FxEMiM.E m. — Soit à intégrer l'équation

Les équations des deux systèmes de caractéristiques sont respectivement

( I Jy = o, dz = pdx^ dp ^^ — fis dx, dq = sdx^ ds-\-/"{s) dt = o ;

i f'.V — f{^) dx, dz = ]p -{- qr\s) ; dx,

) dp — ] sf {s' — f{s) ! dx, dq ^= \ s -{- tf'[s) \ dx, ds = o;

le premier admet deux combinaisons intégrables

, , ds dy = o, dt + -— - = o,

le second eu admet trois

ds = o, d\y — X f\s] ! = o, ^ ; p + ccfis) — xsf\s) \ — o.

On a donc deux intégrales intermédiaires distinctes que nous écrirons:

en posant

ds

-jr

LA MKTHODK DIC M. DARBOl'X ilU

^ et •}/ étant des fonctions arbitraires. I^oar plus de symétrie, posons s = a, y = p ; les équations [o) et (G) donnent

On a ensuite :

dp = rdx -\- sdy = d [rx) — xdv -f- sdy

= d [rx) -r ; P - f' (a) I dx + «rfp, et, par suite,

p =: ro; + a? - f (a) = '^°:|~^ A^) + «?-?' (a). On a de même dq =^ sdx -\ ■ Idy = d {sx) — xds -\- tdy

= d [SX) H- --y^' d.. + f (3) c/? - F (a) d^.

et on en lire

On a z par une nouvelle quadrature

z =px -{-qy —J[xdp-\-ydq) ;

on peut encore écrire :

x'Ip -\- ydq = [rx -f- sy) dx -f (sa? + ly) dy

= I ap - ^/-(a) I j ^f ^/a + ?| r/3 | + | «^ + /.3 ! rfp,

ou, en réduisant,

ar/;j -f ?/Ay == c^ I x}x - "^ /-(a) j -|- J^ /"(=') - P^ [ <-/a -|- lid'i.

11 vient donc :

et, en portant dans la valeur de -. on a x, y, -, p, q exprimés au moyen de a, p.

rvTiiCnATio:** DES équations. 9

130 CHAHITHE Vil

Exemple 1\ . — Soit à intégrer l'équation

Les deux racines de l'équation caractéristique sont m, = -^» m,^ ^=- — j*

Lun des systèmes de caractéristiques est défini par les équations

c/y = ^, dz ={p + f^ ci.r, dp = (^ - 3^)cte, dr/ =ys -\- j )f/.r, ds — ^ == o,

qui admettent les deux intégrales premières

le second système de caractéristiques admet de mtme deux intégrales premières

Conformément à la méthode générale, posons

« — - = 29, 29a; — q = -ne), ï, et l/ étant des fonctions arbitraire!? ; on lire de ces équations

et récjuation proposée donne ensuite

11 reste à exprimer //, /» et z en fonction de a et de [i ; de la relation

dq = sd.i- -\- tdt/, on tire d'aljord

dq — gtlv d ((( — sx) 4- xds dy -= -^— = — -^ :

OU, en rem[)laçant .'•, r/, 5, /, par leurs valeurs et en elToctuant les quadratures,

y = |(3 - a) rf^al + Ym + f (^) - f !»•

On a ensuite p au moyen de la relation

dp = rclx -\- sdy = d [rx -\- sy) — xdr — yds, qui donne, en effectuant les quadratures,

jp^rx^sy-\-U- ?) ; f (a) + -V ([i) i + 2 i ^ (P) - cp («){, ou, en remplac^-ant .r, y, 1\ s par leurs valeurs

-f 2ai,' !>;> — 2;3f :^) -f- 2-i; (;3) — 2^(a). Enfin, on tirera z de la relation

f/Z Z=Z prix -f- ^/(/y

par une dernière quadrature.

Le dernier exemple est dû à M. de Boer ! '), qui sest proposé de trouver tous les cas où la méthode de M. Darboux permet d'intégrer une équation de la forme f iV, 5, t) ^= o, en se bornant aux intégrales intermédiaires du second ordre. Sans entrer ici dans l'étude détaillée de cet intéressant problème, nous montrerons comment on peut trouver (les cas dinlégrabilité. L'éipialion étant mise sous la forme

soient /»,, m,^, les deux racines de léquation caractérisli([ue

les caractéristiques du second ordi-e sont définies par les équations

\ dy —. m^dx, dz = {p -\- qm^, d.c, dp = \ — f .s, t) -f- m^s , dx, I dq = [s -f- h

(') Archives néerlandatics. t. XW'H.

I dq= [s -\- iHft) dx, ds -\- 111.^(1 = o,

le second syslème se déduisant du premier en permutant u^^ et jMj. On a toujours une combinaison inlégrable provenant de réqualion ds -\- m-îdl =r o, puisijue «ij ne renferme que sel i; soit

celte intégrale première. La fonction u est une intégrale de l'équation du premier ordre

Pour trouver des cas ou il existe une autre intégrale première, il suffit de remarquer que si l'une des fonctions m,,smf — /'(•'»0i s-\-tm^ satis fait à l'équation ( 10), on a aussitôt une seconde intégrale y — m^x = C", oujj-f- /*(<, 0 — ^i^j ^' ^= C, ou </ — (* + ^'«0 (v = C. Prenons par exenjple le premier cas ; pour qu'il se présente, il faut que l'on ait

On a une combinaison analogue pour le second système, pourvu que l'on ait aussi

On peut remjilacer eus deux conditions par les combinaisons suivantes

pourvu que les racines m,, m-, soient distinctes. La première se réduit à une identité, tandis que la seconde devient, en remplaçant ?«,»?2» m^ -f- ''''-s "î? + "'2 P^f" leurs valeurs,

c est 1 L(|ualion intégrée plus haut (Exemple II, n" l.oSi pourvu qu'on y remplace / et « par .'■ et y. On en conclut <{iie toute équation de la forme

LA MKTHODE DE M. DAHHOl'X 133

s'iiilègre de ccUe fagon lorsque, quand un considère r, s, /, couinie des coordonnéescourantes, celle équation reprcsenle une surface de translation, les courbes des deux familles donl la translation entendre la surface ayant leurs tangentes parallèles aux génératrices du cône s^ — W= o.

155. Prenons maintenant le cas général où l'équation du second ordre proposée admet deux intégrales intermédiaires d'ordre quelconque, dépendant chacune d'une fonction arbitraire et correspondant à des caractéristiques différentes. Soit

l'équation du second ordre ; soient

du = o, dv = 0

deux combinaisons inlégrables distinctes des équations différentielles de l'un des systèmes de caractéristiques,

d^(^ rr: O, dv^ = o

deux combinaisons intégrables distinctes des équations différentielles du second système de caractéristiques. Appelons m l'ordre des dérivées de l'ordre le plus élevé qui iigurent dans u et i\ n l'ordre des dérivées de Tordre le plus élevé qui figurent dans u^ et v^ ; nous supposerons, pour fixer les idées, m ^n. Des trois équations

(12) r4-/-=o, M=^cp(u), M, =,j,(r^),

qui forment un système complètement intégrable, et de celles qu'on en déduit par des différenliations répétées, on peut alors tirer l'expression de toutes les dérivées partielles de la fonction inconnue au moyen de d^, i/, -3", Pi.o, ^11' ••MPi,m-2; i'o.i, ..mPo.u-i (n° 143) et former un système complètement intégrable de (m -]- n — 1) équations aux différentielles totales.

On peut encore opérer comme plus haut, en introduisant deux nouvelles variables indépendantes a et p. Si on pose, en effet,

tJ = a, u, = P,

on aura aussi u =r ^ (a), «, = •} (p). De ces quatre éaualions, jointes à celles qu'on obtient en différentiant l'équation »• -f- /"= o, on peut tirer

les valeurs de plusieurs des anciennes variables

^1 .V) -1 /'loi •••, 7>>,»i--2 î/^o, 1. •■•■, po.n-l

au moyen de a, p, o (x), •]/ (P), et des variables restantes. En substituant dans le système d'équations aux dilTércnlielles totales dont il a été question tout à l'heure, on a un nouveau système complètement intégrable d'équations ^ux diiïérentielles totales entre {m -j- n — 1), fonctions inconnues i-,, z^ ..., z,„+„,, et deux variables indépendantes a et ^. L'une quelconque des équations de ce système est de la forme

^ M -h*/ ^-p ^',< ..-, ^«. + «-p ût, p, ^ (a), «f (P),cp'(a), -y (p),...] rfp;

les coefficients F, et *!>/ sont des fonctions déterminées de^,, 22,...., •3'm + /i-p '5^1 P) <?(»)i ■MP^ pouvant aussi renfermer les dérivées ç'(a), Y (P), ..., jusqu'à un ordre fini.