CHAI'ITHE M

2*" Le système (80] est invariant pour toules les transformations (82), c'est-à-dire que, quand on regarde 0 comme constant, eta;J, ..., o?^, comme de nouvelles variables, la transformation définie par les formules (82) conduit du système (80) à un nouveau système de même forme

(83) y\%. rfo:? = o, où X?* = X,, (>r«, ..., a;»).

Dans ces conditions, pour obtenir une solution du problème proposé, il suffira évidemment de remplacer, dans les formules (82), x1,x9^. ...,x^ par des fonctions de (q — i) variables, satisfaisant identi({uement au système (83). Il y a donc une simplilicalioii.

Pour montrer comment la remarque précédente s'applique aux systèmes en involution, reprenons encore un système formé de deux équations du second ordre

Intégrer ce système revient au fond à trouver six fonctions x, y, z, p, q, s de deux variai)les indépendantes satisfaisant aux équations aux différentielles totales

Idz — pdx — qdy = o, dp -\- fdx — sdy -- o , dq — sdx -)- "iidy = o.

Considérons, d'autre part, le système d'équations différentielles

/Qs^ dx dy dz dp d</ ds^

il est clair que toute intégrale du système ('8.jj vérifie identiquement les équations (84j, et les calculs du n* 124 prouvent que la seconde condition de M. de Tannenberg est vérifiée également, si le système proposé est en involution. Nous retrouvons donc les conclusions énoncées plus haut. La remarque s'applique aussi aux systèmes formés d'une équation du deuxième ordre et d'une équation d'ordre n.

Étant donné un système d'équations aux dilTérenlielIes totales de la forme (80), on verra dans la note citée comment on peut reconnaître s'il existe des fonctions ;,, ;.^, ..., ;„, telles que les intégrales du sys-

t»*me(81) satisfassent aux conditions énoncées. Ces n fonctions ^, doivent vérifier des équations du premier degré dont le nombre est supérieur à «; pour que la simplification soit possible, il faut et il suflit que ce système du premier degré soit compatible.

149. Quoique l'objet principal de ce chapitre soitl'étude des systèmes en involution, nous démontrerons, en terminant, quelques résultats dus à M. K(">nig('\ qui se rattachent aux considérations développées au début de ce chapitre. Cherchons d'abord les conditions pour que les deux équations

\ ?* -j- / {^^ .y. -1 Pi 9. •5. t) -

forment un système complètement intégrablc. En différentiaut ces deux é<|ualions, il vient, pour déterminer les dérivées du troisième ordre, les quatre relations

/du\ ,7)11. , '!>n

d'où on poura tirer les valeurs de pm. p>.\. P\.i. P). i, pourvu que le déterminant

ne soit pas nul. Si A était nul, r(''liminatio:i dss dérivées du troisième ordre conduirait à une autre relation v [x, y, «, p, q, r, 5, /, =r-. o, et le système proposé ne pourrait être complètemsnt intégrable, à moins que V ne soit identiquement nul ; dans ce cas, le système .^86) serait en involution.

Supposons donc (pie A ne soit pas nul. Les équations (87) nous donnent les dérivées du troisième ordre eu fonction der, y, ^,/), ç, .<;, /, et, pour ({ue le système proposé soit complètement intégrablc, il faut

{^) Malhematiscfie Annulen, t. XXIV,

WTÉCRATIOM DES ÉQL'ATIO.NS.

cl il s'inif .m,. l..< ,-,,iiii;i;,.iis 'l'infoij^rahilité

>•>■.. U ^>i.l ^Pi.i ^Pi.2 ^Pl.î ^Po.3

soient vérifiées identiquement, quand on exprime ces dérivées au moyen de JT, y, *, p, q, s, l. Or, cl'après une remarque déjà faite (n" <18), on obtient ces conditions dintégrabilité en exprimant que les huit équations obtenues en dilTérenliant les quatre équations (87) déterminent un système de valeurs unique pour les dérivées du quatrième ordre, c'est-à-dire se réduisent à cinq équations distinctes. Or, les-<]uatre é(juations obtenues en dilTérentiant les deux premières se réduisent évidemment à trois, de même que les quatre é(|uations obtenues en dilTérentiant les deux dernières. On n'a donc en tout que six équations pour calculer les cinq dérivées du quatrième ordre, et, en écrivant ([u'elles sont compatibles, on a une seule équation de condition

Le premier membre R renferme les variables x, y, z, p, 7, 5, <, et les dérivées premières et secondes de u par rapport à ces variables ; de plus, c'est une fonction entière de ces dérivées et, d'après la façon même dont on l'a obtenu, les dérivées du second ordre y entrent linéairement. Donc, potir que l'équation u = a forme avec r -\- f :=. o un système complètement intégrable, il faut que u vérifie une seule équation du second ordre R =: o.

Réciproquement, toute intégrale u de l'équation R = o, ne vérifiant pas la relation A = o, donne lieu à un système complètement intégrable

de ces équations et des relations (87) on peut, en effet, déduire les valeurs des dérivées du second et du troisième ordre en fonction de rc. y, z, p, 7 et d'une des dérivées s et <, de t par exemple. Les conditions d'intégrabilité étant vérifiées identiquement, on peut choisir arbitrairement les valeurs initiales de z, p, 9, l pour des valeurs données (r^, y,) des variables indépendantes, et le système (86) admet une intégrale dépendant de quatre constantes arbitraires, en outre de a,

z ■=■¥ (a:, y, r/,, a.,, a^, a^, Uj ;

elle contient donc en tout cinq [)aramètres, «, «,, «o» ^3^ ^\^ ^^> P^'" suite, c'est nue intégrale complète de l'équation du second ordre propo-

l.liS SYSTKMKS EN l.NVOJ-l Tl< >N 1 I .%

On verra aisément que toute intégrale complète peut, en «,aMiéial, s'obtenir de celte façon.

Prenons plus généralement un système formé d'une équation du second ordre et d'une é([uation d'ordre quelconcpie

(90) ) ^' +/'(^'y>^.Pi 9'^> 0 = o,

' ' W(^', .V, -S"! Pl.O, Pl.l, •••, lh,n-i\ Po.i, ..., Po,« =0,

où on suppose que u ne renferme plus que les dérivées p,, ;., où l'indice i a l'une des valeurs 0,1. On a, pour calculer les dérivées d'ordre (/i + i),Po,n + i,Pi,n, Pi.n-i, Ics trois Fclations

(^*) I.T;. +^w^ P2,„-i + y;— Pi... == o,

/(Ji(\ , ^^< , <)a

Si le détenninant

n'est pas nul, on pourra donc calculer les dérivées d'ordre (n -|- 1^ en fonction des précédentes. Pour que le système (90) soit complètement intégrable, il faut encore que les six équations obtenues, en dilTérentiant les écpialions (91 1 par rapport à a; et par rapport à ^, admettent un système de solutions communes en pa,,. -i,;^.,,,, /),,„ 4.,, po.» + 2, c'est-à-dire se réduisent à (piatre équations. Or, comme les quatre deritières équations se réduisent à trois, on obtient encore une seule équation de condition

renfermant a?, y, :, p,.o ..., Pi.n~i\ Po.i, ..., Po.n^ les dérivées premières et secondes de «, et linéaire par rapport aux dérivés du second ordre. Toute solution u de l'équation R = o, n'annulant, pas ^ fournit un système coiuplètement intégrable

dont liiité^-rale générale renferm? 2 î -j- ^ constantes arbitraires,

LA MLTIIODI-: D1-: M. DAUBOUX

Uappt'l (les Ihéorènios »'iioncés par M. Darboux. — Étude du cas où les deux familles de caractéristi(|ues admellent deux combinaisons intégrables. — Application à divers exemples. — Cas où une seule des familles de caraclélislicpies admet deux combinaisons intégrables. — Solution du problème de Cauchy. — (^imparaison avec la métbode d'Ampère. — Tbéorèmes divers sur les invariants. — Déterminai ion des é(|uations intégrables, ne posséilanl qu'un sysIèuK' de raracléristi(iues. — Helour sur les équations linéaires. — Discussion de léquatiou s = f{z), d'après M. Sopbus Lie. — Aulies exem|)li'S. — .Xpplication de la théorie des groupes inlinis. — I.a méthode de M. .luiiiis Ktiniic.

150. Pendant de lonj^ues années, après la publication des Mémoires d'Ampère (181i-18I9), il n'a été ajouté rien d'essentiel à la théorie qu'il avait dt'velopptM'; on ne peut signaler que quelques perfectionnements de détail, ou quehjues changements de forme plus ou moins heureux. 1/annéo 1870 marque une date importante dans l'histoire de cette théorie: c'est en effet en mars 1870 que fut présenté à l'Académie des Sciences (') un remarquable Mémoire de M. Darboux, où se trouvent des vues profondes et originales. D'après un passage assez obscur du Mémoire d'Ampère (- 1, il semble que l'illustre géomètre avait eu quelque vague intuition de cette nouvelle méthode ; mais il s'est borné à quelques courtes indications, et ce passage, d'ailleurs très confus, ne parait pas avoir appelé l'attention qu'il méritait. Depuis 1870, un certain nombre de géomètres ont développé des méthodes se rapprochant plus ou moins de celle de M. Darboux; d'autres travaux ont eu pour but. soit d'étendre cette méthode à des équations plus générales, soit d'en faire des applications. Parmi les travaux qui nous sont connus,

(') Comptes T\endus,\. LXX, p. 67.) et lif^-.Annriles de l'École normale, t. VII, première série (1870 .

(*) fie passage est reproduit phis loin (Note de la page 141).

LA MÉTHODE DK M. DAHBOL'X 117

nous citerons ceux de M. Falk ^'), de Picart (^), de M. IlanilHiro-or ^^), de M. Winckler (\), de M. Julius K(>i)ig {^), de M. Viclor Sersawy (•), de M. de Boer (^), de M. A. W. Speckman (^), de M. Maurice Lévy [^), de M. Sophus Lie ('"), de M. Beudon i"), de M. K. von Weber ('2), de M. Sonine C^), etc.

Nous reproduirons d'abord les passages les plus importants du Mémoire de M. Darboux. Après avoir établi les équations différentielles des caractéristiques du second ordre pour une équation du second ordre de forme quelconque et rappelé la simplification qui se présente pour une équation de la forme considérée parMonge et Ampère, M. Darboux continue ainsi:

« On a vu, dans les deux paragraphes précédents, que le problème des équations d'ordre supérieur se sépare très nettement du problème relatif aux équations du premier ordre. Pour le premier ordre, en efTef, la méthode du changement de variables ramène la question à l'intégration d'un système complet d'équations aux dérivées ordinaires. Pour le second ordre, et pour les

(') Falk, « On ttie intégration of partial differential équations of the n"' order >. Nova Acla Regiœ Soc. Ups. Sér. 111, vol. 8, 1872.

2)PicAHT, Comptes Rendus, t. LXXVllI, p. 882-883, 18"i4.

») Hamburger, Journal de Crelle, Bd. 81, 1876 et Bd. 93, 1882.

*) Winckler, « Ueber eineneue Méthode zur Intégration derpartiellen Ditlereniialgleichungen zweiter Ordaung» (Sitzungsberichte der k. Akademie der Wissenschaften. Wien. Abth. II, Bd. 88 et 89, 1883-18841.

•'•) J. KoNio. « Théorie der partiellen DifTerentialgleichungen zweiter ordnung j> Matheuiatische Annalen, t. XXIV ; 1884). L'important mémoire de M. KiJnig sera analysé plus loin.

'■) Sersawy, « Die intégration der partiellen Ditferentialgleichungen zweiter ordnung » {Denkscltriflen der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Wien, Math. Natiirw. Classe, Bd. 49; 1885).

(') F. \>E BoEH, « Application de la méthode de Darboux à l'intégration de Téquation dilTérentielle s =^ f{r, t)r> [Archives néerlundaiset., t. XXVII, p. 335-412).

(*) IL A. W. Speckman, «La méthode de Darboux pour l'intégration des équations a'.x dérivées partielles, non linéaires, du second ordre» [Archives néerlandaises, t. XX VM ; p. 30.3-354). On trouve dans ce travail une analyse succincte des Mémoires <iui viennent d'être cités.

'•') .Malrice Lévy, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. LXXV (1872), p. 1.094. .

'") Sopiius Lie, <> Zur Théorie der Fl.uhen Constanter Rnimniung* {Arffti<: for Malhemalik og Saturvidenskab, t. V; 1880).

«Discussion der Ditrerentialgleichunges» =: F {z)[id. 1880).

« Résumé d'une théorie d'intégration » {Forhandlinger Videnskabs-Selskabet J Christiania, 1880).

« Ziir allgctneinen Théorie der pirtielleu DifTerentialgleichungen beliebiger Oiduuug> [Btrichte der Ildnigl. Sachs. Gesellschaft ; 1893).

• ^^j Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 28 mai 1894; 11 février 1895; 29 avril 1895 ; 2 décembre 1895 ; Thèse de Doctorat.

•2) Mntheinatische Annalen. t. XLVIl ; p. 229-272; Silzungsberichte der Mathemati.tche l'hi/sikalische Classe der k. Rayer Akademie der Wissenschaften, Bd. 23 et 26.

") Le Mémoire de M. Sonine, publié dans un recueil russe, est analysé dans le Bulletin des Sciences mathématiques, t. X, 1" série, p. 96,

il8 r.nAi'iTRF. VII

ordres siipérieur?, il y a, ;iu conliairo, moins (rt'iiualions que iriiironnufs h détermiinT. I-es rem.injuos i|ui suivent paraissent arcuser aussi une dillérencc profonde entre les deux problèmes.

Puisque, dans le cas où l'on se borne aux inconnues x, y, z, p, q, r, s, l, ou a 'une é<{ualion de moins (ju'il ne faudrait pour la solution cherchée du pro- Idème, il est naturel de se demander si, en adjoignant aux inconnues précédentes les quatre dérivées partielles a, p, y, 8, du troisième ordre, on ne parviendrait pas à un nombre dVquations suflisanl pour déterminer comme fonctions de .r, non seulement les inconnues primitives, mais aussi a, |3, y, o. Il se présente ici un fait important et qui, je crois, n'a pas élé remaniué. Le nombre des équotions est encore inférieur dune unité au nombre des foncliona inconnues. Ces équations ne suffisent donc pas à déterminer les inconnues, considérées comme fonctions de la seule variable x ; mais la différence enire le nombre des équations et celui des fonctions inconnues reste la même qu'auparavant : elle est égale à l'unité. Il en est de même si, au lieu de s'arrêter au troisième ordre, on continue les calculs jusqu'à un ordre quelconque: i7 y a toujours une équation de moins qu'il ny a d'inconnues.

Les résultats précédents établissent, on le voit, une difl'érence essentielle entre les équations aux dérivées partielles du premier ordre et celles des ordres supérieurs. Poqr les équations du premier ordre, le nombre des équations contenant seulement les dérivées par rapport à x est toujours égal au nombre des fonctions inconnues. Il n'en est plus de même pour les équations d'ordre supérieur. Pour l'équation de Monge, par exemple, on n'a que trois relations pour déterminer s, p, q, y, considérées comme fonctions de x. On sait tout le parli que l'on tire, d'ailleurs, de ces relations différentielles: toutes les fois quelles offrent deux combinaisons intégrables, on peut résoudre l'équation aux dérivées partielles proposée, ou du moins la ramener à une équation du premier ordre.

Les remarques que nous avons faites indiquent de même, pour les équations du second ordre, la méthode suivante :

On essayera de trouver, en dehors de l'équation pioposée, deux combinaisons intégrables des éqiialions en y, z, p, q, r, s, t. Si ces combinaisons existent dans les deux systèmes que l'on obtient en prenant successivement

pour ^ les deux racines de l'équation

le problème pourra être considéré comme entièrement résolu ; si Ion n'a pas de combinaison inlégrable, onaura recours aux équations qui contiennent les dérivées du troisième ordre. -Wors mhnc que les premières équations ne fourniraient pas de combinai>ion suscrptibir d'iutétjration, le second système formé avec les dérivées prises jusqu'au troisième ordre pourra en donner. Si ce système n'est pas susceptible d'intégration partielle, on ira jusqu'aux dérivées du quatrième ordre, et l'on pourra avoir des combinaisons intégrables; et ainsi de suite.

La remarque précédente me parait conduire à une méthode plus générale

LA MÉTHODE UIÎ M. DAHBOUX 119

que celles qui sont liahilucllemént em|)l(»yt;es. On peul, du rcslp, présenter celte lUL'lliodi' sous un autre point dô vue <|ui permet d'obtenir plus facilement les systèmes successifs que l'on aura i\ intégrer partiellcnient.

Supposons que l'un quelconque de n()S systèmes conduise à deux combinaisons intégi'ables

F Li\ »/, ;, /). 7, ...) niC/", F, l'.r, //, :, jk </, ...) = C».

Les deux constantes qui figurent dans ces éqyiaWons doivent être considérées comme des fonctions d'une mante cariable; eu éliminant cette variable, on est conduit à une équation de la forme

F = fonction arbitraire de F).

Celte dernière relation peut être considérée comme une nouvelle équation aux dérivées partielles, compatible avec la première, et qui admet en commun avec elle une intégrale avec une fonction arbitraire. Nous sommes donc conduits à la solution de la question suivante, qui répond à ce deuxième mode d'exposition :

Trouver une équation aux dérivées partielles

du n"" ordre, admettant, en commun avec la proposée, une solution contenant au ynoins une fonctio)i arbitraire.

Pour cela, il suffit de remarquer que la proposée, difîérentiée » — 1 fois, donne n équations contenant les dérivées d'ordre n + f, au nombre de n + S. F, 'équation V = a, dilTérentiée successivement par rapport à x et par rapport à y, donne deux équations contenant, elles aussi, les dérivées d'ordre n -f- 1. On a donc en tout 7i -f- 2 équations contenant linéairement les dérivées d'ordre n -\- l, et qui déterminent ces n -{- 2 dérivées en fonction des dérivées d'ordre inférieur, si les deux équations aux dérivées partielles dont on cbercho la solution commune sont prises arbitrairement. Mais ici, cela ne doit pas être; sans cela les dérivées d'ordre supérieur à h -|- 1 se détermineraient toutes, comme les dérivées d'ordre n + 1» en fonction des dérivées d'ordre moindre; puisque une fois obtenues toutes les dérivées d'ordre n -f- 1 en fonction des dérivées d'ordre inférieur, on n'aurait qu'à dériver toutes les équations (jui donneraient cliacune de ces dérivées pour avoir les dérivées d'ordre supérieur ; et la solution commune, si elle existait, ne i)ourrait contenir tout au plus qu'un nombre limité de coristantes arbitraires. Il faut donc que ces n -f 2 équations contenant linéairement les h -f 2 dérivées d'ordre n -\- i forment un système indéterminé, ce qui donne deux équations de

condition. Comme deux des équations contiennent les dérivées de V, V~' V*

T-> -N-1 T"! •••» les relations de condition doivent être considérées comnie l'z <<p oq

deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, auxquelles doit

satisfaire la fonction V. Ces équations sont homogènes et du second degré par rapport aux dérivées.

Ce qui précède explique et généralise la remarque par laquelle Bour a étaltli que l'on peut toujours reconnaître si l'application des méthodes de Mimgc ti d'Ampère pouira réussit-. Hour n'avait examiné »}ue le premier cas, Celui où on suppose que l'équation du second ordre aune intégrale intermédiaire.

Les deux méthodes que nous venons d'indiquer se retrouvent d'ailleurs dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. La première, fondée sur le changement de variables, est due, comme on sait, à l'illustre Cauchy, qui l'a donnée en 1819. La seconde a été introduite dans la science et développée par Jacobi. C'est en essayant d'établir un lien entre les deux méthodes que j'ai été amené à l'étude dont les résultats principaux ont été résumés ici.

La seconde méthode permet de se rendre compte simplement du nombre des intégrations qui sont nécessaires pour la solution complète du problème; mais il est indispensable qu'avant de traiter ce point, nous entrions dans quelques explications.

Soit une équation aux dérivées partielles d'ordre n

Désignons par R„, R„ ^, ..., les dérivées du premier membre de l'équation

prises par rapport aux dérivées d'ordre n, ^-y^j ^r^irp^" ' ••• ^ous appellerons

équation caractéristique de l'équation aux dérivées partielles l'équation suivante à une inconnue u

Par exemple, pour l'équation du second ordre, cette équation caractéristique serait

Rit2 -^ Su -h T = 0.

Cette définition une fois comprise, il est facile de compléter un résultat énoncé plus haut. Pour que l'équation proposée

et l'équation aux dérivées partielles \= a aient une solution commune avec une fonction arbitraire, il faut d'abord que l'équation caractéristique de l'équation V = a admette une racine de l'équation

R«2 4- Sw + T = 0.

On voit donc que les équations V= a que nous cherchons se partagent en deux classes, suivant qu'elles appartiennent à l'une ou ou à l'autre des

LA MÉTHODE DE M. DAKBOUX 12i

racines île rt'-qualion piécédenle. Pour la solution complète du problème, il suffit d'avoir une équation de chaque classe, contenant elle-même une fonction arbitraire. Un nombre quelconque dï-quations différentielles appartenant là la même classe ne peut donner l'intégrale complète Ue notre équation. 11 est, du reste, évident que si l'équation

est irréductible, si S" — 4RT n'est pas carré parfait, il suffira de changer dans une intégrale le signe du radical pour en obtenir une nouvelle.

Ainsi, dans le cas où l'équation caractéristique est irréductible, il suffit, pour la solution complète du problème, que l'un des systèmes à intégrer fournisse deux combinaisons intégrables correspondant à la même racine de l'équation irréductible. Si l'on n'a pas le nombre voulu de combinaisons intégrables, on n'aura évidemment que des solutions particulières.

Les méthodes précédentes réussissent toujours, il est facile de le démontrer, toutes les fois que les intégrales seront de celles qu'Ampère appelle intégrales de la première classe, et qui ne contiennent pas de signe d'intégration. »

151. La plupart des propositions énoncées dans ce qui précède ont été démontrées au chapitre vi. En particulier, on a établi directement qu'il revenait au même de rechercher les combinaisons intégrables des équations différentielles des caractéristiques d'une équation du second ordre F = o, ou de chercher les équations V =: a du n"* ordre, qui ont en commun avec la proposée une solution dépendant d'une infinité de constantes arbitraires. Le seul point qui demande à être examiné de plus près est le suivant.

Supposons que les équations différentielles de l'un des systèmes de caractéristiques d'ordre n de l'équation proposée F = o admettent deux combinaisons intégrables distinctes

du = 0, dv = o,

l'une au moins des fonctions u et v renfermant les dérivées d'ordre n. Soit (S) une surface intégrale de l'équation F = o ; le long d'une caractéristique du système considéré, située sur (S), ii et v restent constants. Ce sont donc des fonctions d'une seule variable indépendante et, par suite, elle sont fonctions l'une de l'autre. Toute intégrale de Véquation proposée satisfait donc aussi à une équation de la forme

Inversement, quelle que soit la fonction o, l'équation d[u — <p(u)] = o

[il ciiArmuc vu

est une combinaison des cqualions diiïérenliellcs <lcs caractéristiques; les équations

F r= G, M — Cp (u) = G

forment donc toujours un système en invoiution. On appelle quelquefois l'équation tt — ç (u) = o une intégrale intermédiaire de l'équation du second ordre F = o.

La proposition précédente, qui est fondamentale, s'établ il aisément par le calcul. Pour fixer les idées, supposons l'équation du second ordre résolue par rapport à /•

(1) r -\- f{x,y,z,p,q,s, tj = o,

et soient m,, ?»2 los deux racines de l'équation caractéristique

Nous admettons de plus que u et v sont deux intégrales distinctes du système d'équations simultanées

^' ^Po.n ' ^Pt,n-i \dxj^ ^\dy) :^p, „, V^y"-'/

on suppose, comme plus haut, que m et îj ne renferment que les dérivées Pijt où i est < 2. Cela posé, je dis que, si dans m et y on remplace z par

une intégrale quelconque de l'équation (1) et pi^ par r — r— ;j« le déterminant fonctionnel

e}'. il l'.l [j ! n ; 1' a i'. 0 i a, en effet,

D(u.Py

/du\ , :>u , :>u /dv\ , ?r , i^y

\dxj ^Po,n ^Pl,n-l \dx/ Dpo.,. ^Pi,»-i

yl '>Po,n <^Pl.r>-l \Uy/ Opo,„ <Jpi,n-l

si on multiplie les éléments de la seconde ligne par >/îj et qu'on ajoute à ceux de la première ligne, les deux éléments de la première ligne du nouveau déterminant sont nuls. On a, par exemple, pour le premier élément'

/rfu\ . /du\ , Dm , l Du , Dit j , Dm

,ûtr/ \dyj op,.„-i D/jo,, ' D/j,.„i D/3o.„

LA MÉTHODE DE M. DAFUiOUX 121

c'esl-à-dire, en tenant compte des équations (2) et des relations

r,}. -4- VI., = — j m, m., -= — >

^ ' - os * '' ot

'du et le coefficient de r est nul évidemment lorsque z est une inlc-

grale de l'équation (1), et que l'on remplace p,A par

, ,. ,. DlM, v) , , , , ,,. .

L équation ^-7 ; = o est donc une conséquence de I équation

152. Considérons d'abord, avec M. Darboux, le cas où chacun des deux systèmes de caractéristiques admet deux combinaisons inlégrables, de sorte que l'équation du second ordre F = o admet deux intégrales intermédiaires distinctes, appartenant à deux systèmes de caractéristiques différents et n'étant pas nécessairement du même ordre

Toute intégrale de l'équation du second ordre vérifie ainsi deux é(juations de la forme précédente, et inversement, quelles que soient les fonctions o et •]/, les trois équations simultanées

forment un système complètement intégrable, dont l'intégrale générale, ([ui dépend d'un nombre fini de constantes, peut être obtenue par l'intégration d'nn système d'équations différentielles ordinaires (n"' 142,143). Lorsque u, u, w,, y,, ne renferment que les dérivées du premier ordre, l'équation du second ordre considérée est nécessairement de la forme

II;- + 2K.S -I- L< -f M -f N {ri — f^=o

et appartient à la classe étudiée aux n"" 41-45. Le cas le plus simple après celui-là est celui où m, u, u^, v^ ne renferment aucune dérivée

124 r.iiAriTRi: vu

d'ordre supcriourau si'oond. Pour intéfifrer le système

introduisons deux variables auxiliaires a et p, en posant

de ces quatre équations et de F ^ o, on peut tirer cinij des huit variables .r, y, 2, p, q, r, 5, (, en fonction des trois autres et de a, p, o (a), •]> (fi). En remplaçant ces cinq variables par leurs valeurs dans les relations

(h = pdx -\- qdl/t dp =: rd.r -\- sdy, dq = sdx -j- Idy,

on est conduit à un système complètement intégrable d'équations aux différentielles totales pour déterminer les trois variables restantes en fonction de a et p. On ne pourra, en général, achever l'intégration tant qu'on n'aura pas particularisé les fonctions ç. et ^.

Nous allons appliquer la méthode à quelques exemples.

Exemple I. — Soit à intégrer l'équation de Liouville (I, p. 97)

les équations différentielles des caractéristiques du second ordre sont respectivement

(I) iLx z= o, dz = qd)j, dp = c'-dy^ dq = idy, dr = pe-dy\

(II) dy =0, dz =z pdx, dp = rdx, dq = e'-dx, dt = e'qdx.

Le système (I) admet les deux comijinaisons intégrables dx = 0, dir — ^)= o, et le système (II) admet de même les deux combinaisons intégrables dy = o, d (t ^'^\~ o. Il existe donc, pour l'équation 3;, deux intégrales intermédiaires distinctes du second ordre,

et l'intégration de l'équation s = e-. est ramenée à celle du système

complètomenl iiilt'grable

dq -- e-'dx + (^'^ 4- } (yA rhj, qui est lui-même équivalent à un système de six équations

la dernière équation ^ rtr -^ -|- .^ fy) a déjà été intégrée (I, p. 1)6). En

mettant la fonction arbitraire ji {y) sous une forme convenable, on a vu que l'intégrale générale peut s'écrire :

X et Y étant dos fondions ar])ilraires de .r et de t/ respectivement. On tire ensuite - de la relation

^x ce qui donne pour z une expression de la forme

'' - (X + Yr'

et on véi'ilie que, quels que soient \ et Y, cette fonction j est une intégrale de l'équation projjosée.

I^XEMPLE II. — Soit à intégrer l'écpiatitui

(4) r — qs -|- ;)/ r= o.

Les deux racines de l'équation caractéristique sont ici :

g + \'q'' — 4p — 7 — \ 7- — ip 2 ' '~ 2

12G (.HAriTHK VII

Kn se hornanl aux dcrivécs du second ordre, les carartérisli(iues de l'un des systèmes sont délinies par les équations

dy -^ mf(fj', dz = (p -\- </;«,) </a\ dp == {qs — pi -f- s^^u) ^'"i dq = (s -|- tm,)dx, ds -\- rn^dl = o.

On a une preniière loniiiinaisoii inlégralde provenant de la multiplication par un facteur convenable de

dp -\- m.,dq = o ;

c'est uiu" cipiation de Clairaul dont rinléj^^rale générale est m^ = C. La dernière écpialion donne alors une nouvelle intégrale s -\- m^t = C ; de sorte (pie l'éjpialion proposée admet l'intégrale intermédiaire

s -|- inj = z, ( — m^) ;

réqualion caractéristique étant irréductible, le second système de caractéristiques donne une autre intégrale intermédiaire

« -f- ni^t = -j ( — >n^ .

Pour apf)li(|uer la méthode générale, posons m., r^ — «» wi, = — p, et par suite s — al = o {z), s — P^ = «f (S). On tire de ces relations et de l'équation proposée elle-même

Les valeurs de p, q, /-, 5, t substituées dans les relations

nous donnent

on a ensuite

dp = rdx 4" sdy, dq = sdx -\- Idy^

, ad% pVp

à'-d-x ^i'dd

p(iJ- -+- flitU z= . 'T'/T"'

LA MÉTIIODK DE M. IJAHBOUX 127

et il suffirait do remplacer » a) et ^ (^j par '.,„ r's ^'^ w"'((i\ i"espective-

ment pour avoir les expressions de .v, y, ^, débarrassées de tout^igne de. quadrature. Remarqutms que les surfaces intégrales sont des surfaces de translation, les tang»Mites aux courbes des doux familles, dont la translation engendre la surface, restant parallèles aux génératrices du cône y^ -{- xz =z o.

153. [.a méthode de M. Darboux s'applique aussi avec succès à l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima et, en général, à toute équation du second ordre qui définit des surfaces de translation. Il est aisé de s'en rendre compte a priori. Toute surface de translation est engendrée par la translation d'une courbe (P). dontles tangentes sont parallèles aux génératrices d'un certain cône (T) représenté par l'équation

l'un des points de cette courbe (P) décrivant une autre courbe (P') dont les tangentes sont parallèles aux génératrices d'un second cône (T'), diffèrent ou non du premier et ayant pour équation

ei)=«-

On sait que, dans ce mouvement, tout point de la courbe (P) décrit une courbe égale à (P') et que la surface peut aussi être engendrée par le mouvement de translation d'une courbe (P') le long d'une courbe (P). Les courbes (P) et (P') de chaque surface constituent les deux familles de caractéristiques. Pour montrer que la méthode de M. Darboux est applicable à l'équatiGn aux dérivées partielles de ces surfaces, il suffit de faire voir qu'il existe deux fonctions distinctes de ^r, </, r, s, f, qui conservent une valeur constante quand on se déplace sur une caractéristique. Prenons, par exemple, une courbe (P') ; par chaque point de (P') passe une courbe (P) située sur la surface ; soient

ij=f[x\ c = (p(a-),

leSi équations de celle courbe ; puisque la surface est engendrée par la translation de (P!,- les valeurs de y', z\ y'\ z'\ relatives à celle courbe (P) senties mêmes tout le long de (P'). Or on a, pour déterminer y', z\ y'\ -",