S)+-CI;-(S^O

La première inonire (|ue j/ est une ronclioii linéaire de po.i ; la seconde doit se réduire à une identité, quand on y remplace P),„i i)ar

Imaginons encore que l'on se déplace sur une caractéristique du système (II); le long de cette caractéristique, y, z , p,^, ..., p^,, sont des fonctions de x. Si on substitue dans tp ces valeurs de y, z, ..., p^,,, le résultat est aussi une fonction de x dont nous allons calculer la dérivée, dans cette by[)olliése. On a

dx dx ^po, n cl.v \d.rj - \dy)

ou bien, en tenant compte des équations d'une caractéristique du système (II),

dx - \dx) ^'^■' \dy) ~ \dy--0'

on voit donc que -j^ doit être nul lors(iue l'on a cp =0. Or, -7^ contient

/),,„. 1 au second degré au plus, tandis que '^ contient ^t^n-i aw premier degré ; si l'on élimine pi, „__ 1, on est donc conduit aune relation de la forme

4^ = Ac. -f- Bo^

dx . I •

qui est vérifiée quand on se déplace sur une caractéristique du système (II). Si cp est nul pour la valeur initiale a;„, les coefficients A et B étant des fonctions régulières dans le voisinage, il s'ensuit que 3> sera nul en tous les points de celte caractérisli(|ue. En d'autres termes, tous les éléments d'une caractéristique (11) vérifient l'équation cp =: o, pourvu qu'un seul élément de cette caractéristique vérifie cette é(iualion. On en conclut, en raisonnant comme plus liaul(n° 137), que, pour toute orientation d'éléments d'ordre n appartenant aux deux équations /• -{- f =■- o, ç = o, il passe une intégrale commune à ces deux équations. La détermination de cette intégrale commune s'efîei'lue de la même façon.

140. On déduit de ce qui précède la propriété fondamentale dos systèmes en invululion, qui pourrait leur servir de définition, jetant donné un système en involution formé d'une équation du second ordre r-f/'=o et d'une équation d'ordre quelcon([ue », toute orientation d'élemeitls d'ordre n appartenant à ces deux équations détermine vne

intégrale commtiue du st/stcnn\ pourvu, hion entendu, que, dans le voisinage de celle orientation d'olt-menls, les conditions de continuité, que nous avons toujours supposées satisfaites, soient remplies. 11 est facile, <laprès cette propriété, de retrouver et de donner* la raison d'un théorème établi plus haut ( n° 134).

5j les équations r -\- f = o^ <^ = C forment idi si/stètne en involution^ •quelle que soit la constante C, ^ est un invariant d'un des systèmes de caractéristiques de l'équation r -\- f =. o.

Soit (Si une intép^rale de l'équation r-j-/" = o, ne vérifiant pas l'équation çp = C. Sur cette surface, les courbes ç» = C forment une famille ■de courbes (F) qui sont forcément des caractéristiques. En effet, le long d'une de ces courbes (Ti, l'orientation d'éléments d'ordre n de la surface (Si vérifie l'équation cp = C ; il passe donc par cette courbe une intégrale du système en involution, qui a un contact d'ordre n avec (S). Par suite, ces courbes < T) forment une des familles de caractéristiques de la surface iS; ; comme cette intégrale (S) est quelconque, il s'ensuit qu'il y a une des familles de caractéristiques de l'équation r -|- /" = o, telles que « reste constant quand on se déplace sur une caractéristique <ie cette famille.

La recherche des équations d'ordre n formant avec r -(-/' = o un système en involution est ramenée à l'intégration des équations linéaires simultanées (A) et (B). Ces systèmes seront étudiés en détail au chapitre suivant ; pour le moment, je me bornerai aux deux remarques suivantes :

1° Lorsque n est > 2, la première des équations (A) montre que les •dérivées d'ordre n, />i,„ i et po,n ne pourront figurer dans <p que si ^ •contient la combinaison linéaire pi, „ i -j- '^î<Pon ; une intégrale cp contiendra donc toujours la dérivée p\,„- i ;

2° Lorsqu'on fait successivement n = 2, 3, ..., on obtient deux suites illimitées de systèmes d'équations linéaires. Chacun de ces systèmes admet toutes les intégrales des systèmes précédents de la même série. Pour le prouver, il suffit évidemment de démontrer que le système (A), correspondant à une valeur de n, admet toutes les intégrales du système précédent, obtenu en changeante en n — 1. Si on suppose, en effet, que © ne renferme que les dérivées jusqu'à l'ordre n — 1,

•on a

^ = } i^yy, Zylho, ■■■, Pi,r,-2; P0,i, • . . , ^0. ,. - l),

{£) ""^ \d^) ""^'^"^ "" ^®"'' analogue à celui de [j^. (^^. La première des équations (A) est vérifiée identiquement, et la seconde devient

D'autre part, on a, en dilTérentiant (n — 2) fois par rapport à ^,. l'équation r -}- f = o,

et, en éliminant po „ 2, il vient

{d.)-^'''A^,)-^^Xd?^^^

comme, par hypothèse, <} ne contient nipo.n, ni Pi, n - 1? il faudra donc que- Ton ait à la fois

h, Il - t t^Pl, n -

c'est-à-dire que '\ soit une intégrale du système (A'), analogue air système (A). Le même calcul prouve qu'inversement toute intégrale du système (A") est aussi une intégrale du système (A).

Remarque L — On a toujours supposé jusqu'ici que l'équation du second ordre proposée était résolue par rapport à r. Dans la pratique, il peut se faire que cette résolution ne puisse pas être effectuée, quoique ré(piation du second ordre contienne la dérivée r. Mais on peut toujours, en dilTérentiant cette équation, obtenir explicitement une dérivée d'ordre ({uelconque en fonction de x, y, z, p, </, r, *, t, et des dérivées p,. a d'ordre supérieur au second, où l'indice i a l'une des valeurs 0 ou 1 ; il suffit donc d'ajouter, dans les raisonnements qui ont été faits plus haut, la dérivée p^o aux dérivées au moyen des(|uelles s'expriment toutes les autres. Cela étant, pour que l'équation proposée et une autre équation d'ordre n forment un système en involution, il suffit que les conditions qui renqjlacent (A) ou (B) soient vérifiées, en tenant compte de l'équation proposée elle-même.

De même, on pourra conserver r ou p.^^ dans les équations difTéren-

tielles «les caractéristiques (Oi^, à condition d'ajoutor à ce système l'équation du second ordre donnée. Nous n'insisterons pas davantage sur les modifications que doit alors subir la méthode précédente, qui n'oiïrenl aucune difficulté théorique.

Remarque II. — On peut aussi étendre aux systèmes on involution formés d'une équation du second ordre et d'une équation d'ordre n la théorie des intégrales complètes. Une intégrale

dépendant de q paramètres Of, a^, ... a^, est une intégrale complète du système en involution si, en éliminant les paramètres a, entre l'équation 4> =: o et ses dérivées successives, on n'arrive à aucune relation entre .r, y, c, p,oi •••^ Pt.n-t, Pof, .-., Po„^ différente de 9 =0. S'il en est ainsi, on peut choisir arbitrairementa-, y, ^, p,^, ..., i>i,n-2, Pon •••' Po,„-i et une des dérivées p\,„'-^ 1 et;)^,,, ce qui exige que le nombre q soit au moins égal à 2rt. Supposons q = 2w, et soit (S) une intégrale qiielconque; on peut disposer des 2n paramètres a^, ..., a^,, de façon que l'intégrale complète ait avec (S) un contact d'ordre n en un point donné. Les deux surfaces auront alors (n° 136) un contact d'ordre n tout le long de la caractéristique issue de cet élément; ce qui prouve que toute intégrale du système en involution est l'enveloppe d'une suite simplement infinie d'intégrales complètes'.

Les caractéristiques du système en involution sont donc représentées par un système de deux équations de la forme

mais comme ces caractéristiques ne dépendent que de 2n -(- 1 paramètres, il doit y avoir, entre «,, ..., a.^„, rfa,, ... da^m (2n — 2) relations homogènes en da^. ..., da^,,

Fi<af, a^y ..., a^„,cla^, da^, ..., da^„) = 0, î = 1,2, ..., 2n — 2: ces In — 2 relations s'obtiendraient, comme plusliaut, par desdiiïérentiations et des calculs algébriques. On peut donc obtenir, sans aucune intégration, les caractéristiques dès qu'on connaît une intégrale complète. Mais, pour avoir l'intégrale générale elle-même, il faudrait trouver les expressions les plus générales de 2n fonctions a,, a^, ..., a^a d'un même paramètre, vérifiant les 2n — 2 relations F/ = o.

141. Reprenons maintenant la question générale proposée au début du n" 13i. Il s'agit de rechercher les intégrales communes à l'équation du second ordre ;• + /"= o et à une équation d'ordre n

(67) (p [x, y, z, p,,o, Pm, ..., pi,„ - 1, Po,i, •■•, Po.n) = o;

on admet que, dans cette dernière é(|uation, le premier membre est une fonction entière et irréductible des variables qui y figurent, au moins dans un certain domaine de valeurs pour ces variables, de telle sorte que les relations

^Pi, n - 1 >>Po,n

par exemple, ne peuvent être des conséquences de l'équation (67) ellemême.

Les intégrales cherchées peuvent satisfaire à l'équation r = o,

ou ne pas vérifier cette équation.

Examinons d'abord cette dernière hypothèse. Pour rechercher les intégrales dont il s'agit, on peut supposer l'équation (67) résolue par rapport à pi,„ i et l'écrire

{^''ï Pi,n-i -\-^ [oo, y, Z,pio, ..., Po„) = 0.

Cela posé, nous avons encore plusieurs hypothèses à examiner, suivant que l'expression

est nulle, ou non, identiquement. Si 11 n'est pas nul identiquement, et si les intégrales cherchées ne vérifient pas l'équation H = o, on a vu plus haut que l'on pourrait trouver les valeurs de toutes les dérivées d'ordre (n -|- 1) de la fonction inconnue au moyen de .r, y, z et des dérivées d'ordre moindre ; ces intégrales ne peuvent donc dépendre que d'un nombre fini de constantes, et on est ramené à un problème que l'on sait traiter.

Si les intégrales cherchées vérifient l'équation H = o, H peut contenir P(,„ ou être indépendant de po, «• Dans le second cas, les intégrales vérifieront une équation d'ordre inférieur à n. Dans le premier cas, si

Ml

on n'a pas en même temps r = o, on peut tirer po.n de l'équation

H= o, la relation (^67 j' donne pi, „i, et, par suite, toutes les dérivées d'ordre n de la fonction inconnue s'expriment au moyen des précédentes.

Si on a à la fois H = o, t — = o, l'élimination de po » conduit à une

équation d'ordre inférieur à ».

Si II est nul identi(|uement, si on a, par exemple r-^— = »i,, on a vu

'■Po'i plus haut in* 139) que toute intégrale commune aux deux équations ;• -|- /':= o, pi.„i + i|< = o doit vérifier aussi l'équation

où on suppose pi, „ i remplacé par — <^. Lorsque K est nul identiquement, les deux équations r -)- /"^ o, pi, „. i -|- ij; =i o forment un système en involution. Si l'équation K = o ne se réduit pas à une identité, on démontre, en raisonnant comme tout à l'heure, que les intégrales communes ne dépendent que d'un nombre liiii de constantes arbitraires, ou qu'elles satisfont à une équation d'ordre inférieur à n.

il reste à examiner le cas où il existerait des intégrales communes aux deux équations

vérifiant aussi l'équation y^ = - — '^ — ;= o. On peut toujours supposer

t'Pl, u 1

que la relation

D fpi,„-\. Po.nj

n'est pas une conséquence des relations cp = o, ^^ = o, car on pourrait alors remplacer ces deux relations par un système équivalent, mais d'une forme plus simple. Si les intégrales communes aux trois équations

r -f /'= o, f — o, Ti — o

ne satisfont pas à la relation tt— — '"''' '^' — - = o, on peut résoudre le

D (p,, „ ,, po,„)

système ^ = o, a,, = o, par rapport à p,, „ , et p^^„, et les intégrales

communes ne dépendent que d'un nombre fini de constantes arbitraires.

Si ces intégrales communes vérifient aussi la relation

D 'Pi. „ -1, po.n)

LES SYSTÈMES EN INVOLUTIOn' 97

l'élimination de ;),, „ - i et p^,, conduira à une njuvelle équation d'ordre inférieur à n.

En résumé, en passant en revue toutes les liypoliiéses que l'on peut faire, on ne tronve que trois cas à examiner : i' les équations proposées formcntun système en involution ; 2°lesintég'rales communes dépendent d'un nombre fini de constantes arbitraires ; 3" ces intégrales communes vérifient une équation d'ordre inférieur à n.

En opérant sur une équation d'ordre inférieur à n, comme on a opéré sur l'équation d'ordre n, et ainsi de suite, on voit que, en définitive, la recherche des intégrales communes à une équation du second ordre r -\- f^ o pA 'a une équation d'ordre n se ramène toujours à l'intégration d'un ou de plusieurs systèmes, en involution, ou à l'intégration d'un ou plusieurs systèmes dans lesquels toutes les dérivées d'un certain ordre de la fonction inconnue s'expriment au moyen des dérivées d'ordre inférieur. En particulier, pour qu'une équation d'ordre /2, =, = o, admette une infinité d'intégrales communes avec l'équation du second ordre r -\- f =z o, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, il faut que le système çp = o, r -\- f = o soit en involution, ou qu'il admette toutes les intégrales d'un ou plusieurs systèmes en involution | = o, r -\- f = 0, où •]/ est d'ordre inférieur à n.

Il peut d'ailleurs arriver que le système r -\- f ^= o, z- = o admette plusieurs ensembles distincts d'intégrales, les uns dépendant d un nombre /ini de constantes, les autres d'une infinité de constantes. Nous en avons déjà vu un exemple (n" 129) avec le système

i -\- p'^ pq 1 -[- 7"

142. Considérons encore le système formé de l'étjuation du second ordre }'-]-/' =: o et de deux éipiations d'ordre quelconcpie 3 = 0, '\i = 0. D'après la discussion qui vient d'être faite, le seul cas qui demande un examen particulier est celui où chacun des systèmes (r -^ f= o, 9 = 0) et (/• -|- f= o, <]/ = 0) est en involution. Ce cas se subdivise lui-même en deux autres, suivant que les fonctions cp et <]> vérifient l'une et l'autre des conditions du même type (A) ou (B), ou des conditions de types différents ('). Prenons d'abord le second cas, et supposons, de plus, pour fixer les idées, que les fonctions ^ et •} renferment toutes deux des dérivées d'ordre n, et aucune dérivée d'ordre supérieur, quand on ne laisse, bien entendu, que les dérivées p,,A où l'indice i a lune des valeurs 0 ou 1.

(') Dans ce paragraptie et les suivants, on suppose que les fonctions y et •\> vérifient identiquement les équations correspondantes ; le raisonnement s'étend sans difficulté au cas où il faut tenir compte des rela'ions ? = o, * = o elles-mêmes.

INTÉGRATION DES ÉQIATIONS^ ^

Dans ces concluions, la fonction a-, par exemple, satisfait aux équa tions (A)

et la fonction | aux équations (B)

Des deux équations tj, = o, •{/ = o on peut tirer les valeurs des dérivées po.n et/)|„, en fonction des dérivées d'ordre inférieur, puisque le déterminant fonctionnel

ne peut être nul dans le cas où m, et m^ sont différents, ce que nous supposons. Si z est une intégrale commune aux trois équations proposées, on peut donc exprimer toutes les dérivées d'ordre n de la fonction inconnue au moyen des dérivées d'ordre inférieur. Prenons, comme inconnues auxiliaires

Pi.Q^ Pl,t^ •••) Pi, Il — i • pO,l j Po.2i Po, n — Il

nous pourrons former un système d'équations aux différentielles totales,

ds = Pi,odx-\-p^^idy, dpt.o = Pi. «dx + p,, ,c/y,

dpi, n - 2 = Pi. n -idx + p,, „ \dy^ dpo. ,. - 1 = Pi, n -\dx -\r Po, ndy,

où Pi,n-i et po.ti sont tirés des équations o = o, f = o,, tandis que p».o, Pi.i, ... Pi,n~i sont supposés remplacés par leurs valeurs déduites des équations (33) et (54). D'après la façon même dont on a formé ce système, les seules conditions dintégrabilité du système (68) qui ne soient pas vérifiées identicpjement sont celles qui proviennent des deux dernières équations. Les dernières conditions d'intégrabilité s'obtiennent n» 118) en exprimant qu'en partant des trois équations

r -f- /"=:= 0, cp = o, <|/ i^ o, on obtient un système do valeurs unique pour les dérivées d'ordre {n -\- 1), po,,i + i, Pi.h, ;3i,„i. Orces Iroisdérivées doivent satisfaire aux cinq équations

(09) / ( y- + T-^ Po. ,. f 1 + s — ' — P^." = Oi

qui se réduisent à trois, d'après les conditions (A) et (B). En efTet. les conditions (A) expriment (|ue la seconde des relations (69) est une combinaison linéaire de la première et de la troisième ; les conditions fB) expriment de même (|ue la cjuatrième relation f69j est une combinaison linéaire de la première et de la cinquième. Les équations (68) forment donc ■>in syslcme oomplèlemcnl intéprahle.

On peut encore établir ce résultat comme il suit: Prenons un élément d'ordre n appartenant aux trois équations r -|- /" :i= o, a- = o, <]/ = o, c'est-à-dire un système de valeurs pour

•»•• //, -, Pi.k [i-,k ^n)

satisfaisant à ces trois écjuations et à toutes celles qu'on obtient en différentiant l'écpiation r -\- fz= o, (n -r i) fois au plus. Nous allons montrer que, par cet élément (E„), il passe une intégrale commune aux trois équations proposées. De cet élément (E„), il part une caractéristique du système (I) et d'ordre n, satisfaisant à la relation ^1/ = o ; en effet, si on ajoute aux équations ditri-nuitielles des caractfTÎstiques d'ordre n du système (li la relation </•} - o, uw a un système de !2n -|- 2 «''(|uations didV-rentiolles entre In A- W variables (pii admettent, en général, un système de solutions .iduiettant les valeurs initiales données. Ces iiitég-rales dclerniincnt unecaractérisli(|iie d'ordre )i, (T), du système (I), dont tous les élénienls satisfont à l'tupiation •} -- o, puisque dl = o est une des érpiations (lilî/'i-cnlicllcs donl on s>st servi, et rpie rt'lémeiil initial satisfait à •!/ -= o. (Jn voit de uu'-iiie (pie de l'élément {\\„', paît une caraoteristiipie (Tordre ?i, (T'i, du système (Il , dont tous les éléments vérilienl la relation a, = o. C^es deux caractéristiques d'ordre n, (F)

100 nnAPiTiu-: vi

et (r'j, déterminent une surface intégrale (S) de l'équation [*)r -\-f = 0, qui, d'après ce qu'on a vu plus haut (n" 135), doit satisfaire aux deux équations :p = o, ■]/ = o, car elle est le lieu des caractéristiques du système llj issues des divers éléments de (F), et aussi des caractéristiques du système (i), issues des divers éléments de (F').

143. La conclusion est la même iorstiue les deux équations ç ::^ 0, <{/ = 0 sont d'ordres dilTérents. Supposons, pour fixer les idées, que <p ne renferme que les dérivées d'ordre m [m < n) et vérifie les conditions (A)

tandis que •]/ renferme des dérivées d'ordre n et satisfait aux conditions H;

(') Le théorème du n° 84 (t. I, p. 193; peut en effet être généralisé de la façon suivante :

Deux caractéristiques d'ordre n, de systèmes différents (C) et (C), ayant un élément Commun d'ordre n, appartiennent à une surface intéyrale et à une seule.

Soient, en effet (t) et (c). les deux caractéristiques du second ordre qui sont lontenues dans tes caractéristi(|ues (C) et (C), et (S) la surface intégrale de l'équation V -~ f = o. qui renferme ces deux caractéristiques (c) et (r). Pour démontrer que tous les éléments des deux caractéristiques fC) et (C) appartiennent à cette intégrale, il suffit d'établir de proche en proche qu'il en est ainsi pour les éléments du troisième ordre, puis pour ceux du quatrième ordre, etc. Désignons par les lettres d et ô les différentielles relatives aux déplacements sur les caractéristiques {c) et (c) respectivement. Les valeurs des dérivées p^., et p^^ au point commun à ces deux caractéristiques sont données, sans aucune ambiguïté, par les deux équations du premier degré

dî\î = P1.2 f/a: 4- p,.3 dy

de sorte que l'élément commun du troisième ordre est déterminé ; les caractéristiques du troisième ordre, issues de cet élément commun, renfermant les caractéristii|ues 'c,, [c'}, sont elles-mêmes détecminées. Par suite, il en est de même de l'élément commun du quatrième ordre, etc., de l'élément commun d'ordre n. Cet élément commun d'ordre n appartient nécessairement à la surface intégrale; comme les caractéristiques d'ordre n, qui renferu>ent (c) et (c) sont entièrement déterminées quand on s'en donne un élément d'ordre n. il s'ensuit que tous les éléments de ces caractéristiques (CJ, (C) appartiennent aussi à la surface fSj.

il est toujours entondu (|ue et- ct'l/ ne renfcrmeul (|ue les dérivées /j,./., où l'indice i a Tune des valeurs 0 ou 1-.

L'équation r -j- Z' zzr o et celles (|uon en déduit par des dilTérentiations répétées permettent d'exprimer toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue, ju?(jn'à celles d'ordre 7n — 1 inclusivoment, au moyen de

^» V) ^) Pl.O, i'i.li •••. Pl,m - l\ }h,\, •••1 Po,m-l\

il n'en est plus de même à partir des dérivées d'ordre in, puisqu'on doit tenir compte delà relation (j. = o et de celles qu'on en déduira par des difTérenliations répétées. Mais on peut encore, dans chaque ordre, choisir arbitrairement la valeur d'une dérivée partielle \n° 134), puisque les équations ?• -}- A = o, cp = o forment un système en involution; de sorte que, de l'ordre m jusqu'à l'ordre h — 1 inclusivement, toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue s'expriment au moyen des précédentes et des dérivées

Po,mi Po,<ii r it •••> Pa,n - i

par exemple. A partir de l'ordre n, toutes les dérivées partielles s'exprimeront au moyen des précédentes. Ainsi, les deux dérivées po,n et j3i,„i s'obtiendront par la résolution des deux équatiojis

Le déterminant fonctionnel des deux premiers membres par rapport ''^ Po,n elpi.„i a pour valeur

• ^Po, m «^P I . I, - I ^P\.m-\ ^Po. H

c'est à-dire, d'après les formulés (A) et (B),

Vpi u -1 <>Pl.m-J

('connaissant po „ et pi,n-i, on formera ensuite les expressions des autres dérivées d'or. Ire )i sans difliculté.

Par conséquent, si on introduit comme inconnues auxiliaires

Pt.O, ^1,1, ••• P\,m-î\ Pn.ii Po i' •••■, Po,n-li

on peut former un système d'équations aux dilTérontit'lIes totales pour déterminer z et ces inconnues auxiliaires, dans l'.'squelles les cocllicienls de dx et de dy dans les seconds membres sont des fonctions parfaitement déterminées de x, y, s et des inconnues auxiliaires. Kn sappuyant sur ce que les deux systèmes {r -{- f-zzo, :p ^^ o), et (r +/*= o, '1 — o) sont en involution, on démontrera, comme dans le cas déjà examiné, que ce système d'é((uations aux différentielles totales est complètement intégrable.

On peut aussi employer le second procédé de démonstration. Soit (E )„ un élément d'ordre «commun aux trois équatic sr-)-/'=o, 9 = 0, i^*», c'est-à-dire un système de valeurs

a;, .V, -3, Pi.k [i-\~ k ^ n),

satisfaisant à ces trois équations et à celles qu'on déduit des deux pi»mières par des différentiations répétées. Par cet élément (E)„^ il passe une intégrale commune des trois équations. Appelons iK),„ 1 élémenl d'ordre m contenu dans (E)„, élément qui appartient aux deux écpiations r -|- /"= o, » -- o. On démontre, comme plus haut, <iuo do l'élément (K)„ part une caractéristique d'ordre n, (C)„, du système 1 II) dont tous les éléments vérifient la relation •]/ = o ; de même, de l'élémenl (K),,, part une caractéristique d'oidre m, (C%, du système (I), dont tous les éléments vérifient la relation (p = o. Cette caractéristique (C'),„ est contenue dans une caractéristique (C")„ du mémo système, à laquelle appartient l'élément (E)„ ; et, de même (C)„ renferme une caractéristique [C"')m du système 1 II;, à laquelle appartient rélémout (E)„,. Cela posé, les deux caractéristiques (C;„ et (C'j./ déterminent une ."^urface intégrale (Si de l'équation r -\- f =: o ; (S) est aussi uiie intt'-j^rale des équation 5 = o et •]/ ^ 0, car on peut la considérer, dune part, cornnie un lieu de caractéristiques d'ordre n du système (1), issues des divers éléments de (C)„ ; d'autre part, comme un lieu de caractérisli(|ues d'ordre tn du système fUj, issues des divers éléments de (C'!,„ (n" 133 .

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, (|ui est très important pour la suite.

Soit '} un invariant du système (I) de caracléri.'iliques de C équation du second ordre r -\- f =z o ; soit tp un invariant du système 11 ^ de caractcrisliques de la même équation. Les trois équations

forment un système complètement itxlégrable.

LES SYSTÈMES EiN LWOLUTION 103

144. Lorsque les deux fonctions <p et •]/ vérifient simultanément les équations (A) ou les é(iualions (B), les conclusions sont toutes différentes. Si les trois équations

r -\- /-= o, cp = o, ^ = 0,

ont une intégrale commune, elles en ont une infinité dépendant^ d'une infinité de co?istantes arbitraires.

Supposons, pour fixer les idées, que o et •]/ vérifient les conditions {X). Soit (S) une intégrale comfliune, (C) une caractéristique de celte surface du système (I). Il existe (t. I, n" 83) une infinité d'intégrales de Téquation r -]-/*==: o, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires, qui ont un contact d'ordre n avec (S; tout le long de cette caractéristique (C) ; nous prenons pour n Tordre des plus hautes dérivées qui figurent dans les fonctions f et •!. Toutes ces intégrales satisfont aussi aux deux équations ^ = o, J/ = o, car on peut les considérer comme un lieu de caractéristiques du système (II), issues des divers éléments de la caractéristique (Cj, éléments qui vérifient tous les relations ^ = 0, 'f =0 (voir n" 135).

II ne peut donc se présenter que deux cas pour le système proposé; ou bien ce système est incompatible, ou bien l'intégrale générale dépend d'une infinité de constantes arbitraires. Les deux cas peuvent effectivement se présenter, comme le montre l'exemple suivant. L'équation

forme un système en involution avec chacune des équations

y — -2x5 -f tp (s) = o, p — xs- -f- \|/ {s) = o,

quelles que soient les fonctions ^ et <]>. On tire de ces deux dernières, en différentiant par rapport à x, en tenant compte de r + s'^ = o,

2.^-2a;.|î + V(.)| = o, et, par suite.

Prenons d'abord ç («) = ^f {s) = « ; la dernière équation nous donne

10 i CHAPITRE VI

— = o, el les précédentes donneraient s = o, p ^ o, y = o, c'est-à-dire que les trois équations

>' -(- s' = o, // — 2.0" -j- s ;^ o, p — XS^ -\- s =: o,

sont incompatibles. Prenons, au contraire, cp = 2x, •!/ = s' ; si on élimine s entre les deux équations

y — ±vs -f- 2« = o, /) — j's^ -|- s' = o,

on est conduit à une équation du premier ordre

Ap x— 1) — i/- = o,

dont litulesles intégrales satisfont au système:

r -f- s' := o, // — 'ixs -|- 2s ^T o, p — xs* -\- s* = o.