Soit
une équation, on ÎS n'est pas nul, et pour laquelle les équations différentielles des caractéristiques présentent Irois combinaisons inlégrables du = 0, dv = o, dîc ■-= o. Les trois équations
représentent une famille de multiplicités M^>, formées do surfaf'os, dnrt on obtiendra 1 équation en éliminant p et q entre les trois équations précédentes ; soit
74 CHAPITnE H
ré(]iialion de ce o>inplexe de surfaces. Toute courbe C située sur une surface S de ce complexe, jointe aux plans tan<ifents h S le long de cette courbe, foirne unemullipliciféAf, (|ui satisfait auxéquations u = a, r = ô, fP =: c et, par suite, aux relations
(lu = o, dv z= o, dw = o ;
c'est donc une muUiphciié caractéristique. Si on se propose de déterminer une surface intégrale passant par la courbe Cet tangente à la surface S tout le long de cette courbe, on ne peut jamais appliquer le théorème général de (]auchy, quelle que soit la courbe C choisie sur la surface S, puis(ju'on se trouve toujours dans le cas d'indétermination. Les sur faces S du compLsxe ftont donc des intégrales singulières de l'équafion du second ordre
Cotte remarque peiinel de retrouver les équations de condition obtenues plus haut. Sur une surface intégrale, il existe, eni général, deux familles de caracléi-iistiques; les tangentes aux deux caractéTistiques qui passent par un point sont déteiininées par l'équaLion du second degré (n* 24)
R4v' — ^dxdy -\- TJa;2 = o.
Si la surface est une intégrale singulière, toute courbe de cette surface doit être une caractéristique, et l'équation précédente doit: se réduire à une identité, c'est-à-dire que rinlégrale singulière doit être une mlégrale commune aux trois équations
K = H -h N< = o, S = K — N.v = o, T = L -f Nr = o.
L'intégration de ce systèm»; revient à l'intégration dii système d'équations aux différentielles totales
dz ■=. pdx -{- qdy^ (37) l^dp=:-^da:^^dy, dq r:=^dx~-^ dg.
L'intégrale générale de ce système contient au plus trois constantes arbitraires, à savoir les valeurs initiales de r, p. q, pour un système de valeurs données de x et de g. Or, le complexti de surfaces précédent dépend bien de trois constantes; il faut donc que le système (37) soît
LKS KOUAiroNS DE MONGE i:T o'AMPÈnE 75
complètement intégrnhle. En posant
les conditions dinlégrabilité sont
ces équations jointes à la relation
(9) K^ — HL + MN = o,
qni exprime que les deux systèmes de caiaclérisliqiies sont confondns, soni bien equivalontesaux conditions trouvées plus haut (n" 34). Toute multipli(UtP M,, composée d'une courbe C située sur uTie surface S du complexe et des plans tangents à la surface le long* de C, satisfait aux équations dilTi-rentielles des ijaractéristiques. Cependant, ce n'est pas en général une caractéristique, au sens géom.élrique du mot, car les Courbes, suivant lesquelles les surfaces du complexe touchent leurs envcluppes, sont représentées par les deux équations
«I» [o:, y, z \ a. tb (a), il» [o)] :^ o.
da c>cp [a] ^ ^4* (^)
et dépendant seulement de cinq paramètres a, cp(a), »'(«), i/ia), «fX»*)- Ainsi, dans le cas dé l'équation r( — 5'' ~ o, toute courbe plane est une caractéristique au sens analytique, mais les véritables caractéristiques sont des li<.çnes droites.
38. Nous avons toujours su4)p<»sé jusqu'ici que le coefficient N n était pas nul. Proposons-nous encore de former explicitement les conditions pour que les équations des caractéristiques admettent trois combinaisons intégrables, lorsque N est nul. Nous savons déjà qne les deux systèmes de caractéristiques doivent être confondus, ce qui pronve que l'équation contiendra au moins une des dérivées r et t. On peut supposer, par exemple, que; le ternie en r ne manque pas, et écrire
l'equalion
r + 2Ks + Kn 4- M r:= o :
les équations difTcrenliHUes des oaractérisliquei» sont alors
f/j/ — Krf.r = o,
dp ~f- Kdq -j- McAr = o.
Toulo inlOjjfrolo ijiloniiédiaire V doit salislaire aux deux équations
A !,Vj =-- — K T- r= o 0</ Jj}
pour que ce syslènje soi! un système jaoobien, il faut et il suffit «jue I on ail
/oc», \ A i 1\) = T- — K — = o,
39. Nous allons continuer l'examen des divers cas qui peuvent se présenter dans rinfégri>lion des deux systèmes qui d(»nneni les intégrales intermédiaires, et nous achèverons d'abord l'étude des équations où les deux sysièrnes de caractéristiques s«int confondus. On a déjà fait remarquer qu'elles ne peuvent admettre deux intégrales intermédiaires distinctes seulement (u" 30). Il ne reste donc à examiner que le cas où les deux é(juations du système (33l ont une seule intégrale commune. Soit n cette intégrale c<jmmunc; l'équation du second ordre proposée admet toutes les intégrales de l'équation du premier (M-dre
u {x. y, c, p, q) =r const.
On obtiendra ainsi une intégrale dépendant dune fonction arbitraire, mais non pas l'intégrale générale, puisqu une intégrale d'une équation du premier ordre est, en général, déterminée, si on l'assujettit à passer par une ruurbe donnée, tandis qu'il n'en est pas de même pour une ëquntion du second onlre.
Dans ce cas, la métlioile de Monge ne permet donc pas d'obtenir l'intégrale générale d'une équation du second ordre. Ampère a démontré, par des calculs assez pénibles, qu'on peut alors ramener l'équation o une autre ne contenant que r comme dérivée du second ordre. As'ec la
LKS KOUATIONS I>F. .MONf.K \"ï I) AMiknK 77
lh»'(tru' (!«•> Iransfonnalions Jt; cojila.i, coll<; prourit-k' »^'<'tnbiit rii*»'nitMif. Soient k. /" (Jonx aiilrcs f.uirlion.- «Je r, y, z,]t, q ftinnaiil avec a un syslriiif on invoInliDu, c'os(-à-cJir<; k-llos (|u<' l'un ait
I'm, (j] z=: o. [/f, \r,\ =: o, [y, mj] — o;
il PxisJf alors doux aulros fonctions p et d donnant lieu à l'identil*'
du- — idu — <jr/j5 -rr k [di — prix — 7^//).
Cela posé, appliquons à réquatiori Ju secend ordi"^ proposée la transformation de conlaei
elle se chang-e en ■ .'.e nouvelle é((iiation du second ordre, dont les deux sysUbnies de caractéristiques sont encon; confondus ct^ admettent la coml.unaison intégrablcf^y' = o. On peut donc prendre dy = o pour une dos éiiuations dilîéreiitielles des earactérisliques, et, par conséquent, la nouvelle équation du second ordre ne contient pas de terme en ri — s- n" 2(i. p. iU'i. cille est donc de la forme
)1V'4- 2K'.s' 4- LV 4- M' = o; en posant
on a, pour les caraclcrisfiqucs, la relation
lf'rfy'2 — 2KV,'-V/y' -f- ï/f/x'2 = o.
qui dwit être satisfaite en prenant dy = o. c«' qui exige que l'on ait M -- o. Comme les deux systèmes de caracléristiques doiveni élre confondus, il faut que Ion ait aussi K' = o, et la nouvelle équation ne contient que r', comme nous l'avions annoncé.
La recherche de deux fonctions r, w, formant avec u un système en involntion, revient à intégrer l'équation
u = », car les irois équation;;
78 CKAPITRK II
OÙ jJ. v) sont deux nouvelles coiislanUs arbitraires, représentent alors une iiilpprale complète de réquatioii m -- a. Inversemeirt, soit :
une intégrale complète de réqualion ?< = a ; si on résout les trois équations
F far, y, z, a. p. it) = o.
par rapport à. a, p, t,, on en lin;
et les trois fonctions m, y, ^o ainsi ol>tenues sont deux à deux en involution I M.
40. "Nous allons appliquer cette transformation à quelques exemples. ExEMi'i-E 1. — Soit l'équation {'■')
(40 xh- — Ax^qs -^- 472^ -f 2/u?3 = o ;
les deux systèmes de cara/vleristiques sont confondus, et leurs équations différentielles sont
S'T^t/j) — i(/ol(/ -f- i'O-cdx = o, x'^dy -{• Iqdx = o.
La première est une différentielle exacte, et donne l'intégrale
d'ailleurs, il n'existe pas d'autre combinaison intégrable, comme on s'en assure aisément, en app! quant la méthode générale. L'équation ic'p — 7* = 2x s'intègre facilei.ent en séparant les variables et posant
7 = ô, yix^ — 2ï -f e*,
(') équations du premier ordre, p. 2<>1.
(*) Ampèbe, Journal de l'École pulylechnitfue, XVJll cahier, p. 128.
LES ÉOUATIONS Dli MO.NT.E Kl d'aMI'LRE 79
et on en déduit l'intrj^ralc complète
La transfovnution de contact déduite de la relation
est définie par les formules
