Toute équation de la forme

peut, comme on l'a déjà remarqué (n° 132), être ramenée à la forme

r + r[x, ih -?, P, ?. s. 0 = o,

en prenant pour nouvelles variables x -|- ^ et .r — y. Mais, comme l'équation (70) est une des plus simples auxquelles on puisse ramener une équation aux dérivées partielles du second ordre, nous montrerons rapidement comment on peut traiter les mêmes problèmes sur une équation de cette forme.

L'équation 70j et celles qu'on en déduit par des difîérentiations répétées permettent d'exprimer toutes les dérivées partielles au moyen de celles qui sont.prises par rapport à l'une des variables seulement.

Dune manière générale ^ ^^ ^ s'exprime au moyen de

D'après l'équation proposée elle-même, la loi est vraie pour i=:k = i\ pour établir quelle est générale, il sydira de vérifier que, si elle est Traie pour les dérivées partielles d'ordre égal ou inférieur à n, elle est

encore vraie pour les dérivées d'ordre ?i -f- 1 ; ce qui n'offre aucune difficulté. Un des indices dosdérivéesp,,/., au moyen desquelles s'expriment toutes les autres, étant toujours nul, nous modifierons un peu les notations employées jusqu'ici, en posant

()^ })^z if'z

^z ^^z yz

et on supposera toujours que, dans les relations suivantes, on a exprimé toutes les dérivées au moyen de x, y, z, p^^ Pa--., ^p 72- •• ^^ ^' P^'' exemple,

tandis que -^ est une fonction de œ^y, z, p^, .., pi, Çf, et ^ une fonction de X, y, z,pt, q^, ..., ç^.

Cela posé, les équations différentielles des deux systèmes de caractéristiques d'ordre ?? de l'équation (70) sont respectivement

I dy = 0, dz := pfdx, dp^ ^=p^dx^ ..., dp„^^ := p„dx, ^ ^ j dq, = '^ dx, ..., dqn = ^ dx,

... \ dx = 0, dz = q^dy, dp^ = ^ dy, ..., dp,, -— '-^ dy, (11) \ './ *•./

( dq^ = q^dy, . . . , rfç„ , = q„dy ;

chacun de ces systèmes se compose de (2n -j- 1) équations entre (2n -f- 3) variables (a;, y, z, p^, ..., p„, 7,, ..., q„).

Cherchons les conditions pour que léquation proposée (70) forme un système en involution avec une autre équation d'ordre n

(71) cp [x, y, z, p^,p.i, ..., Pu ; 7(1 Î21 ••■> î") = o-

En différentiant cette relation par rapport à x et par rapport à y, il vient

106 (.HAPITRE VI

quand OU aura remplacé ^ et ^ par leurs expressions, ;),, + , ne figurera que dans la première équation, et 7,, + , ne figurera que dans la seconde. Pour que les deux relations se réduisent à une seule, il faudra donc que l'une d'elles soit vérifiée identiquement, c'est-à-dire que la fonction 9 doit satisfaire à l'un des systèmes ci-dessous (')

(Al j ^ = „,C^) + ^^,^<,.

Prenons, par exemple, les conditions (A). La première montre que :p ne dépend pas de q„ ; si n est > 1, le coefficient de q„ dans la seconde

est r — ■■ — On doit donc avoir aussi r — ' — =: o, de sorte que 3p ne dépend

pas non plus de 9,,-,. En continuant ainsi, on démontrera de proche en proche que s ne doit renfermer que les variables

et on peut remplacer le système (A) par le suivant

^ ^ h, ~ ' ^y + D^ ^' + Dp, Dy ^ - + cV cV - °-

On voit de même que, si une fonction ^ satisfait aux relations (B), ^ est indépendante de /),, p,, ..., p„. et on peut remplacer le système (B) par le suivant

^ Op, :>x ^ :>z' * ^ cVy, ;>./; ' :}q„ :>x

Lorsque les équations (A) sont vérifiées identiquement, il est aisé de vérifier que (/^ =1 o est une combinaison intégrable des équations différentielles des caractéristiques du système (II) ; de même, les conditions (B) expriment que d^ :=o est une combinaison intégrable des équations différentielles des caractéristiques du système (1). Les conséquences sont les mêmes que celles qui ont été développées plus haut.

146. La méthode générale d'intégration des systèmes en involution peut être remplacée ici par un procédé plus direct. Pour fixer les idées,

(') 11 suffit que ces relations soient vériûées.en tenant compte de l'équation ? = 0 elle-même.

LES SYSTÈMKR EN INVOMTION 107

8upj>(>sons que s ne reiifenue cjutj les dérivées p,,/)^, ...,p„ de laloiicUorv inconnue, et qu'on ail résolu réqualion (ç, z= o par rapport à p„. Oa peut alors récrire

la s'^''(>nde condition (A') s'obtient en difîérentiant l'équation précédente par rapport à y, en remplaçant dans le résultat t-^;-' ^ ..^ > .... r — r-

par leurs valeurs eu fonction de ic, y, z, r^, <— r,'..., ^ — , r-? déduites

de rétjiiat ion proposée (70) et de ses n — 1 premières dérivées par rapport

à X, et substituant entin à la place de c-^ sa valeur — 'J/, déduite de (73).

Si on arrive ainsi à une identité, c'est qu'il existe une relation linéaire

et homogrène de la forme

.^rf"-'F(z), rf"-^Fu), ^ „^(^h K,v,^«,..u.«^Mi)

'^^'-^^^^ ^""^-^h^ ; ....„..-^^-^+a„,Fu;-}-M^M-P.

yl^ )

Or

dy où on a posé

OpŒj, ..., a„,, p, p, étant des fonctions de ic, ^, z, — < ..., c— ;73-j> t —

Gela posé, imaginons qu'on ait intégré l'équation dilTérentielIe ordinaire d'ordre nf73j, où ne figure aucune dérivée par rapport à la variable y. L'intégrale générale de celte équation est de la forme

(75) z = «ï> (a?, 7/, C,, Cj, ..., (:„),

C^, Cj, ..., C„ étant des fonctions arbitraires de y. Si on remplace - par cette intégrale dans F (z), le résultat de la substitution est une certaine fonction de x et de y, U (a;, y), qui satisfait à une relation de la forme

on déduit de là que, pour que U (x, y) soit identiquement nul, il faut et il suflit que U et ses n — 2 premières dérivées par rapport à x soient nulles pour x = a?^, pourvu que les fonctions y,, yji -mY"-» soient régulières dans le voisinage de ce point.

Imaginons que C,, Cj, ..., C„ soient les fonctions de y auxquelles se

réduisent, pour .r = .r„, .-, -, ..., ^^-^,

^0 - «po hn. {^)^ - ?. ii/h -, (jr^)^^ = ^' - . (y) ;

il résulte (lu raisonnement précédent que l'intégrale générale du système en involution

est représentée par la formule :

où les fonctions ©q (y),cp, (,v), ..., <pn-t (y) doivent satisfaire aux (n — 1) conditions

où on aurait remplacé c, ^; ..., ^^^^„, par »(, (//), cp, {y) ..., cp„, (?/)

respectivement, et x par ,/■„.

Il est facile de voir comment on pourra obtenir des fonctions Oq, ^,, ..., o„, satisfaisante ces conditions. Si on se donne Oo (y), 1 équation F (z) = o devient

on en déduira l'expression de ç-, i/y i, qui dépendra d'une constante arbi-

rfF I-) traire. L'équation — ' - =r o donnera ensuite une nouvelle équation du

premier ordre pour déterminer Oj (.'/ , et ainsi de suite.

Kemabque. — L'application de la méthode générale exposée plus haut conduit aussi à l'équation (73). En elTet, d'après cette méthode, pour obtenir les caractéristiques du système en involution, on doit intégrer les équations différentielles du système (1)

c/y=o, dz = p^(/r, (fp, = p/Jx, .. , c/p„-f=p„dx.

LES SVSTEMKS KN I.N VOLl TKi.N 100

auxquelles on ajoute la relation

P« + 'M^. //' -, i>oPj, ...,i)„,) = o.

L'élimination de ;>,, p.^, ..., p„ conduit précisément à l'équation (73) ; l'intégration de cette équation fera connaître z, p,, p^,... p„ en fonction de X et de n constantes arbitraires. On aura ensuite q^ en intégrant l'équation diiïérentiellc du premier ordre,

dx ~ ^.r - 1 ^"^' •^' -'^n'/.).

puis on aura q.^ au moyen d'une nouvelle équation du premier ordre

dq-i ^/,. . , ,

et ainsi de suite. F^a détorminalion des caractéristiques du système en involution se ramène donc à l'intégration d'une équation différentielle d'ordre n et de « équations du premier ordre.

147. On voit qtie le l'ait capital ({ui domine toute la théorie des systèmes en involution est le suivant : Toute intégrale est un lieu de multiplicités d'éléments qui dépendent d'un nombre fini de constantes, el qui, par suite, peuvent être obtenues par l'intégration d'un système d'équations dilTércnlielles ordinaires. Dans un Mémoire déjà cité ('), M. Sophus Lie a démontré cette propriété par une méthode ingénieuse et profonde, (|ui s'applique à des systèmes très généraux d'équations aux dérivées partielles.

Pour donner une idée de cette méthode, reprenons un système de deux é(|uations du second ordre

et soit z = F (x y) une intégrale de ce système. Si on regarde (a", //, z, p, q) comme les coordonnées d'un point dans un espace à cincj dimensions, les relations

(78) c = V yx, //), p = -, .; = -,

définissent une nuilliplicilé ponctuelle (I\,) à deux dimensions, dans cet (') lieric/ite (fer K<iiiir/l. Sùr/i.s Gesellschnft : 1895.

110 CHAJMTKK VI

€space. ('.elle mulliplicitc puncluellc (1^ sert de support à une multiplicilé M4 de X ' éléments ('), que l'on petit définir comme il suit. Appelons V^. Vy, V;, V,„ V, les coordonnées homogènes d'un plan tangent à Tj) au point (x, y, z, p, g) ; ces coordonnées doivent satisfaire à la relation

•et, comme œ et y sont des variables indépendantes, et z, p, q des fonctions de x et dey définies par les formules (78), on doit avoir séparément

v, + v.ç + v,3^^-hV,3^:=o.

D'autre part, puisque F (^, y) est une intégrale des équations (77) on a

— ^;yr,,,.c,p,q,^=0,

."^2 F ;)2p y^Y et l'élimination de r— t' r — r-- r—r entre ces quatre relations conduit à i>x^ >>xoy oy^ ^

une équation de condition

homogène par rapport à V^, Vy, Vj, V^, V,,. Tous les éléments {x, y, z, p, 7. 'Va:, Vy, Vj, Vp, Vç) de M, vérifient donc la relation (79); en d'autres termes, cette multiplicité M^ constitue une multiplicité inté-

gvale de l'équation (79) où on aurait remplacé Va: par r— 5 ••• Or, on

sait que toutes les intégrales de cette équation du 1" ordre s'obtiennent en associant suivant une loi convenable les multiplicités caractéristiques, qui ne dépendent que d'un nombre fini de constantes; il en est donc de même des intégrales du système proposé (77). Mais il est à remarquer que toute intégrale de l'équation (79) ne donne pas inversement une intégrale de ce système; il faut, en outre, que cette intégrale

(') Équatiom du premier ordre. Chap. x.

ait pour snpfxut, dans Kcspace à cinq dimensions, une niulliplicilé ponctuelle à deux dimensions.

Si le système (77) est en involulion, l'équation (79) admet une inlinité de pareilles intégrales, dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. Cette équation est donc une de ces équations auxquelles M. Soplius Lie a donné le nom de semi-linéaires. Nous renverrons au mémoire de M. Lie pour plus de détails sur la méthode précédente.

148. Dans une note intéressante ('), M. Wladimir de Tannenberg- a indiqué un nouveau point de vue auquel on peut se placer pour étudier les systèmes en involulion, en les rattachant à la théorie des groupes de transformation et à certains systèmes d'équations aux différentielles totales, déjà considérés par M. Hamburger (^).

Supposons, d'une manière générale, qu'il s'agisse de déterminer n fonctions x^, œ^, .-., cc„, de q variables indépendantes, satisfaisant aux p équations aiux différentielles totales

(80i 0 j = Yj X.'A-^a^-t ^ o, (î = 1, 2, ... p),

oii les \n. sont des fonctions données deXf, x^^ ..., x„.M. de Tannenberg remarque que le problème est susceptible d'une simplification, lorsqu'il existe un système d'équations différentielles du premier ordre

(81) pL^^2= ... =^:=rfe,

où ;,, ;.2i •••> 1" ^ont <^6s fonctions de a*,, x.^^ ..., x„, dont l'iutéyrale générale représentée par les formules

(82) Xi=f({xlxl ...,a?5J, 6)

jouit des propriétés suivantes :

1° .i-y, ..., x^, désignant les valeurs initiales de a;^, ..., a-npourla valeur 6=0, les fonctions de 0 définies par les formules (82), quand on y regarde .r", ..., x% comme des constantes, satisfont identiquement aux équations (80);

(') Sm»' la Théorie des Équations aux Dérivées partielles (Comptes Rendus, t. G.W, p. 614; 2y mars 1895).

(-) Enreilerunçi eines PfafJ'schen Salzes auf simullane totale Di/ferential(fleichunf/en crsier Orduuny und Inter/ration einer Klasse von simultanem parliellen Differenlialgleic/tunyen' {CreWe, t. CX ; 1892).