonnement comme il suit. Toute intégrale de l'équation proposée satisfait à une équation du premier ordre de la forme
M -- ç (fc) = 0 :
or, on aune intégrale complète de cette équation en posant
io ^=: a, u =z i, « = ^ [a)
et le raisonnement s achève comme plus haut.
Lorsque l'éliminalion de p et de 7 entre les trois équations précédentes conduit à deux, relations distinctes entre or, y, z, a, ^ (a), ^,
68 r.«i.\»'iTi<K H
l'équation u — z. hc) = o admet nno iiil.^;;i'alo romplolo formée rf'une famille de courbes. C'est donc iitio ("(jualion linôaiio, <'t l'inlêj^nile généralo se compose des surlaces eriijeiidrées par les emirbes de n-lte famille. Par conséquent, lorsque Peliminalion de p et q entre le>- trois équations
te =: a, " n:;: ^, r = C
Cunduilà deux relations distinctes
cei flenx éqitnlîûns re})résenten( un coniplexe de courbes, et l'inféffrale gèuérule «e compose dex surfaces enr/endrées par Jeu conrhes de ce compfexe, associées suivant une loi arbitraire.
Nous retrouvons encore une classe d't'quations étudiée? au début de rouYrag;e. Nous savons que, dans ce cas, l'éijuatii'ii ne présente pas de terme en rt — a-, tandis qu'elle u un terme de celle espèce, lor<ique rélimination de p et q eiilrc les trois équations ic =. a, v = b, V := c, conduit à une seule relation.
35. Appliquons cette méthode à quelques exeniple>. Exemple I. — Soit à intégrer l'equati-ui
rt — <* — : o ; on a ici
Les deux systèmes de cararlérisliques sont confondus, et leurs équations se réduisent à dp = o. dq — o, dz — pdx — qdi/ ==; o. On aperçoit iminédialemenl trois oomltinaisons intégrables
dp = 0, dq z^ Oy d [z — px — qy\ ~ o ;
coTTformérrient à la règle générale, si on élimine pet q entre les trois relations
p — a, q—b, z —px — qy = c,
on est conduit à l'équatior d'un plan
z =: (tx -\- by '\- c.
Î.ES TÎ;0UATIONS DE MONdE ET d'aMPÈRK 69
I.'inlV'^rale générale se compose donc dos snrfacos enveloppes d'un plan mobile, dont l'équation renfei'nirï un paramètre variable, c'est-àdire (les surfaces developpables.
Remarquons que toute équation de la forme
F (p, q, z — px — (jy) — G
est une intépfrale intermédiaire de l'équation ri — s* = o.
Or, celle équation du premier or<lre admet une intégrale singulière qui est l'enveloppe du plan mobile
F (a, b^ z — ax — hy) = o,
lorsque « et i varient indépendamment l'im de l'autre. Cette solution singulière, n'étant pas une surface dévcloppable, n'appartient pas à l'équation du second ordre (n° 33).
Exemple II. — Soit à intégrer l'équation
r/'-*/' — 2 pqs •\~'p'^l ■=. <i\ on a
H =r 7^ K r^ — y)7, L = p% M r=: rVi = O.
Les deux systèmes do caractéristiques sont confondus, et les éijualions dilTérenlielles sont (page 47)
dz — lido) — qdy = o, pdx -f- '/l'.y = o>
qdp — pdq == 0 ;
elles présentent trois conbiiiaisons intégrables Posons, d'après la règle générale,
Télimination de ^ conduit aux deux équations
î = a, y -\~ bx = e,
70 CIIAPITRK II
qui rpprosOTilent une droite parallèle «lu plan des a:y. L'intetjprale générale lie iVquaiion du second ordre se compose donc des surfaces engendrées par une droite variable, qui reste paiallèle au plan desxy. Soit b=: <^ (a), c = 'f(a)-: l'équation de cette surface sera
y 4- ic» (s) ^ i (::),
o(z) et i<(z) étant deux fonctions arbitraires.
36. On a déjà fait reîuarquer {n" 15': que toutes les équations précédenten peuvent se ramener à Tune d'elles, par exemple, à l'équation s- — ?•^=o, par une transformai ioTi de conlact. Ce point peut encore s'élablir comme il s-uit j les froi? fonctions u. t\ w étant en involution deux à deux, on peut trouver deux autres fonctnons p et « donnant lieu à l'identité {*) :
dtr — j>Jw — orfr =^ K{de — pdx — Ç^y). ou
d{tc — çu — cv) -\- udp -\' vdfs = K \dz — pdx — qdy).
Les formules
X = — f , Y -= — <J, X r=r w — pu — <JU, V =: w, Q =: U
définissent une traasformation de contact ; si on l'applique à l'équation proposée, doait les équations différentielles des caractéristiques admettent les trois combinuisoub intégrahles : du =: o, dv s= o, dw = o, on est conduit à une nouvelle équation du second ordre, pour laquelle les équations diiïérenlielles des caracléristi([ue6 admettent les combinaisons inlégrables dP = o, dO ■— o. Ces equatiojns diffère ntielle^ peuvent donc s'écrire
c/Z -^ Pf/X — Qt/Y = o, dV - o, '^Q = 0,
et l'équation du second ordre est, par conséquent,
S» — RT = o.
Inversement, étant données trois functions n, y. w, deux à deux en involution, la transformation inverse de la précédente conduira de l'équation dus surfaces dévelojqjables à une équation du second ordre
'^') Équations du premier ordre, p. 21'i.
LES ÉOUATIOTS'S DE MONGK ET DAMPÈfUi: 71
p«)ur ljir|iiellelos»''quntions difFéreiitielles des caractéristiques admettuât li-ois conihinaisiins iiitéj^rables du = o, dv = o, rfir =0. Celto équation admet les deux inlôgiales premières
u = ziw), V = 4/(to),
et est é<|uivalcntc à l'une ou l'autre des deux équations
il suit de là quo ceadeux déterminants fonctionnels ne peuvent dilTérer que par un facteur, indépendant de r, s, t, ce qu'il est facile de vérifier 1*).
Remarque I. — Au lieu d'adopter l'équation s' — ri = o comme forme canonique, pour la classe d'équations que nous venons de considérer, on pourrait prendre, comme forme canonique, toute autre équation appartenant à la même classe, par exemple, l'équation r = o.Pour celte équation, les équations différentielles des caractéristiques sont
dy =0, dp = o, dz — -pdx — qdy = o;
la transformation d'Ampère
X = .r, Yr=^, Z = z-gy, P = p, Q = y
appliquée au système
dP =0, d(l — o, d'A — PrfX — QrfY = o,
conduit bien au système précédent, et, par conséquent, ramène Téquation des surfaces développables à l'équalioTir =0. Comme vérification, il est aisé de déduire la solution générale de l'équation s'^ — rt =0 de celle de l'équation r ;= o, qtri est
Rkmatiqur If. — Si une équation du second ordre possède une inté-
(')Le«; équaliofis du second urdre, pour lesquelles les équations diiTcreril telles des cjtTactérisliquos admellent Irnir, conihiiiaisons inU';,'rabl«;s. uni été déterniinfes par iM Pophui Lie {Archiv fer MaLhemalik oy t^ulurvidensknh. X. I) et par M. Darbou\ Qfc^oire sur les solutinvs singulières das cqualion-f aux dérivées partielle» du premier ordre :Juurnal des Sovanh éLrunyers, \. XXVll, p. 'i!2).
grale première de la forme
où [m, v] = o, on peut trouver trois autres fonctions w, f, «, telles que l'on ait identiquement (')
dto — fdu — aih =r K [dj; — pdx — Qdy)^
et les raisonnements préoédenls s'appliquent sans modillcation : on peut ramener l'équation proposée à la forme s' — ri z= o par une transformation de contact. Il suit de là et d'une remarque faite plus liaul <p. 65; que, si les deux systèmes de caractéristiques sont confondus, il ne peut y avoir deux combinaisons intégrables seulement ; s'il y en a deux, il y en a nécessairement une troisième, et l'équation ap])arlicnt à la classe que nous venons d'étudier.
RFMAnQiE IH. "- Les équations du second ordre qui ne renferment que les dérivées de la fonction inconnue, par rapport à une seule des variables indépendantes, peuvent être intégrées comme des équations différentielles ordinaires, à une seule variable indépendante. Par exemple, soit l'écjuation
r -j- M (a;, y,z,p) = o; nous pouvons intégrer l'éqdalion diiïérentielle du second ordre
comme une équation diiïérentielle ordinaire, en y regardant y comme un paramètre. Soit
riut''grale géneralo, (', C, étant deux cunslanles arbitraires; il suffit d'y remplacer C cl <>, par deux fonctions arbitraires de y, pour obtenir l'intégrale générale de l'équation proposée, considérée comme une équation aux dérivées partielles. Gitte intégrale est doue engendrée par les courbes du complexe
(1) Êquaiion» du premier ordre, chapitre- xf.
LES ÉQUATIONS DE MONGE CT l)' VMï'ÈRE 73
associées suivnnt «ne loi arbitraire. Notre équation appartient, par conséquent, à la classe précédente; il n'est pas sans intérêt de vérifier que l'appliration de la niélliode générale d"inl('f,'i'ation conduit précisément aux mêmes calculs que la méthode qui s'oiïre d'elle-même. Les caraclénstiques de l'équation
doivent satisfaire aux deux relations
d>/ = 0, Mdx -\- r/p = 0 ;
toute intégrale intermédiaire V doit donc être une intégrale commune aux deux équations
cq i*x ' <>z ^p
Ces équations forment bien un système complet ; la première montre que V ne dépend pas de </, et Tinlégralion de la seconde revient à l'intégration du système
dx dz __ dp
c'est-à-dire à l'intégration de l'équation ditTérentielle du second ordre
